Nombre cardinal : encyclopédie mathématiques
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.|
Cette page est en cours de réécriture ou de restructuration importante. (indiquez la date de pose grâce au paramètre date)
Vous êtes invité à en discuter en page de discussion et à participer à son amélioration de préférence en concertation pour des modifications de fond.
Consultez l’historique des modifications pour voir les modifications récentes. |
En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Les nombres cardinaux permettent donc de mesurer l'ampleur de tout ensemble, même infini, là où les entiers naturels ne comptent le nombre d'éléments que d'ensembles finis.
Sommaire |
Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'adjonction de l'axiome du choix (donnant la théorie ZFC) permet de définir le cardinal d'un ensemble comme le plus petit nombre ordinal qui lui est équipotent. Un nombre cardinal est alors un ordinal qui n'est équipotent à aucun de ses éléments.
S'il existe une injection d'un ensemble A dans un ensemble B alors il existe une injection de n'importe quel ensemble équipotent à A dans n'importe quel ensemble équipotent à B. Le théorème de Cantor-Bernstein permet de montrer que deux cardinaux sont égaux s'il existe une injection de chacun d'eux dans l'autre. Cette relation est donc une relation d'ordre sur les cardinaux.
L'ensemble vide et les ensembles d'entiers de la forme forment des ensembles de cardinaux deux à deux différents.
Un ensemble est dit fini s'il est équipotent à l'un de ces ensembles, infini dans le cas contraire. Tout cardinal fini est inférieur à tout cardinal infini.
Sans l'axiome du choix, il peut être judicieux de se limiter aux ensembles pour lesquels un tel ordinal équipotent existe.
On note et
, de sorte que l'ordre sur les cardinaux prolonge l'ordre sur les entiers naturels.
Or l'ensemble vide n'est équipotent qu'à lui-même ; donc dans une théorie où les objets du discours sont tous des ensembles, on a nécessairement .
Selon la notation la plus utilisée, pour tout entier naturel ,
.
La relation d'équipotence étant réflexive, symétrique et transitive sur la classe des ensembles, chaque classe d'équivalence est appelée nombre cardinal ou simplement cardinal.
Cette définition qui paraît très naturelle se présente parfois dans les exposés élémentaires de la théorie des ensembles ; cependant son usage pose des problèmes d'ordre logique, en particulier elle est incompatible avec les théories usuelles où soit on ne considère que des ensembles, soit on considère des classes propres mais qui ne peuvent être éléments d'autres classes. Ces problèmes s'apparentent au paradoxe de Russell.
Si f est une fonction de A dans B, alors .
Un ensemble E n'est jamais équipotent à l'ensemble de ses parties , bien qu'il s'injecte dedans par l'ensemble des singletons de E, ce qui permet s'écrire :
C'est le théorème de Cantor.
Ce résultat justifie le fait qu'il existe des infinis de cardinaux différents. Il donne même un procédé de construction d'une infinité d'entre eux par itération.
Les cardinaux infinis sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph . Le plus petit cardinal infini est
. C'est le cardinal de l'ensemble
des entiers naturels, qui est également désigné en tant que nombre ordinal par ω. Le cardinal immédiatement supérieur est
, etc. D'une manière générale, un cardinal quelconque s'écrit
où α est un ordinal.
Le cardinal d'un ensemble fini correspond donc simplement au nombre d'éléments qu'il contient. Par exemple, card({1,2,5}) = 3.
Toute partie d'un ensemble fini est finie.
Si A est infini alors est noté 2card(A) par analogie avec le cas fini.
L'accessibilité est la possibilité d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits.
Un ordinal α est dit cofinal avec un ordinal β inférieur s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant :
Par exemple, n'est cofinal avec aucun ordinal strictement plus petit, puisqu'un ordinal inférieur Ã
est un entier n = {0,1,...,n − 1} et qu'une application strictement croissante définie sur {0,1,...,n − 1} est bornée. Le cardinal
est dit alors régulier, c'est le cas de tous les cardinaux successeurs.
Par contre, le cardinal est cofinal avec ω au moyen de l'application
.
Ce cardinal est dit alors singulier.
En notant cf(α) le plus petit ordinal pour lequel α est cofinal, on obtient .
Les cardinaux se classent alors comme suit :
Ce dernier type de cardinal est qualifié de faiblement inaccessibles car ils ne peuvent être conçus à partir de cardinaux plus petits. On distingue parmi eux les cardinaux fortement inaccessibles qui vérifient de plus . L'existence de tels cardinaux ne peut se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.
Les deux premiers types de cardinaux sont qualifiés au contraire d'accessibles, car concevables à partir de cardinaux plus petits qu'eux.
L'inégalité montrée ci-dessus permet d'écrire
puisque
est le plus petit cardinal strictement supérieur Ã
.
L'hypothèse du continu affirme l'égalité . On montre que cette propriété est indécidable dans ZFC. Par extension, l'hypothèse généralisée du continu énonce que, pour tout ordinal α, on a
.
Les résultats suivants s'obtiennent en admettant comme axiome l'hypothèse généralisée du continu.
| Notion de nombre | ||
| Ensembles usuels | Extensions | |
|
â„• ensemble des entiers naturels |
℠algèbre des quaternions |
|
|
|
||
| Propriétés particulières | ||
|
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait |
||
| Exemples d'importance historique | ||
| π : √2 : φ : 0 : i : e : ℵ0 : |
constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro |
(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini |
| autres constantes mathématiques | ||
| Notions connexes | ||
|
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre |
||
Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.