Parallélogramme (encyclopédie mathématiques)

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Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ;

Un parallélogramme

Sommaire

[modifier] Propriétés

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales,
ses diagonales ont le même milieu,
ses côtés opposés ont la même longueur,
ses angles opposés sont égaux,
ses angles consécutifs sont supplémentaires,
ses côtés opposés sont parallèles.

[modifier] Propriétés caractéristiques

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

ses côtés opposés sont parallèles deux à deux,
le quadrilatère est convexe et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux,
ses diagonales se coupent en leur milieu,
ABDC est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ,
le quadrilatère est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux,
ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

[modifier] Reconnaître un parallélogramme

[modifier] Avec les diagonales

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

[modifier] Avec les côtés

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si un quadrilatère (non croisé) a une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

[modifier] Aire d'un parallélogramme

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée. L'aire $A$ du parallélogramme vaut :

$A=b \times h$

[modifier] Aspect abstrait

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;

on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;

dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».

La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

on appelle vecteur ${}^{\overrightarrow{AB}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

[modifier] Un contre-exemple

Contre exemple montrant l'importance de la convexité.

Un antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.

[modifier] Articles connexes

Antenne losange

Parallélogramme