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Opérations sur les ensembles



Opérations sur les ensembles : encyclopédie mathématiques

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Les op√©rations ensemblistes sont les op√©rations math√©matiques faites sur les ensembles, sans s'occuper de la nature des √©l√©ments qui composent ces ensembles. Les op√©rations bool√©ennes (union, intersection, compl√©mentaire, diff√©rence et diff√©rence sym√©trique) sont trait√©es dans l'article ¬ę Alg√®bre des parties d'un ensemble ¬Ľ.

Ensemble des parties[modifier | modifier le code]

L'ensemble des parties d'un ensemble E, not√© habituellement \mathcal{P}(E) ou \mathfrak{P}(E), est l'ensemble dont les √©l√©ments sont tous les sous-ensembles de E :

 \mathfrak{P}(E) = \{ A\mid A \subseteq E \}.

Par exemple si E = {a, b}, \mathfrak{P}(E) = {√ė, {a}, {b}, E}.

L'ensemble des parties d'un ensemble, muni de la réunion, de l'intersection et du complémentaire, forme une algèbre de Boole.

Article d√©taill√© : Alg√®bre des parties d'un ensemble.

Produit cartésien[modifier | modifier le code]

Le produit cart√©sien, not√©  A \times B (lire ¬ę A croix B ¬Ľ), de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples dont la premi√®re composante appartient √† A et la seconde √† B :

 A \times B = \{ (x, y)\mid(x \in A) \wedge (y \in B) \}.

Son cardinal est :

\mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A)\times\mathrm{card}(B).

Somme disjointe[modifier | modifier le code]

La somme disjointe, ou r√©union disjointe, de deux ensembles A et B, not√©e A + B, A \dot\cup B ou encore A \sqcup B, est d√©finie par :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}.

Les symboles 0 et 1 dans la d√©finition pr√©c√©dente peuvent √™tre remplac√©s par d'autres, par exemple √ė et {√ė}. La seule exigence est que les deux symboles utilis√©s diff√®rent l'un de l'autre.

Cette op√©ration permet de d√©finir la somme de cardinaux  :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A + B ).

Dans le cas o√Ļ au moins l'un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

\mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B ) = \mathrm{card}( A \cup B ) =\max( \mathrm{card}( A ), \mathrm{card}( B ) ).

Exponentiation[modifier | modifier le code]

Article d√©taill√© : Exponentiation ensembliste.

On définit FE comme l'ensemble des applications de E dans F, qui s'identifie au produit cartésien \prod_{e\in E} F.

On peut alors identifier l'alg√®bre \mathfrak P(E) des parties d'un ensemble E √† {0, 1}E ; cela revient en effet √† identifier chaque partie de E √† son indicatrice.


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