Parallélogramme

Un parallélogramme

Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.

[modifier] Propriétés

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu,
• Le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie et de gravité,
• Ses côtés opposés ont la même longueur,
• Ses côtés opposés sont parallèles,
• Ses angles opposés ont la même mesure,
• Ses angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180°),
• Les diagonales partagent le parallélogramme en quatre triangles de même aire,
• Les diagonales se coupent en leur milieu et leur point d'intersection est aussi le centre du parallélogramme,
• Un parallélogramme de centre O a un centre de symétrie:le point O.

[modifier] Propriétés caractéristiques

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

• des côtés opposés sont parallèles deux à deux,
• le quadrilatère est convexe et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux,
• ses diagonales se coupent en leur milieu,
• ABCD est un parallélogramme si ,
• le quadrilatère est convexe et les angles opposés ont la même mesure deux à deux,
• les angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

[modifier] Reconnaître un parallélogramme

Les propriétés précédentes peuvent aussi servir à reconnaître un parallélogramme dans un quadrilatère donné, en voici une autre :

• Il est non croisé et deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur (on reconnaît ici la définition vectorielle).

• Les losanges, les rectangles et les carrés sont des parallélogrammes particuliers.

[modifier] Aire d'un parallélogramme

Soient la longueur d'un côté du parallélogramme et la longueur de la hauteur associée. L'aire du parallélogramme vaut :

[modifier] Aspect abstrait

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;

on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;

dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens Â».

La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

• on appelle vecteur la classe d'équivalence des bipoints équipollents à (A,B) ;

le vecteur est l'ensemble des bipoints satisfaisant la relation d'équipollence avec (A,B).

[modifier] Un contre-exemple

Contre exemple montrant l'importance de la convexité.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

• Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure.

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