Opérations sur les ensembles (encyclopédie mathématiques)

Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. Les opérations booléennes (réunion, intersection, complémentaire ...) sont traitées dans l'article Algèbre des parties d'un ensemble.

Sommaire

Ensemble des parties [modifier]

L’ensemble des parties d'un ensemble E, noté habituellement $\mathcal{P}$ (E) ou $\mathfrak{P}$ (E), est, comme son nom l’indique, l’ensemble formé par tous les sous-ensembles de l’ensemble E:

$\mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}$

Par exemple si A = {a, b}, $\mathfrak{P}$ (A)={Ø,{a}, {b},A}

L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la réunion, de l’intersection et du complémentaire forme une algèbre de Boole.

Article détaillé : Algèbre des parties d'un ensemble.

Si l'ensemble de départ est fini, avec n éléments, alors cette algèbre est isomorphe à $\mathbb{F}_{2^n}$ , corps fini à 2ⁿ éléments. L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la différence symétrique et de l’intersection ne forme pas un corps commutatif car une partie A d'un ensemble E n'est pas toujours inversible pour l'intersection.

Produit cartésien [modifier]

Le produit cartésien, noté $A \times B$ (lire « A croix B »), de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :

$A \times B = \{ (x, y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}$

On a pour A et B finis: $\mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)$

Somme disjointe [modifier]

La différence symétrique de deux ensembles A et B ne doit pas être confondue avec leur somme disjointe, notée $A + B \,$ , $A \dot\cup B \,$ ou encore $A \sqcup B$ :

$A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,$

Les symboles $0\,$ et $1\,$ dans la définition précédente peuvent être remplacés par d’autres, par exemple $\empty$ et $\{\empty\}$ . La seule exigence est que les deux symboles utilisés diffèrent l’un de l’autre.

La somme disjointe, ou réunion disjointe, permet de définir la somme de cardinaux :

$\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A + B )$

Dans le cas où au moins un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

$\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A \cup B ) = max( \mathrm{card}( A ), \mathrm{card}( B ) )$

Exponentiation [modifier]

On définit $F^E \,$ comme l’ensemble des applications de $E$ dans $F$ .

On peut alors identifier l’ensemble des parties d’un ensemble $E$ , $\mathfrak P(E)$ , à $\{0,1\}^E \,$ ; cela revient en effet à identifier chaque partie de $E$ à son indicatrice.

On peut aussi considérer le produit cartésien $\bigotimes_{i\in I}E_i$ comme étant l’ensemble $E^I$ .

v · d · m

Opérations binaires

Numériques	En ensemble ordonné	Structurelles	Autres

Élémentaires $+$ Addition $-$ Soustraction $\times$ Multiplication $\div$ Division $\hat{}$ Puissance Arithmétiques $\mathrm{div}$ Quotient euclidien $\mathrm{mod}$ Reste euclidien $\mathrm{pgcd}$ PGCD $\mathrm{ppcm}$ PPCM Combinatoires $( )$ Coefficient binomial $A$ Arrangement	Ensembles de parties $\cup$ Union $\backslash$ Complémentation $\cap$ Intersection $\Delta$ Différence symétrique Ordre total $\min$ Minimum $\max$ Maximum Treillis $\wedge$ Borne inférieure $\vee$ Borne supérieure	Ensembles $\times$ Produit cartésien $\dot{\cup}$ Somme disjointe $\hat{}$ Puissance ensembliste Groupes $\oplus$ Somme directe $\ast$ Produit libre $\wr$ Produit en couronne (en) Modules $\otimes$ Produit tensoriel $\mathrm{Hom}$ Homomorphisme $\mathrm{Tor}$ Torsion $\mathrm{Ext}$ Extension Arbres $\vee$ Enracinement Variétés connexes $\#$ Somme connexe Espaces pointés $\vee$ Bouquet $\wedge$ Smash produit $\ast$ Joint	Fonctionnelles $\circ$ Composition de fonctions $\ast$ Produit de convolution Vectorielles $\cdot$ Produit scalaire $\wedge$ Produit vectoriel $\times\,$ Produit vectoriel généralisé Algébriques $[,]$ Crochet de Lie $\{,\}$ Crochet de Poisson $\wedge$ Produit extérieur Homologiques $\smile$ Cup produit $\cdot$ Produit d'intersection Séquentielles $+$ Concaténation