Nombre d'or

Nombre d'or : encyclopédie mathématiques

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Pour l’article homonyme^?, voir Nombre d'or (astronomie).

La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne raison lorsque a est à b ce que a + b est à a. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.

Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs sur la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ en l'honneur de l'architecte Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x² = x + 1. Il vaut exactement (1+ √5)/2 soit approximativement 1,618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une arithmétique du nombre d'or source de nombreuses démonstrations.

L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIX^e siècle et XX^e siècle où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.

Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.

Certains artistes, tel le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

[modifier] Géométrie

[modifier] Proportion

Figure 1 Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement si les longueurs a et b respectent la proportion d'or.

Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :

Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a.

$(1) \quad \frac ab = \frac {a+b}a\;$

Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportion définie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportion d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.

Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or :

Définition du nombre d'or — Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a / b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il est donné par la formule :

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618\, 033\, 988\, 749\, 894\, 848\, 204\, 586\, 834\, 365$

La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par a / b :

$\frac {a+b}a =\frac ab \Leftrightarrow 1 + \frac ba = \frac ab \Leftrightarrow \frac ab + 1 = \left(\frac ab\right)^2 \Leftrightarrow \left(\frac ab\right)^2 - \frac ab - 1 = 0$

Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième définition :

Définition alternative du nombre d'or —

Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré suivante : $x^2 - x - 1 = 0 \;$

Démonstrations

Construction de la proportion d'extrême et de moyenne raison :

L’objectif est de construire la figure 1. Dans un premier temps, on considère deux points O et A du plan euclidien situés à une distance a l'un de l'autre. Soit I un point tel que les droites AI et OA soient perpendiculaires et tel que la distance AI soit égale à a/2. Soit γ le cercle de centre I et passant par A. Enfin les deux points B et C sont les intersections de la droite OI et du cercle γ dans l'ordre indiqué sur la figure. On définit b comme la distance séparant O de B. Par construction sa distance séparant B de C est égale à a.

Une fois la figure construite, il reste à montrer que les triangles OAB et OCA sont semblables. Pour cela, il suffit de montrer qu'ils possèdent deux angles en commun. L'angle AOB est partagé par les deux triangles, il suffit donc de montrer que l'angle BAO est égal à OCA. Comme la droite OA est tangente au cercle, ce résultat est une conséquence du théorème de l'angle inscrit. Les triangles sont bien semblables.

Deux triangles semblables sont proportionnels, ce qui montre que la base du grand triangle OC est à OA la base du petit triangle, ce que OA un coté du grand triangle est à OB le coté équivalent du petit triangle. On obtient la formule (1).

Unicité de la valeur b :

Soit a une longueur strictement positive, et c un nombre réel plus petit que a tel que la proportion a/c soit d'extrême et de moyenne raison. Soit OBC trois points alignés tel que la distance OB soit égale à c et BC à a. Soit γ le cercle de diamètre BC et A le point de γ tel que la droite OA soit tangente au cercle.

Les arguments de la démonstration précédente montrent que les triangles OAB et OCA sont semblables et que la figure obtenue est celle du paragraphe précédent. En conclusion la valeur c est égale à b, calculé au paragraphe précédent. Ceci montre l'unicité de b.

Détermination géométrique de φ :

Pour calculer la valeur de φ, on peut utiliser le fait que si a et b sont en extrême et moyenne proportion, alors (a + b) / a est égal à φ. La longueur a peut être choisie quelconque, une méthode simple consiste à la choisir égale à 1. La valeur φ est alors égale à a + b ou encore à 1 + b. La longueur de OC est égale à la somme de la longueur de OB et de celle de EB, et donc à b + 1, le nombre d'or. Ici le nombre 1 représente le diamètre du cercle C de rayon 1/2, par construction.

La longueur de OC est égale à φ et aussi à la somme de la longueur de OI et de IC. Le théorème de Pythagore montre que la distance entre O et I est égale à √5/2, la longueur de la diagonale d'un rectangle de côté de longueurs 1 et 1/2. Celle de I à C est égale au rayon du cercle 1/2. La longueur OC est à la fois égale au nombre d'or φ et à 1/2.(1+√5), ce qui montre le résultat recherchée.

Détermination algébrique de φ :

Une autre solution pour le calcul de φ consiste à faire usage de la troisième définition. La valeur φ est donnée par la solution positive de l'équation du second degré :

$x^2 - x - 1 = 0 \;$ Équation dont on montre facilement qu'elle est équivalente à $\frac{1}{x}=x - 1 \;$

Le discriminant de l'équation du second degré est égal à 1 + 4 = 5, il existe deux solutions, une seule est positive, on en déduit :

$\varphi = \frac {1 + \sqrt 5}2\;$

[modifier] Rectangle et spirale d'or

Construction, à la règle et au compas d'un segment de longueur égale au nombre d'or.

Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La méthode est illustrée sur la figure de gauche. Un cercle de centre C et de rayon de longueur 1 sont dessinés (en orange). Puis un segment (en vert) perpendiculaire au rayon et de longueur 1/2 ainsi qu'un cercle de centre C' de rayon le segment vert sont construits. Enfin, le segment bleu, d'extrémités le centre de C et un point du cercle C' et passant par une extrémité du segment vert est de longueur φ.

Rectangles d'or et divine proportion

Cette méthode permet aussi de construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et de largeur b tel que a et b soient en proportion d'extrême et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or.

Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. Un cercle de centre le milieu de la base et passant par les deux cotés opposés est construit. L'intersection de la droite contenant la base du carré et le cercle contient l'un des points de la base du rectangle d'or. Il apparait comme construit par l'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre la figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :

$\frac {a-b}b = \frac ab - 1 = \frac {a+b}a - 1 = \frac ba = \frac 1{\varphi} \quad\text{donc}\quad \frac b{a-b} = \varphi \;$

Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un carré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, comme indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux cotés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une spirale d'or, d'équation polaire :

$r (\theta) = r.\varphi^{-\frac{\theta}{\pi/2}}$

Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.

D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or^[1].

[modifier] Pentagone et pentagramme

Figure 3 : Une fois la proportion d'extrême et de moyenne raison construite, il est simple de dessiner un pentagone.

Un pentagone se construit à l'aide de la proportion d'extrême et moyenne raison. Soit un cercle de diamètre OP₁ et de rayon a, illustré sur la figure de gauche. Si b est le nombre réel plus petit que a tel que a et b soit en proportion d'or, et P₂, P₃, P₄ et P₅ les intersections du cercle de diamètre OP₁ avec les deux cercles de centre O et de rayon a + b et b, alors les cinq points P_i définissent un pentagone.

Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figure composée des cinq diagonales du pentagone (cf figure de droite), contient aussi de multiples proportions d'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'expriment simplement à l'aide de triangles isocèles dont les longueurs des cotés sont en proportion d'or. De tels triangles sont appelés triangles d'or. Il en existe de deux types différents, les jaunes ayant une base proportionnelle à a et deux cotés à b et les oranges ayant une base proportionnelle à b et deux cotés à a. Les triangles foncés sont semblables aux plus clairs de même couleur, la proportion entre clair et foncé est encore d'or.

Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le 5^ième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois 5^ième d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé triangle d'argent. Les triangles oranges possèdent deux angles de 72°, soit les deux 5^ième d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les cotés sont toujours a et b, il est possible de paver intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose.

Démonstrations géométriques

La trigonométrie permet de montrer les différentes propriétés du paragraphe, il est aussi possible d'établir ces résultats à l'aide de la géométrie.

Le premier lemme est la clé des différentes preuves. Soient a et b avec a > b, deux longueurs en proportion d’extrême et de moyenne raison. Soit ABD un triangle d'or tels que que A et B soient situés à une distance a l’un de l’autre et B et D à une distance b.

Figure 4 : découpage d'un triangle d'or en un triangle d'argent et un triangle d'or en proportion d'or avec le premier.

Soit C le point du segment AD tel que la distance AC soit égale à b alors le triangle BCD est un triangle d'or et le triangle ABC est un triangle d’argent

Cette proposition correspond à la figure de droite. Par construction, les distances AB et AD sont égales à a. Considérons le point E du segment AB situé à b de A et montrons que le triangle AEC (en vert) est égal à BCD (en jaune). Il suffit de montrer qu’ils disposent d’un angle et de deux cotés égaux. Les deux triangles AEC et ABD sont semblables (car tous deux isocèles de même sommet) et dans un rapport de a/b. Comme la distance entre B et D est égale à b, celle entre C et E est égale à a - b (car b/(a - b) = a/b). Or cette distance est la même que celle qui sépare C et D. Le caractère semblable des triangles ACE et ADB montre que l’angle ACE est égal à ADB. Enfin, la distance DB est égale à celle de AC. Les deux triangles disposent bien de deux cotés et d’un angle égaux, ils sont identiques. Le triangle ACE étant semblable au triangle d'or ADB, c'est un triangle d'or ainsi que le triangle BDC. Il est en proportion a/b avec le triangle initial.

Il reste à prouver que le triangle ACB est bien d'argent. Il suffit de prouver que la distance de B à C est égale à b. Or le triangle BDC étant un triangle d'or, on sait que la distance BC est égale à celle de BD et donc à b, ce qui termine la démonstration.

Un triangle d'or est composé de deux angles de 72° et un de 36°, un triangle d'argent contient deux angles de 36° et un de 108° :

Le lemme précédent nous affirme que le triangle ABC est isocèle de sommet C. Donc l'angle DCB est égal au double de l'angle CAB soit avec les notations de droite : μ = 2θ. D'autre part, le triangle BCD étant aussi un triangle d'or, il est isocèle de sommet B. Ses angles sont θ, 2θ, 2θ. La somme des angles valant 180°, on a 5θ=180°, soit θ=36° Il vient alors immédiatement que μ = 2θ = 72° puis que η = 180 - μ = 108°

On remarque que θ est égal à un cinquième de demi-tour, μ à deux cinquièmes et η à trois cinquièmes.

Les points P₁, P₂, P₃, P₄ et P₅ de la figure 3, forment un pentagone :

La méthode utilisée ici consiste à montrer que si deux sommets sont consécutifs, alors leur angle avec le centre du cercle est de 72°.

L'angle P₄AP₅ est de 72°:

Cette première étape est la conséquence du fait que les points P₄ et P₅ sont définis comme l'intersection du cercle de centre O et de rayon b avec le cercle de centre A et de rayon a. les triangles P₄AO et OAP₅ sont d'or, les angles P₄AO et OAP₅ font chacun 36°, ce qui permet de conclure.

L'angle P₄AP₂ est de 72° :

La distance entre O et P₂ est égale à a + b, celle entre O et A ainsi que celle entre A et P₂ est égal à a. On en déduit que le triangle OAP₂ est un triangle d'argent. L'angle OAP₂ fait donc 108°. Comme l'angle P₄AO fait 36°, par différence, on obtient que l'angle P₄AP₂ est de 108° - 36° soit 72°

L'angle P₂AP₀ est de 72° :

L'angle OAP₂ fait 108° et l'angle OAP₀ est plat donc l'angle P₂AP₀ est égal à 180° - 108°, soit 72°.

Conclusion :

Il reste encore à mesurer les angles P₅AP₃ et P₃AP₀. Pour cela, il suffit de remarquer que la droite OA est un axe de symétrie du pentagone, en conséquence l'angle P₅AP₃ est égal P₄AP₂ et P₃AP₀ est égal à P₁AP₀, ce qui termine la démonstration.

[modifier] Trigonométrie

Article détaillé : Trigonométrie.

L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de longueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, comme sur la figure de droite, est un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle d'argent. On en déduit que le cosinus de 36° est égal à φ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les cotés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.

Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan complexe. Les sommets sont les racines du polynôme cyclotomique X⁵ - 1. Sa résolution est particulièrement aisée car 5 est un nombre premier de Fermat, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2ⁿ + 1. Si p est un nombre premier, le polynôme régulier à p cotés est constructible à la règle et au compas si et seulement si, p est un nombre de Fermat. Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique s'obtient à l'aide de résolution d'équations du second degré. Ce cas est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.

Valeurs de fonctions trigonométriques faisant intervenir le nombre d'or

$\cos(144^\circ)= -{\varphi \over 2},\quad \sin(36^\circ) ={\sqrt{3-\varphi}\over 2},\quad \sin(72^\circ)= {\sqrt{2+\varphi} \over 2}$

En appliquant la formule de l'angle moitié :

$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac 12 \sqrt{2 + 2\cos(\theta)}$ ;

ainsi que les formules d'angle double et d'angle complémentaire, on peut déterminer le cosinus de tous les angles multiples de 9°. Certaines s'expriment à l'aide du nombre d'or :

$\cos\,(\,9^\circ) \, = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }},\quad \cos\,(18^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 2+\varphi },\quad \cos\,(27^\circ)= \frac 12 \sqrt{2+ \sqrt{ 3-\varphi }},\quad \cos\,(54^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 3-\varphi }$

$\cos\,(63^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 3-\varphi }},\quad \cos\,(81^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt{ 2+\varphi }}$

On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme $\frac{9^\circ}{2^n}$ en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :

$\cos\,(9^\circ) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }},\quad \cos\left(\frac 92 ^\circ \right) =\frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }}},\quad \cos\left(\frac 94 ^\circ \right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}$

De manière générale :

$\cos\left(\frac{9^\circ}{2^{n+2}}\right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\cdots \mbox{n racines gigognes} \cdots \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}\, \quad(n \ge 0)$

[modifier] Arithmétique

Un autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or, l'arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujets apparemment aussi différents que la suite de Fibonacci ou sa relation avec de difficiles équations diophantiennes. Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Pour citer un exemple célèbre, celui-ci correspond à un cas particulier du dernier théorème de Fermat :

$x^5 + y^5 = z^5\;$

Il fut résolu^[2] par Dirichlet (1805 - 1859) en 1825, ce qui lui valut une célébrité immédiate. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), un mathématicien du XIX^e siècle disait des problèmes de cette nature : « Leurs charmes particuliers vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »^[3]

À l'aide d'outils un peu ésotériques, comme la fraction continue ou l'entier algébrique, une arithmétique du nombre d'or, plus communément appelé arithmétique de Dirichlet, se dessine. Les repères sont modifiés par rapport à ceux des entiers naturels. Le nombre d'or est considéré comme un entier à cause de son analogie avec la situation plus classique. On ajoute en général le terme algébrique ou quadratique pour marquer la différence. Dans cet univers, 19 n'est pas un nombre premier, au sens de Dirichlet.

[modifier] Fraction continue

Article détaillé : Fraction continue d'un nombre quadratique.

La fraction continue est une manière d'approximer un nombre réel, dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peut l'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise :

$1 + \frac 1{1 + \frac 11}$

Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or :

$\varphi = 1+ \frac 1{1 + \frac 1{1 + \frac 1 {1 + \frac 1{1 + \cdots}}}}$

Le fait que la fraction ne s'arrête jamais montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel. Une démonstration est proposée dans l'article détaillé. On reconnaît, sous la première barre de fraction l'expression du nombre d'or. On en déduit plusieurs expressions algébriques de φ :

$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad\text{ou}\quad \varphi^2 = \varphi + 1$

La dernière formule donne une nouvelle expression du nombre d'or :

$\varphi = \sqrt {1 + \varphi} = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \varphi}}\quad\text{et}\quad \varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$

Cette propriété possède des conséquences remarquables si φ est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or).

La fraction continue approximant le nombre d'or possède systématiquement la plus petite valeur possible pour chacun de ses coefficients, à savoir 1. En conséquence, il est le nombre irrationnel qui s'approxime le plus mal par des rationnels. On dit de lui qu'il est le plus irrationnel des nombres réels^[4] (cf Théorème d'Hurwitz).

Explications graphiques du mécanisme

Construction du nombre d'or à l'aide des fractions continues.

Une démonstration plus classique et rigoureuse est proposée dans l'article détaillé.

Une manière d'illustrer la fraction continue est la suivante. Dans un premier temps, on dessine un rectangle formé de deux carrés côte à côte et de côté 1. Ce sont les deux carrés numérotés 1 sur la figure de droite. Le rapport entre la longueur et la largeur de la figure est égal à 2, la meilleure approximation en nombre entier du nombre d'or. On ajoute un carré de côté égal à la longueur de la figure précédente. Un tel carré est de côté 2 qu'il est judicieux d'écrire ici 1+1. On obtient un rectangle, composé de trois carrés (les deux numérotés 1 et celui numéroté 2) dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal 3/2 qui s'écrit 1 + 1/2 ou encore 1 + 1/(1+1). On réitère avec un carré de côté égal à la longueur du rectangle précédent, soit celui numéroté 3 sur la figure, on trouve :

$\frac 53 = 1 + \frac 23 = 1 + \frac 1{\frac 32} \quad\text{or}\quad \frac 32 = 1 + \frac 1{1+1} \quad\text{donc} \quad\frac 53 = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{1+1}}$

L'approximation commence à être précise, elle vaut 1,66..., celle du nombre d'or est 1,62... On recommence le processus avec un carré de côté la longueur du précédent, on obtient comme rapport 8/5, qui s'écrit 1 + 3/5 et avec le calcul précédent :

$\frac 85 = 1 + \frac 35 = 1 + \frac 1{\frac 53} \quad\text{or}\quad \frac 53 = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{1+1}}\quad\text{donc}\quad \frac 85 = 1+ \frac 1{1 + \frac 1{1 + \frac 1{1+1}}}$

La dernière itération de la figure donne un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur vaut 13/8 approximation précise à plus de un centième. Si le processus est réitéré à l'infini, on obtient une expression du nombre d'or en fraction continue :

$\varphi = 1+ \frac 1{1 + \frac 1{1 + \frac 1 {1 + \frac 1{1 + \cdots}}}}$

Ce résultat possède une conséquence géométrique déjà citée. Si le processus de génération de rectangle est itéré un nombre suffisant de fois. Le retrait d'un carré de dimension maximale laisse une surface rectangulaire de même proportion que le rectangle initial, aux erreurs de mesure près. On obtient un rectangle d'or.

[modifier] Suite de Fibonacci

Article détaillé : Suite de Fibonacci.

Le calcul des couples de numérateurs et dénominateurs obtenus par la fraction continue donne les valeurs suivantes (1,1), (2,1), (3,2), (5,3) ... le dénominateur correspond au numérateur de la fraction précédente. Il est aussi égal au n^ième terme de la suite de Fibonacci (u_n). Elle est définie par récurrence :

$u_1 = u_2 = 1\quad \text{et}\quad u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \;$

Les deux premiers termes sont égaux à 1 et les autres à la somme des deux précédents. Pour obtenir une bonne approximation du nombre d'or, il suffit de choisir une valeur de n suffisamment élevée et considérer la fraction u_n+1/u_n. En terme mathématiques, cela s'exprime sous la forme suivante :

$\lim_{n \to \infty} \frac {u_{n+1}}{u_n} = \varphi\;$

La vitesse de convergence est grande, la différence entre u_n+1/u_n et φ est, en valeur absolue, inférieure au carré de u_n.

Si la suite de Fibonacci permet de déterminer une approximation du nombre d'or, la réciproque est vraie. Plus exactement, on dispose de la formule suivante :

$u_n= \frac1{\sqrt 5}\left(\varphi^n -(1- \varphi)^n \right)$

La valeur |1-φ|ⁿ ne fait que diminuer lorsque n s'accroît, elle est toujours suffisamment petite pour pouvoir être négligée, il suffit de prendre l'entier le plus proche de l'expression précédente en négligeant le terme en (1 - φ)ⁿ, on obtient :

$\frac{\varphi^1}{\sqrt 5} \simeq 0,72\;\text{et} \;u_1 =1,\quad \frac{\varphi^5}{\sqrt 5} \simeq 4,96\;\text{et} \;u_5 =5,\quad \frac{\varphi^{10}}{\sqrt 5} \simeq 55,004\;\text{et} \;u_{10} = 55$

Cette propriété est vérifiée pour toute suite définie par la relation de récurrence u_n+2 = u_n+1 + u_n, indépendamment des valeurs prises par u₁ et u₂.

Explications

La suite u_n+1/u_n tend vers le nombre d'or :

Ce résultat peut se voir comme une conséquence de la construction graphique du paragraphe précédent. Le dénominateur est le numérateur de la fraction continue. Les deux premiers dénominateurs sont égaux à 1 et le numérateur est bien la somme des deux numérateurs précédents.

La suite (1/√5.φⁿ) s'approche infiniment de celle de Fibonacci :

Pour utiliser la dimension géométrique du nombre d'or, considérons-les dans la suite de vecteurs d'un plan euclidien et coordonnées (u_n, u_n-1).

La fonction f qui à (u_n, u_n-1) associe (u_n+1, u_n) est une application linéaire. Son comportement devient clair s'il est analysé sur deux axes, de vecteurs directeurs u = (1, φ) et v = (1, -φ). Sur l'axe u, la fonction f est une homothétie de rapport φ, chaque vecteur sur la droite dirigée par u est multiplié par φ. Si la fonction f est appliquée n fois, alors le rapport de l'accroissement est de φⁿ. Sur l'axe v, la fonction est encore une homothétie, mais de rapport 1 - φ. Comme 1 - φ est un nombre négatif strictement plus petit que 1 en valeur absolue, à chaque itération, un vecteur sur la droite dirigé par v change de direction et se trouve comprimé d'un rapport 1 - φ.

Le point initial p₀ = (u₂, u₁) peut être décomposé sur les deux vecteurs u et v, on trouve p₀ = 1/2 (u + v). Calculer p₁ = (u₃, u₂) puis p₂ puis p_n devient simple, il suffit d'appliquer la fonction f une puis deux puis n fois :

$p_1 = f(p_0) = \frac 12 (\varphi\cdot u + (1 - \varphi)\cdot v),\quad p_2 = f(p_1) = f\circ f(p_0) = \frac 12 (\varphi^2\cdot u + (1 - \varphi)^2\cdot v),\quad p_n=f^n(p_0) = \frac 12 (\varphi^n\cdot u + (1 - \varphi)^n\cdot v)$

On obtient la formule :

$u_n= \frac 1{\sqrt 5}\Big(\varphi^n -(1- \varphi)^n \Big)$

Le terme en (1 - φ) est positif et strictement plus petit que 1. Les puissances (1 - φ)ⁿ s'approchent en conséquence de plus en plus de 0.

[modifier] Équation diophantienne

Article détaillé : Équation diophantienne.

La fraction continue offre des rationnels b/a offrant presque des solutions à l'équation qui s'écrit sous les formes suivantes :

$\frac ba \simeq 1 + \frac 1{\frac ba} \;\Leftrightarrow\; \frac {b^2}a \simeq b + a \;\Leftrightarrow\; a^2 + a\cdot b -b^2 \simeq 0$

L'égalité stricte à zéro est impossible, elle n'autorise que les solutions triviales. En effet, aucun nombre rationnel ne vérifie la proportion d'or, ce qui justifie l'équation diophantienne suivante :

$(1)\quad x^2 + x\cdot y - y^2 = \pm 1\;$

L'école mathématique indienne s'intéresse aux équations de cette nature. Brahmagupta développe une méthode, dite chakravala qui permet l'étude de telles équations. Il utilise une identité, qui dans le cas présent prend la forme suivante :

$(a^2 + ab - b^2)(c^2 + cd - d^2) = (ac + bd)^2 + (ac + bd)(ad + bc + bd) - (ad + bc + bd)^2\;$

Cette identité est liée à l'équation (1) précédente et donc au nombre d'or. Si (a, b) et (c, d) forment deux couples, solutions de l'équation (1), la partie de gauche de l'identité est égale à plus ou moins un. La partie de droite de l'identité décrit donc une solution (e, f) si e = ac + bd et f = ad + bc + bd. La découverte d'une multiplication particulière *, permet de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une unique si elle n'est pas triviale :

$(a,b)*(c,d) = (ac + bd, ad + bc + bd)\;$

En combinant une solution (a, b) avec elle-même on en obtient une nouvelle (a² + b², 2a.b + b²). Le couple (1, 1) est solution de l'équation (1), donc le couple (2, 3) l'est aussi. Elle est d'ailleurs déjà obtenue avec la méthode précédente. Avec la solution (2, 3) on obtient (13, 21) et avec la solution (13, 21) on obtient (610, 987). On vérifie que le couple (610, 987) est bien une solution de l'équation :

$610^2 + 610\times 987 - 987^2 = 372\;100 + 602\; 070 - 974\;169 = 1$

On en déduit que la fraction 987/610 est une excellente approximation du nombre d'or. En effet, 987/610 = 1,6180327... une précision proche du millionième.

[modifier] Entier de Dirichlet

Article détaillé : Entier de Dirichlet.

Dans cette vision du nombre d'or, il existe une multiplication naturelle. L'adjonction de l'addition usuelle des couples d'entiers relatifs, définit par l'égalité suivante, confère à l'ensemble des couples (a, b) une structure équipée d'une addition et d'une multiplication appelé, en terme contemporain, un anneau.

$\forall a,b,c,d \in \mathbb Z\quad (a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)\;$

Si cet anneau est construit à partir d'une équation diophantienne connexe au nombre d'or, sa relation avec φ peut être vue plus directement. Il se conçoit simplement en considèrant les nombres réels de la forme a + φ.b, où a et b désignent deux nombres entiers. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit :

$(a + \varphi b)(c + \varphi d) = ac + (ad + bc)\varphi +bd\varphi^2 = (ac + bd) + \varphi(ad + bc + bd)\;$

Ainsi les puissances de φ sont tous de la forme a + φ.b, plus précisément φⁿ = u_n-1 + u_n.φ, où (u_n) désigne la suite de Fibonacci.

Ces deux anneaux possèdent des structures copie l'une de l'autre, le terme consacré pour décrire cette situation est celui d'isomorphisme. Un nombre réel de la forme a + φ.b est appelé un entier de Dirichlet. L'anneau des entiers de Dirichlet est le cadre naturel sous-jacent à toute l'arithmétique du nombre d'or. À certains égards, il est analogue à Z, l'ensemble des entiers naturels. Il est commutatif, et intègre. Le terme intègre signifie que si la multiplication de deux éléments α.β donne 0 alors soit α soit β est nul. La ressemblance est plus profonde, cet anneau est euclidien, c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Les outils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide, le théorème fondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de la division euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour l'arithmétique du nombre d'or. Cette analogie profonde pousse les arithméticiens à parler d'entiers pour décrire les éléments de cet ensemble. La compréhension de l'arithmétique de Z passe souvent par celles des nombres premiers. L'arithmétique du nombre d'or dispose aussi de ses nombres premiers de Dirichlet. Un nombre premier de Z n'est pas toujours premier dans l'arithmétique du nombre d'or, comme le montre le contre-exemple 19 :

$(4 + 3\varphi)(7-3\varphi) = 28 - 9 + (-12 + 21 -9)\varphi = 19\;$

Cette différence engendre des modifications dans l'application des théorèmes classiques. Par exemple si p est un nombre premier différent de 5 tel que le reste de sa division euclidienne par 5 soit un carré parfait, donc égal à 1 ou à 4, le petit théorème de Fermat indique que φ^p-1 - 1 est un multiple de p. Ceci montre que u_p-1 est un multiple de p ainsi que u_p-2 - 1, en effet, φ^p-1 - 1 = u_p-2 - 1 + u_p-1.φ. Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.

[modifier] Fragments d'histoire

[modifier] Antiquité

Pour Thomas L. Heath, Platon est le premier grec à oser étudier les propriétés d'un nombre scandaleux car irrationnel, celui maintenant appelé nombre d'or.

Les historiens^[5] considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur est l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops devient, selon cette convention, un bon candidat pour l'origine^[6]. D'autres encore, se contentent des restes d'un monument dont des dimensions permettent d'approximer le nombre d'or. Selon ce critère, un amas de pierres sous la mer des Bahamas est une origine plus ancienne^[7]. Ces vestiges, dont l'origine humaine et la datation sont incertaines^[8] sont dénommés temple d'Andros.

Le premier texte mathématique indiscutable^[9] est celui des Eléments d'Euclide. Le nombre d'or est défini comme une proportion géométrique « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.^[10] » Sa relation avec le pentagone, l'icosaèdre et le dodécaèdre est mis en évidence. Les historiens s'accordent tous sur l'existence d'une origine plus ancienne, mais l'absence de document d'époque définitif interdit une connaissance indiscutable de l'origine^[11]. L'historien des sciences T. L. Heath attribue la paternité de la découverte à Platon : « L'idée que Platon commença l'étude (du nombre d'or) comme sujet intrinsèque n'est pas sans consistance... »^[12]. Heath précise néanmoins dans la même source que les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du pentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique, Hypsicles un mathématicien grec du II^e siècle av. J.-C., en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers^[13]. Elle revient chaque fois qu'un pentagone est présent.

L'approche arithmétique est initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voudrait que, à la différence du nombre d'or, tout nombre soit rationnel. Paul Tannery précise : « les Pythagoriciens sont partis de l’idée, naturelle à tout homme non instruit, que toute longueur est nécessairement commensurable à l’unité^[14] ». Platon évoque cette difficulté^[15], les premières preuves du caractère irrationnel de certaines diagonales de polygones réguliers remontent probablement^[16] au V^e siècle av. J.-C.. Platon cite les travaux de son précepteur, Théodore de Cyrène, qui montre l'irrationalité de √5^[17] et par voie de conséquence, celle du nombre d'or. Dès cette époque, les mathématiciens grecs découvrent des algorithmes d'approximation des nombres diagonaux et latéraux^[18]. Bien plus tard, Héron d'Alexandrie, un mathématicien du I^er siècle pousse plus loin cette démarche à l'aide des tables trigonométriques de Ptolémée^[19].

[modifier] Moyen-Age

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, établit la relation entre des équations du second degré et le nombre d'or.

Les mathématiques arabes apportent un nouveau regard sur ce nombre, plus tard qualifié d'or. Ce n'est pas tant ses propriétés géométriques qui représente pour eux son intérêt, mais le fait qu'il soit solution d'équations du second degré. Al-Khawarizmi, un mathématicien perse du VIII^e siècle, propose plusieurs problèmes consistant à diviser une longueur de dix unités en deux parties. L'un d'eux possède comme solution la taille initiale divisée par le nombre d'or. Abu Kamil propose d'autres questions de même nature dont deux sont associées au nombre d'or. En revanche, ni pour Al-Khawarizmi ni pour Abu Kamil, la relation avec la proportion d'extrême et moyenne raison n'est mise en évidence. Il devient ainsi difficile de savoir si la relation avec le nombre d'or était claire pour eux^[20].

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, introduit en Europe les équations d'Abu Kamil. Dans son livre Liber Abaci, on trouve non seulement la longueur des deux segments d'une ligne de 10 unités mais aussi, clairement indiquée la relation entre ces nombres et la proportion d'Euclide^[21]. Son livre introduit la suite qui porte maintenant son nom, connue aux Indes depuis^[22] le VI^e siècle. En revanche la relation avec le nombre d'or n'est pas perçue par l'auteur. Un élément de cette suite est la somme des deux précédents.

La quine, un système de mesure utilisé par les bâtisseurs de l'Art roman, se fonde sur un principe analogue. Elle se compose de cinq unités de mesure, toutes commensurables : la paume égal à 34 lignes, la palme qui en vaut 55, l'empan 89, le pied de Charlemagne 144 et la coudée royale 233. Ces unités correspondent à des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Une paume plus une palme est ainsi égale à un empan, une palme et un empan à un pied de Charlemagne, enfin un empan et un pied de Charlemagne à une coudée royale. Le rapport entre deux termes consécutifs vérifie de plus en plus précisément la proportion en extrême et moyenne raison^[23]. Si au Moyen-âge, le nombre d'or est connu des tailleurs de pierres, sa géométrie est considérée comme assez secondaire et ne prend de l'importance uniquement à la renaissance^[24].

[modifier] Renaissance

L'homme de Vitruve de Léonard de Vinci respecte les proportions explicitées par Vitruve, le nombre d'or n'intervient pas.

Trois siècles plus tard, Luca Pacioli rédige un livre dénommée La divine proportion^[25], illustré par Léonard de Vinci. Si l'aspect mathématique n'est pas nouveau, le traitement de la question du nombre d'or est inédit. L'intérêt du nombre ne réside pas tant dans ses propriétés mathématiques que mystiques, elles « concordent avec les attributs qui appartiennent à Dieu...^[25] ». Pacioli cite les dix raisons qui l'ont convaincu. L'incommensurabilité prend, sous la plume de l'auteur, la forme suivante « De même que Dieu ne peut se définir en termes propres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsi notre proportion ne se peut jamais déterminer par un nombre que l'on puisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais est toujours mystérieuse et secrète, et qualifiée par les mathématiciens d'irrationnelle^[25] ».

Pacioli rédige ainsi l'envoi de son livre : « une œuvre nécessaire à tous les esprits perspicaces et curieux, où chacun de ceux qui aiment à étudier la philosophie, la perspective, la peinture , la sculpture, l'architecture, la musique et les autres disciplines mathématiques, trouvera une très délicate, subtile et admirable doctrine et se délectera de diverses questions touchant à une très secrète science.^[25] », il est en revanche discret sur la manière dont s'applique cette proportion. Dans son traité d'architecture^[26], l'auteur se limite aux proportions^[27] de Vitruve, un architecte de la Rome antique. Elles correspondent à des fractions d'entiers, choisies à l'image du corps humain^[28]. S'il cite comme exemple une statue du grec Phidias, ce n'est que pour y voir le nombre d'or dans un dodécaèdre, une figure associée au pentagone symbole de la quintessence, une représentation du divin^[29]. Les architectes de la Renaissance n'utilisent pas le nombre d'or^[30].^[31]

Les mathématiciens de l'époque ne sont pas en reste. Les spécialistes des équations polynomiales que sont Gerolamo Cardano et Raphaël Bombelli indiquent comment calculer le nombre d'or à l'aide d'équations de second degré^[32]. Un résultat plus surprenant est anonyme. Une note manuscrite, datant du début du XVI^e siècle et écrite dans la traduction de Pacioli des éléments d'Euclide de 1509, montre la connaissance de la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Si l'on divise un terme de la suite par son précédent, on trouve une approximation du nombre d'or. Plus le terme est élevé, plus l'approximation est bonne et elle peut devenir aussi précise que souhaitée^[33]. Ce résultat est, plus tard, retrouvé par Johannes Kepler puis par Albert Girard^[34]. Kepler est fasciné par le nombre d'or, il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le second à un joyau précieux.^[35] »

[modifier] XIX^e siècle : Naissance d'un mythe

Aldolf Zeising appuie sa théorie sur des exemples naturels incontestables. Un Tournesol présente une figure où apparaît la suite de Fibonacci, ainsi que la spirale d'or.

Sur le front des mathématiques, l'intérêt diminue. Au XVIII^e siècle, le nombre d'or ainsi que les polyèdres réguliers sont considérés « avec assez de justice, comme une branche inutile de la géométrie^[36] ». On lui prête encore un peu d'attention au siècle suivant, Jacques Binet retrouve en 1843 un résultat oublié, démontré initialement par Leonhard Euler en 1765^[37]. Si la lettre φ désigne le nombre d'or, le n^ième terme de la suite de Fibonacci est donné par la formule 1/√5(φⁿ + (1 - φ)ⁿ). Ce résultat est maintenant connu sous le nom de Formule de Binet. L'essentiel des travaux se reporte sur la suite de Fibonacci. Édouard Lucas trouve des propriétés subtiles associées à cette suite, auquel il donne pour la première fois le nom de Fibonacci^[38]. Son résultat le plus important porte le nom de Loi d'apparition des nombres premiers au sein de la suite Fibonacci^[39].^[40]

D'autres sont plus polémiques. Pour retrouver le nombre d'or dans le Parthénon, il est nécessaire d'user de conventions spécifiques.

C'est durant ce siècle que les termes de section dorée, puis nombre d'or apparaîssent. On la trouve dans une réédition d'un livre de mathématiques élémentaires écrit par Martin Ohm. L'expression est citée dans une note de bas de page :« Certains ont l'habitude d'appeler la division en deux telles parties une section d'or.^[41] » Cette réédition fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche son origine est un mystère.

L'intérêt resurgit au milieu du siècle, avec les travaux du philosophe allemand Adolf Zeising. Le nombre d'or devient avec lui, un véritable système, une clé pour la compréhension de nombreux domaines, tant artistiques comme l'architecture, la peinture la musique, que scientifiques avec la biologie et l'anatomie^[42]. Une dizaine d'années plus tard, il publie un article^[43] sur le pentagramme « manifestation la plus évidente et la plus exemplaire de cette proportion ». Une relecture de la métaphysique pythagoricienne lui permet de conclure à l'existence d'une loi universelle fondée sur le pentagramme et donc, le nombre d'or. Malgré une approche scientifique douteuse^[44] ^[45], la théorie de Zeising obtient un franc succès.

La France n'est pas en reste, pouvoir codifier de manière scientifique la beauté est une idée qui séduit. Les dimensions du Louvre, de L'Arc de triomphe sont mesurées avec attention, des délégations sont chargées de mesurer précisément la taille des pyramides égyptiennes ainsi que du Parthénon. Les cathédrales ne sont pas en reste. La France trouve son champion en Charles Henry, un peintre qui s'inscrit dans l'esprit positiviste de son temps. Dans un texte fondateur^[46], à l'origine du mouvement pointilliste, il associe au nombre d'or, une théorie de la couleur et des lignes. Son influence auprès de peintres comme Seurat ou Pissaro n'est pas négligeable. Son attachement au nombre d'or n'est pas aussi profond que son collègue allemand. Il finit, en 1895, par abandonner définitivement l'idée de quantifier le beau.^[47]

[modifier] XX^e siècle : Le paroxysme

Toute spirale n'est pas d'or. Celle du nautile n'a rien à voir avec la divine proportion^[48].

Loin de s'éteindre avec le déclin du positivisme, la popularité du nombre d'or ne fait que croître durant la première partie du siècle. Le prince roumain Matila Ghyka en devient l'incontestable chantre. Il reprend les thèses du siècle précédent et les généralise. Tout comme Zeising, il s'appuie tout d'abord sur les exemples issus de la nature, comme les coquillages ou les plantes. Il applique cette universalité à l'architecture avec des règles plus souples que son prédécesseur. Le succès de cette théorie finit par influencer les notations. Le nombre d'or est souvent noté φ, en référence à l'architecte Phidias, concepteur du parthénon^[49].

La dimension mystique n'est pas absente chez Ghyka^[50] et trouve ses origines dans la philosophie phytagoricienne. L'absence de trace écrite sur le nombre d'or chez les pythagoriciens s'expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée^[51] par les mouvements de pensées ésotériques au XX^e siècle. Le nombre d'or serait une trace d'un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou Connaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes^[52]. On le retrouve chez les passionnés de l'Atlantide, qui voient dans la pyramide de Khéops ou le temple d'Andros la preuve d'un savoir mathématique oublié^[53]. Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au XIX^e siècle par Franz Liharzik, pour qui la présence du nombre d'or, de π et de carrés magiques est la preuve incontestable^[54] d'un groupe restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue^[55].

En 1929, une époque troublée par des idées d'un autre âge, Ghyka n'hésite pas tirer comme conclusion de son étude sur le nombre d'or, la suprématie de ce qu'il considère comme sa race : « le point de vue géométrique a caractérisé le développement mental (...) de toute la civilisation occidentale (...) ce sont la géométrie grecque et le sens géométrique (... ) qui donnèrent à la race blanche sa suprématie technique et politique^[56]. » Si le prince n'insiste que très médiocrement sur cet aspect du nombre d'or, d'autres n'ont pas ses scrupules. Ils usent de l'adéquation de la morphologie d'une population avec les différentes proportions divines pour en déduire une supériorité qualifiée de raciale. Ce critère permet de fustiger certaines populations, sans d'ailleurs la moindre analyse^[57]. Le nombre d'or est, encore maintenant, sujet à de prétendues preuves de supériorité culturelle, sociale ou ethnique^[58].

Sans cautionner ces idées extrêmes, certains intellectuels ou artistes éprouvent une authentique fascination pour le nombre d'or ou son mythe. Le compositeur Iannis Xenakis utilise ses propriétés mathématiques pour certaines compositions^[59]. L'architecte Le Corbusier reprend l'idée consistant à établir les dimensions d'un bâtiment en fonction de la morphologie humaine et utilise pour cela le nombre d'or. Paul Valéry un poète et intellectuel écrit à ce sujet des vers dans son Cantique des colonnes :

« Filles des nombres d'or
Fortes des lois du ciel
Sur nous tombe et s'endort
Un dieu couleur de miel. »

Le peintre Salvador Dali fait référence au nombre d'or et sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.

Sur le plan mathématique, le nombre d'or suit une trajectoire inverse, son aura ne fait que diminuer et il quitte le domaine de la recherche pure. Il existe néanmoins une exception, une revue sur la suite de Fibonacci^[60], dont l'objet est plus ludique qu'associé à la recherche. En revanche, le nombre d'or apparaît comme la clé de quelques sujets scientifiques. La question de phyllotaxie, se rapportant à la spirale que l'on trouve dans certains végétaux comme les écailles de la pomme de pin est-elle vraiment liée à la proportion d'Euclide? Cette question fait couler beaucoup d'encre dès le siècle précédent. Wilhelm Friedrich Benedict Hofmeister suppose que cette spirale est la conséquence d'une règle simple^[61]. Pour le botaniste allemand Julius Sachs, ce n'est qu'un orgueilleux jeu mathématique, purement subjectif^[62]. En 1952, un scientifique, père fondateur de l'informatique, Alan Turing propose un mécanisme qui donnerait raison à Hofmeister. Deux physiciens, Douady et Couder, finissent par trouver l'expérience qui permet de conclure cette longue histoire^[63]. Hofmeister et Turing avaient raison, la présence du nombre d'or dans le monde végétal n'est ni fortuite ni subjective.

[modifier] Nature

[modifier] Omniprésence

L'absence de nombre d'or dans la spirale logarithmique décrivant la forme d'une galaxie rend l'astronome sceptique sur l'usage de cette proportion dans ce contexte.

La thèse de l'omniprésence du nombre d'or est souvent reprise^[64]. Si un avis définitif sur ce phénomène est difficile à propos de l'œuvre des hommes, il est plus aisé de comprendre la différence d'opinion que soulève cette question pour les sciences de la nature. Elle provient de l'usage des critères utilisés pour lier ou non le nombre d'or avec un phénomène.

Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pins engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide d'un nombre réel non nul quelconque. S'il est égal au nombre d'or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une fleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans ce cas.

Une organisation autour d'un schéma pentagonal des atomes d'un cristal de quartz explique l'usage du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.

En revanche, le fait qu'une telle spirale puisse aussi se construire avec le nombre d'or est une raison insuffisante pour l'associer à n'importe quelle spirale logarithmique, comme celles que forment la coquille du mollusque le nautilus^[64], les yeux sur les plumes d'un paon^[65] ou encore à certaines galaxies^[66]. Pour un spécialiste, l'absence de nombre d'or dans une spirale rend le concept caduque. Ni proportion d'or, ni suite de Fibonacci ne sont présents. Le nombre d'or n'offre aucune information sur son sujet d'étude^[67]^,^[68].

En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selon un schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonales du pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dans des structures dites quasi-cristallines. Les atomes dessinent des triangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent et l'on retrouve la suite de Fibonacci^[69]. Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique à faces centrées d'un diamant ne fait pas intervenir le nombre d'or.

Ainsi, selon l'axe d'analyse, la réponse sur l'omniprésence du nombre d'or est différente. Pour un scientifique, spécialiste dans un domaine, l'usage du nombre d'or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la phyllotaxie du tournesol ou la cristallographie du quartz. S'il recherche des concepts explicatifs pour mieux comprendre son domaine, la proportion d'Euclide est rarement de ceux là. D'autres^[64] utilisent l'analogie ainsi que l'esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, les minéraux et finalement dans toute la nature.

[modifier] Phyllotaxie

Article détaillé : Phyllotaxie.

Une pomme de pin illustre par ses écailles un phénomène de phyllotaxie. On trouve des spirales dont la proportion est proche de celle d'Euclide. Le nombre d'écailles dans une spirale ainsi que le nombre de spirales correspond à deux nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci.

Le mécanisme ne fait pas toujours apparaître le nombre d'or. Pour l'achimenes erecta, on remarque ici trois jeu de trois feuilles. Chaque jeu est pivoté d'un sixième de tour par rapport à la génération précédente. On obtient encore deux jeux de spirales, mais qui n'ont plus rien à voir avec le nombre d'or.

En biologie, l'ordonnancement des écailles d'une pomme de pin ou de l'écorce d'un ananas induit des spirales ordonnées par des nombres entiers, souvent associés au nombre d'or. Sur la figure de gauche, on observe 8 spirales, chacune formée de 13 écailles dans un sens et 13 spirales formées de 8 écailles dans l'autre sens. Les proportions de ces spirales ne sont pas très éloignées de celles d'une spirale d'or. Les nombres 8 et 13 sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leur rapport est proche du nombre d'or. Un phénomène analogue se produit avec les étamines des tournesols, cette fois avec les couples d'entiers (21,34), (34,55) et (55, 89). Chacun de ces couples correspond à deux entiers consécutifs de la suite de Fibonacci.

La phyllotaxie ne suit pas toujours les lois du nombre d'or. À droite, on voit un mécanisme analogue sur des feuilles, les deux spirales sont toujours logarithmiques mais ne suivent plus la proportion d'or. Les nombres de spirales dans un sens et dans l'autre sont égaux.

Ce mécanisme est régi par la règle dite de Hofmeister : Le primordium apparaît périodiquement dans le plus grand espace disponible. Un primordium correspond à un embryon de partie de plante : écaille, feuille, d'étamine etc... Ce mécanisme est contrôlé par la production d'une substance inhibitrice, appelée morphogène, émise par les primordia. Ainsi une nouvelle pousse ne peut naître que le plus loin possible des précédentes.

Dans le cas de l'achimenes eracta, la tige pousse rapidement par rapport à la feuille, la deuxième feuille naît dans la direction opposée, le rapport entre la croissance de la tige et le temps d'apparition d'un nouveau primordium fait que la troisième position la meilleure est à un angle d'un tiers de tour par rapport à la première feuille et deux tiers par rapport à la deuxième. Finalement on obtient l'apparition de trois feuilles, décalées d'un tiers de tour l'une par rapport à l'autre, puis d'un nouveau jeu de trois feuilles, décalé d'un sixième de tour par rapport au jeu précédent.

La pomme de pin suit la même règle pour le primordium de l'écaille. La croissance de la tige entre deux primordia est beaucoup plus modérée. Le troisième primordium naît en conséquence entre les deux premiers, avec un angle légèrement plus faible du côté du premier primordium, la tige ayant un peu grandi. Douady et Couder ont montré qu'un tel mécanisme produit deux jeux de spirales d'or de direction opposée dont les nombres de spirales par jeu correspondent à deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci. Plus la croissance entre l'apparition de deux primordia est petite, plus élevés sont les deux éléments consécutifs de la suite.^[70]

[modifier] Corps humain

Le squelette de Zeising ne respecte pas précisément les proportions du corps humain, le crâne est par exemple irréaliste.

Le corps humain est un enjeu souvent corrélé à celui du nombre d'or. Il comporte différentes facettes. Tout d'abord scientifique, la question mainte fois posée est de savoir si le corps, à l'image de la fleur de tournesol, possède une relation plus ou moins directe avec le nombre d'or. En terme artistique, la divine proportion est-elle utilisable pour représenter le corps ? Il existe enfin un enjeu esthétique. Si le nombre d'or, comme le pense^[59] le compositeur Xenakis, est relié à notre corps, son usage peut être une technique pour obtenir de l'harmonie.