Partie entière

Partie entière : encyclopédie mathématique

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Représentation graphique de la fonction « partie entière »

En mathématiques, la partie entière (par défaut) d'un nombre réel est l'entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. Pour un nombre réel $x$ , elle se note usuellement $E(x)$ , où la lettre $E$ désigne la fonction partie entière.

La notation $[x]$ est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut (floor, « plancher ») et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») :

$\lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil.$

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de $- 1,5$ vaut $- 2$ , tandis que sa troncature à l'unité vaut $- 1$ .

La différence entre un nombre $x$ et sa partie entière est appelée partie fractionnaire et se note ${x}$ .

Sommaire

[modifier] Propriétés générales

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à $1$ .

Tout réel $x$ vérifie les propriétés suivantes :

$x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ ;
$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon ;}\end{array}\right.$

et pour tout entier $n$ strictement positif :

$0 \le \lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \le n-1 ;$
$\left\lfloor\frac{1}{n}\lfloor nx \rfloor\right\rfloor=\lfloor x \rfloor.$
On en déduit que si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}.$

[modifier] Fonction partie entière

La fonction partie entière n’est pas continue sur les valeurs entières, mais est semi-continue à droite et supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac.

[modifier] Fonction partie fractionnaire

Elle est semi-continue à gauche et supérieurement. Elle est aussi périodique de période $1$ et admet donc une décomposition en série de Fourier sous la forme

$\{x\} = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n \pi}.$