Numération (encyclopédie mathématiques)

La numération désigne le mode de représentation des nombres : Elle concerne les mots, les gestes et les signes qui ont permis aux différents peuples d'énoncer, de mimer et d'écrire ces nombres.
Aujourd'hui, la « numération dite de position » est le principe répandu de manière quasi universelle. Le terme de notation s'applique à une numération par signe distincte à la fois de la numération par mots et de l'écriture de ces mots.

Sommaire

[modifier] La numération de position

Elle est connue depuis le IIIè millénaire av JC ^[1]: Les mathématiciens babyloniens utilisent un système de numération positionnel sexagésimal.
Ces pratiques sont reprises par les brahmanes de l'Inde ancienne qui la transposent en système de numérotation positionnel décimal. Le système est décrit dans l'« Aryabbatiya », un ouvrage indien - rédigé par Âryabhata et daté de 499- considéré comme l'équivalent indien de ce que seront les « Eléments d'Euclide » .

Le transfert en occident est attesté au VIIè siècle par les écrits d'un moine syrien Sévère Sebôkht qui mentionne l'existence des « neuf signes » indiens. Le signe « Zéro » n'est alors pas mentionné ( ce qui peut être une erreur de compréhension ). Il est cependant attesté avec certitude en Inde en 876.

La véritable transmission s'opère vers l'Islam et l'Occident au IXe siècle par l'intermédiaire de l'algébriste arabe Al-Khawarizmi qui rédige un traité : « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens », dont la version latine s'intitule « De numero Indorum » ( Des chiffres indiens ).

Au Xe siècle, Gerbert d'Aurillac - le futur pape Sylvestre II- qui fréquente les mathématiciens arabes présents en Espagne serait à l'origine de l'introduction de cette numération en Europe.

Au XIIe siècle, la méthode se généralise en occident :

L'italien Léonard de Pise , surnommé Fibonacci publie en 1202 un « Liber abaci » où sont résolus des problèmes algébriques avec les chiffres indiens.
Le moine franciscain français Alexandre de Villedieu décrit dans « Carmen de algorismo » les opérations réalisées sur des nombres entiers avec la nouvelle numération
Le scoliaste anglais John d'Halifax , plus connu sous le nom de Joannes de Sacrobosco, publie « Algorismis vulgaris »

L'intérêt de la nouvelle méthode est de remplacer le travail sur les fractions -véritable handicap pour les mathématiciens de l'antiquité et du moyen Age- par l'utilisation des retenues :

« Multiplier ou additionner un nombre factionnaire comme 2,5 ou 3,4 revient à effectuer les mêmes opérations que lors de l'addition ou de la multiplication de 25 et de 34, puisque la partie inférieure à l'unité reste soumise aux régles de la nouvelle numération. L'adoption d'un tel système est donc capital pour le développement des techniques mathématiques modernes et son importance se compare sans peine à l'introduction de l'alphabet dans l'écriture » ^[2]

[modifier] Représentation d'une quantité

Article détaillé : Chaîne numérique.

[modifier] Quantité témoin

Une technique ancienne permet de représenter une quantité sans l'intervention de l'écriture ni du langage. En symbolisant chaque élément par un caillou ou un jeton, cela permet d'enregistrer une quantité à l'aide d'une quantité équivalente. De cette manière, par comparaison des quantités, élément par élément, il est possible de déterminer si un troupeau est complet, ou si le nombre de bêtes qu'il comprend accroit, décroit ou reste stable. Ce système a été utilisé dès la préhistoire sous al forme d'encoches sur des os (et probablement des morceaux de bois) ; dans l'antiquité grecque, on l'utilisait pour dénombrer les soldats (chaque soldat apportait un cailloux), ou bien au XX^e siècle dans les mines françaises pour savoir si tout le monde était sorti (par la gestion des lampes). Le terme « calcul » (cailloux) et le mot anglais « digit » (doigt), avec l'anglicisme « digital » (numérique), proviennent de cette pratique.

On parle de collection équipotente.

[modifier] Symbolisation

Les nombres peuvent être représentés par des signes, par des mots ou par des gestes. Un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes représentant les nombres définit un système de numération.

On peut dégager cinq principes dans la constitution d'un système de numération :

principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;
principe d'ordre stable : les mots-nombre sont toujours récités dans le même ordre ;
principe cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
principe d'abstraction : on peut compter n'importe quel objet, ils peuvent même être disparates ;
principe de non-pertinence de l'ordre : on peut compter les objets dans n'importe quel ordre (de gauche à droite, de droite à gauche, …).

[modifier] Caractéristiques

[modifier] Finalités de la numération

La numération s'utilise à des fins cardinales ou ordinales.
^{[réf. nécessaire]} |La numération cardinale, ou arithmétique, vise à représenter des quantités, des proportions ou des grandeurs.
La numération ordinale vise à ordonner un ensemble et à identifier chaque élément de cet ensemble.

[modifier] Caractère d'une numération

Pour compter, on ajoute successivement des unités, et on les groupe par paquets chaque fois qu'on atteint une certaine valeur. De même, au bout d'un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets en paquets plus grands, et ainsi de suite. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet, qui donne le caractère de la numération, est identique. Il existe toutefois des exceptions. Ainsi, la numération maya, de caractère vigésimale, afin d'approcher le calendrier, est irrégulière, la numération babylonienne, de caractère sexagésimal, se présente comme une combinaison de systèmes, et reste ainsi accessible.

De nombreux systèmes ont été utilisés par des peuples et à des époques variés.

Un système binaire (base 2) utilisé dans des langues d'Amérique du Sud et d'Océanie.
Un système quinaire (base 5) était utilisé parmi les premières civilisations, et jusqu'au XX^e siècle par des peuples africains, mais aussi, partiellement, dans les notations romaine et maya.
Un système sénaire (base 6 )
Un système octal (base 8) est utilisé en pame du nord (northern pame), au Mexique, et en yuki, en Californie.
Un système décimal (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme les Chinois dès les premiers temps, et, probablement, les Proto-indo-européens. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu.
Un système duodécimal (base 12) est utilisé au Népal par le peuple chepang. On le retrouve, à cause de ses avantages en matière de divisibilité (par 2, 3, 4, 6), pour un certain nombre de monnaies et d'unités de compte courantes en Europe au Moyen Âge, partiellement dans les pays anglo-saxons dans le système d'unité impérial, et dans le commerce. Il sert aussi pour compter en mois ainsi que pour compter les heures.
Un système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois ou par les Basques dans les premiers temps, mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère décimal ou vigésimal.
Un système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne, ainsi que par les Indiens et les Arabes en trigonométrie. Il sert actuellement dans la mesure du temps et des angles.

Communément, on parle souvent de base au lieu de caractère. Ces notions sont proches, mais, de manière rigoureuse, la base ne s'applique qu'à une notation strictement et exclusivement positionnelle. Certaines bases de numération sont utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique. Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.

[modifier] Anthropologie de la numération

Parmi les différentes cultures humaines, de nombreux systèmes de numération traditionnels reposent sur les nombres 5, 10 ou 20. Cela peut s'expliquer par le fait que dans beaucoup de cultures on utilise le comptage sur les 5 doigts de la main, sur les 10 doigts des deux mains ou les 20 doigts des mains et orteils des pieds. Ainsi en shuar, le nombre 10 se dit « deux mains »^[3]. De là proviennent les chiffres romains V pour 5 (une main) et X pour 10 (deux mains jointes).

Toutefois, certains systèmes de numération peuvent être beaucoup plus limités. Ainsi, en munduruku, il n'existe pas de symbole linguistique pour représenter des cardinaux supérieurs à 5.

[modifier] Applications

[modifier] Numéroter

Numéroter consiste à attribuer un numéro à chacun des éléments d'un ensemble d'éléments. Bien que les numéros soient généralement des nombres, ils ne représentent pas une quantité. Cependant, ces nombres peuvent permettre une relation ordonnée des éléments numérotés. En ce sens, la numérotation s'apparente alors à une numération ordinale.

[modifier] Nombrer

Nombrer consiste à nommer la quantité d'éléments d'un ensemble d'éléments.

[modifier] Compter

Compter consiste à réciter une suite ordonnée de mots, appelés nombres. Compter des éléments consiste à mettre des éléments d'un ensemble d'éléments un à un en correspondance avec les nombres successifs. Il s'agit en quelque sorte d'une numérotation ordonnée. Compter des éléments nécessite à la fois de savoir réciter les entiers naturels dans l'ordre, de savoir pointer (de la main, du regard, …) des éléments, et de savoir coordonner la motricité, l'activité sensitive (visuelle ou tactile) et le langage.

[modifier] Dénombrer

Dénombrer consiste à déterminer la quantité d'éléments d'un ensemble d'éléments par le biais du comptage. Dénombrer un ensemble d'éléments revient donc à les compter et à les nombrer. Ainsi, un enfant, par exemple, sait dénombrer lorsque la technique du comptage est acquise et qu'il sait que le dernier mot employé représente la quantité des éléments comptés.

[modifier] Mesurer

Mesurer consiste à déterminer une quantité, une dimension ou une intensité, généralement à l'aide d'un instrument de mesure, ce dernier, le plus souvent, définissant ou étant lié à une unité de mesure, pouvant elle-même être fixée par un étalon.

[modifier] Calculer

Calculer consiste à effectuer des opérations.

[modifier] Comptabiliser

Comptabiliser consiste à s'intéresser à une quantité ou à ses fluctuations, par le biais d'un compte ou d'une comptabilité, en considérant les arrivées et les départs, les entrées et les sorties, les gains et les pertes, les recettes et les dépenses, etc.

[modifier] Numérations fictionnelles

Plusieurs numérations fictionnelles ont été imaginées :

la numération Bibi de Boby Lapointe ;
la numération D'ni de la saga Myst, de base 25, utilisée par la civilisation D'ni ;
la numération Shadok, quaternaire, utilisant les chiffres Ga, Bu, Zo et Meu.

[modifier] Références

↑ Michel Vidal , Grandes Inventions de l'Humanité , Paris Larousse 2005
↑ Michel Rival , Op. cit.
↑ (en) Native numerals

[modifier] Voir aussi

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Numération, sur le Wiktionnaire

Chaîne numérique
Chiffre
Nombre
Système de numération
Construction du nombre chez l'enfant
Base (arithmétique)
Compte
Mesure physique
Calcul (mathématiques)

v · d · m

Systèmes de numération

Numérations selon les cultures

Numération arabo-indienne	arabe · khmer · indienne · mongole · thaï
Numérations à l’origine chinoise	chinoise · japonaise · suzhou
Numérations alphabétiques	arménienne · cyrillique · d'Âryabhata · éthiopienne · hébraïque · grecque · gotique · tchouvache
Autres systèmes	attique · brahmi · champs d'urnes · égyptienne · étrusque · forestière · inuite · maya · mésopotamienne · romaine

Notations positionnelles par base

Décimal (10)
2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64
1 · 3 · 6 · 9 · 12 · 20 · 24 · 30 · 36 · 60 · plus…

v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) · Entier relatif ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) · Nombre décimal ( $\scriptstyle\mathbb{D}$ ) · Nombre rationnel ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre réel ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) · Nombre complexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) · Octonion ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) · Sédénion ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) · Nombre complexe déployé · Tessarine · Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) · Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{MC}$ ) · Biquaternion · Coquaternion · Octonion déployé · Nombre hypercomplexe · Nombre p-adique ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre hyperréel · Nombre superréel · Nombre dual · Droite réelle achevée · Nombre cardinal · Nombre ordinal · Nombre surréel · Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité · Nombre premier · Nombre composé · Carré parfait · Nombre parfait · Nombre positif · Nombre négatif · Fraction dyadique · Nombre irrationnel · Nombre algébrique · Nombre transcendant · Nombre imaginaire pur · Nombre de Liouville · Nombre normal · Nombre univers · Nombre constructible · Nombre réel calculable · Nombre transfini · Infiniment petit · Infiniment grand
Exemples	Pi (π) · Racine carrée de deux (√2) · Nombre d’or (φ) · Zéro (0) · Unité imaginaire ( $i$ ) · Constante de Neper ( $e$ ) · Aleph-zéro (ℵ₀) · Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre · Numération · Fraction · Opération · Calcul · Algèbre · Arithmétique · Suite d’entiers · Infini (∞) · Chiffre significatif

v · d · m Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), trinaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), duodécimal (12), tridécimal (13), hexadécimal (16), vicésimal (20), sexagésimal (60)
Autre base	base d'or (φ)
Notions	base • chiffre • nombre • notation positionnelle • numération

Numération