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Pi : encyclopédie mathématiques

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Si le diamĂštre du cercle est 1, sa circonfĂ©rence est π.

Pi[1] est un nombre, que l’on reprĂ©sente par la lettre grecque du mĂȘme nom : π. C’est le rapport de la circonfĂ©rence d’un cercle Ă  son diamĂštre. On peut Ă©galement le dĂ©finir comme le rapport de la superficie d’un cercle au carrĂ© de son rayon.

Sa valeur approchĂ©e par dĂ©faut Ă  moins de 0,5×10–15 prĂšs[2] est 3,141 592 653 589 793 en Ă©criture dĂ©cimale[3],[4].

De nombreuses formules, de physique, d’ingĂ©nierie et bien sĂ»r de mathĂ©matiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathĂ©matiques[5].

Le nombre π est irrationnel, c’est-Ă -dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraĂźne que son Ă©criture dĂ©cimale n’est ni finie, ni pĂ©riodique. C’est mĂȘme un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynĂŽme non nul Ă  coefficients entiers dont π soit une racine[6].

La dĂ©termination d’une valeur approchĂ©e suffisamment prĂ©cise de π, et la comprĂ©hension de sa nature sont des enjeux qui ont traversĂ© l’histoire des mathĂ©matiques ; la fascination exercĂ©e par ce nombre l’a mĂȘme fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, premiĂšre lettre de « Ï€Î”ÏÎŻÎŒÎ”Ï„ÏÎżÏ‚ Â» — pĂ©rimĂštre en grec —, n’est apparu qu’au XVIIIe siĂšcle. Auparavant, sa valeur Ă©tait dĂ©signĂ©e par diverses pĂ©riphrases comme la « constante du cercle Â» ou son Ă©quivalent dans diverses langues.

Définition et premiÚres propriétés[modifier | modifier le code]

DĂ©finition[modifier | modifier le code]

On dĂ©duit d’une propriĂ©tĂ© analogue pour les polygones rĂ©guliers que l’aire d’un disque Ă©gale son demi-pĂ©rimĂštre multipliĂ© par son rayon.

Dans les dictionnaires et ouvrages gĂ©nĂ©ralistes[7], π est dĂ©fini comme le rapport constant entre la circonfĂ©rence d’un cercle et son diamĂštre (forcĂ©ment dans le plan usuel qui est le plan euclidien). Ce rapport ne dĂ©pend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle Ă  un autre il suffit de connaĂźtre le rapport de la similitude. Par suite, pour tout rĂ©el k, si un cercle possĂšde un rayon r (ou un diamĂštre d = 2r) k fois plus grand qu’un autre, alors son pĂ©rimĂštre P sera aussi k fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport π = P/(2r) = P/d.

Par ailleurs, cette mĂȘme similitude multipliera l’aire A par le carrĂ© de k, ce qui prouve maintenant que le rapport A/r2 est constant. On peut montrer[8] que cette constante vaut Ă©galement π. Le dessin ci-contre illustre ce phĂ©nomĂšne : le pĂ©rimĂštre du polygone est Ă  peu prĂšs 2πr alors qu’en redistribuant les triangles formĂ©s on remarque que son aire est Ă  peu prĂšs πr2. Pour formaliser le « Ă  peu prĂšs Â» il faudrait faire tendre le nombre de cĂŽtĂ©s du polygone vers l’infini, ce qui illustre dĂ©jĂ  la nature « analytique Â» de π.

Il s’avĂšre que cette dĂ©finition gĂ©omĂ©trique, la premiĂšre historiquement et trĂšs intuitive, n’est pas la plus directe pour les mathĂ©maticiens quand ils veulent dĂ©finir π en toute rigueur. Les ouvrages plus spĂ©cialisĂ©s[9] dĂ©finissent π par l’analyse rĂ©elle Ă  l’aide des fonctions trigonomĂ©triques elles-mĂȘmes introduites sans rĂ©fĂ©rence Ă  la gĂ©omĂ©trie (voir plus bas).

DĂ©finitions alternatives[modifier | modifier le code]

  • Un choix frĂ©quent est de dĂ©finir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0, oĂč cos est dĂ©finie comme la partie rĂ©elle de l’exponentielle complexe[10].
  • Une autre dĂ©finition est envisageable en considĂ©rant les propriĂ©tĂ©s exp(z + w) = exp(z)exp(w) et exp'(0) = 1 qui dĂ©coulent de la dĂ©finition analytique de l’exponentielle et qui font que l’application t ↩ exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe (ℝ, +) vers le groupe \scriptstyle (\mathbb{U},\times) (oĂč \scriptstyle \mathbb{U} est l’ensemble des complexes de module Ă©gal Ă  1). On dĂ©montre alors que l’ensemble des nombres rĂ©els t tels que exp(it) = 1 est de la forme aâ„€ oĂč a est un rĂ©el strictement positif. On pose alors π = a/2[11]. Le calcul intĂ©gral permet ensuite de vĂ©rifier que cette dĂ©finition abstraite correspond bien Ă  celle de la gĂ©omĂ©trie euclidienne.
  • Le groupe Bourbaki propose une dĂ©finition alternative trĂšs voisine en dĂ©montrant l’existence d’un morphisme de groupe f continu de (ℝ, +) vers \scriptstyle (\mathbb{U},\times) tel que f(1/4) = i. Il dĂ©montre que ce morphisme est pĂ©riodique de pĂ©riode 1, dĂ©rivable et qu’il existe un rĂ©el a tel que, pour tout rĂ©el x, f' (x) = 2ia f(x). Il dĂ©finit π comme le rĂ©el ainsi trouvĂ©[11].

Les deux mĂ©thodes prĂ©cĂ©dentes consistent en rĂ©alitĂ© Ă  calculer le pĂ©rimĂštre du cercle, qu’on a dĂ©fini par la fonction t ↩ exp(it), ou la fonction t ↩ exp(2iπt).

  • Mais on peut aussi dĂ©finir π grĂące au calcul intĂ©gral en posant :
     {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ {\rm d}x
    ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de sommes de Riemann) l’aire d’un quart de disque de rayon 1.
  • Ou bien Ă  l’aide du dĂ©nombrement, en appelant \scriptstyle \varphi(n) le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que k2 + p2 ≀ n2 et en dĂ©finissant :
    \frac{\pi}4=\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2},
    ce qui est une autre méthode pour calculer la surface du quart de disque.

Irrationalité[modifier | modifier le code]

Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas Ă©crire π = p/q oĂč p et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IXe siĂšcle, est persuadĂ© que π est irrationnel[12]. MoĂŻse MaĂŻmonide fait Ă©galement Ă©tat de cette idĂ©e durant le XIIe siĂšcle. Ce n’est cependant qu’au XVIIIe siĂšcle que Johann Heinrich Lambert prouve ce rĂ©sultat[13].

C’est en 1761 que ce dernier expose, dans son ouvrage « MĂ©moires sur quelques propriĂ©tĂ©s remarquables des quantitĂ©s transcendantes, circulaires et logarithmiques Â», un dĂ©veloppement en fraction continue gĂ©nĂ©ralisĂ©e de la fonction tangente. Il en dĂ©duit qu'un dĂ©veloppement de tan(m/n), avec m et n des nombres entiers non nuls, s’écrit[14] : \tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots

Or, on sait que sous certaines hypothĂšses — vĂ©rifiĂ©es ici — un dĂ©veloppement en fraction continue gĂ©nĂ©ralisĂ©e reprĂ©sente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par contraposĂ©e, ceci prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siĂšcle, d’autres dĂ©monstrations furent trouvĂ©es, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancĂ©es que celle du calcul intĂ©gral. L’une d’entre elles, due Ă  Ivan Niven, est trĂšs largement connue[15],[16]. Une preuve similaire, version simplifiĂ©e de celle de Charles Hermite[17],[18], avait Ă©tĂ© trouvĂ©e quelque temps auparavant par Mary Cartwright[19].

Transcendance[modifier | modifier le code]

π est aussi un nombre transcendant, c’est-Ă -dire non algĂ©brique : il n’existe pas de polynĂŽme Ă  coefficients rationnels dont π soit une racine[20].

C’est au XIXe siĂšcle que ce rĂ©sultat est dĂ©montrĂ©. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme nĂ©pĂ©rien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann gĂ©nĂ©ralise son raisonnement en un thĂ©orĂšme (le thĂ©orĂšme d’Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algĂ©brique et diffĂ©rent de zĂ©ro, alors ex est transcendant. Or eiπ n’est pas transcendant (puisqu’il est Ă©gal Ă  -1). Par contraposĂ©e, iπ n’est pas algĂ©brique donc (comme i, lui, est algĂ©brique) π est transcendant.

Une consĂ©quence importante de la transcendance de π est que celui-ci n’est pas constructible. En effet, le thĂ©orĂšme de Wantzel Ă©nonce en particulier que tout nombre constructible est algĂ©brique. En raison du fait que les coordonnĂ©es de tous les points pouvant se construire Ă  la rĂšgle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement Ă  la rĂšgle et au compas, un carrĂ© dont la superficie serait Ă©gale Ă  celle d’un cercle donnĂ©[21].

Représentation décimale[modifier | modifier le code]

Les 16 premiers chiffres de l’écriture dĂ©cimale de π sont 3,141 592 653 589 793 (voir les liens externes[3],[4],[22] pour davantage de dĂ©cimales).

Alors qu’en 2007, on connaissait dĂ©jĂ  plus de 1012 dĂ©cimales de π[23], de nombreuses applications concrĂštes, comme l’estimation de la circonfĂ©rence d’un cercle, n’ont besoin que d’une dizaine de chiffres. Par exemple, la reprĂ©sentation dĂ©cimale de π tronquĂ©e Ă  39 dĂ©cimales est suffisante pour estimer la circonfĂ©rence d’un cercle dont les dimensions sont celles de l’univers observable avec une prĂ©cision comparable Ă  celle du rayon d’un atome d’hydrogĂšne[24],[25].

Étant donnĂ© que π est un nombre irrationnel, sa reprĂ©sentation dĂ©cimale n’est pas pĂ©riodique et ne prend pas fin. La sĂ©quence des dĂ©cimales de π a toujours fascinĂ© les mathĂ©maticiens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont Ă©tĂ© mis en Ɠuvre afin d’obtenir de plus en plus de dĂ©cimales et d’en rechercher certaines propriĂ©tĂ©s[26], comme l'occurrence de nombres premiers dans les concatĂ©nations de ses dĂ©cimales (voir la section d'article Nombre premier issu de troncature de constante.)

MalgrĂ© les importants travaux d’analyse effectuĂ©s et les calculs qui ont rĂ©ussi Ă  dĂ©terminer plus de 200 milliards de dĂ©cimales de π, aucun modĂšle simple n’a Ă©tĂ© trouvĂ© pour dĂ©crire la sĂ©quence de ces chiffres[27]. Les chiffres de la reprĂ©sentation dĂ©cimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des dĂ©cimales de π qui peuvent en gĂ©nĂ©rer des milliards et qu’on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le dĂ©veloppement dĂ©cimal de π ouvre le champ Ă  d’autres questions, notamment celle de savoir si π est un nombre normal, c’est-Ă -dire que ses chiffres en Ă©criture dĂ©cimale sont Ă©quirĂ©partis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers, ce qui signifie qu’on pourrait trouver dans son dĂ©veloppement dĂ©cimal n’importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n’existait pas de rĂ©ponse Ă  ces questions[28].

Représentation fractionnaire[modifier | modifier le code]

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisĂ©es pour mĂ©moriser ou approcher Pi dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthĂšses) : \frac31~(1),\qquad\frac{22}7~(3),\qquad\frac{333}{106}~(5),\qquad\frac{355}{113}~(7),\qquad\frac{103993}{33102}~(9),\qquad\frac{104348}{33215}~(10)\ldots

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires (Histoire, Approximation numĂ©rique, fractions continues et MĂ©morisation de π).

Approximation de π[modifier | modifier le code]

On peut trouver une valeur approchĂ©e de π de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamĂštre et sa circonfĂ©rence, puis en divisant la circonfĂ©rence par le diamĂštre. Une autre approche gĂ©omĂ©trique, attribuĂ©e Ă  ArchimĂšde, consiste Ă  calculer le pĂ©rimĂštre Pn d’un polygone rĂ©gulier Ă  n cĂŽtĂ©s et Ă  mesurer le diamĂštre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit[29]. Plus le nombre de cĂŽtĂ©s du polygone est grand, meilleure est la prĂ©cision obtenue pour la valeur de π.

ArchimĂšde a utilisĂ© cette approche en comparant les rĂ©sultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones rĂ©guliers ayant le mĂȘme nombre de cĂŽtĂ©s, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a rĂ©ussi, avec un polygone Ă  96 cĂŽtĂ©s, Ă  dĂ©terminer[30] que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.

On peut Ă©galement obtenir des valeurs approchĂ©es de π en mettant en Ɠuvre des mĂ©thodes plus modernes. La plupart des formules utilisĂ©es pour calculer π se basent sur la trigonomĂ©trie et le calcul intĂ©gral. Cependant, certaines sont particuliĂšrement simples, comme la formule de Leibniz[31] : \pi=4\sum^\infty_{k=0}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac41-\frac43+\frac45-\frac47+\frac49-\frac4{11}\cdots.\!

Cette sĂ©rie converge si lentement que prĂšs de 200 termes sont nĂ©cessaires pour calculer π avec deux dĂ©cimales exactes[32]. Cependant, il est possible de dĂ©finir une suite similaire qui converge vers π beaucoup plus rapidement, en posant : \pi_{0,1}=\frac41,\ \pi_{0,2}=\frac41-\frac43,\ \pi_{0,3} =\frac41-\frac43+\frac45,\ \pi_{0,4}=\frac41-\frac43+\frac45-\frac47, \cdots\! et en dĂ©finissant : \pi_{i,j}=\frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}2\text{ pour tout }i,j\ge1.

Le calcul de π10,10 demande alors un temps similaire Ă  celui requis pour calculer les 150 premiers termes de la sĂ©rie initiale, mais la prĂ©cision est bien meilleure car π10,10 = 3,141592653
 approche π avec neuf dĂ©cimales exactes[33]. On trouvera plus loin des mĂ©thodes de calcul plus Ă©laborĂ©es, donnant des convergences bien plus rapides encore.

Histoire[modifier | modifier le code]

L’histoire ancienne de π, qu’on peut retracer grĂące aux Ă©crits disponibles, suit approximativement l’avancĂ©e des mathĂ©matiques dans leur ensemble[30]. Certains auteurs divisent l’histoire de π en trois parties : la pĂ©riode antique durant laquelle π a Ă©tĂ© Ă©tudiĂ© gĂ©omĂ©triquement, l’ùre classique, aux alentours du XVIIe siĂšcle, oĂč les outils du calcul intĂ©gral ont permis des avancĂ©es dans la connaissance du nombre π, et la pĂ©riode des ordinateurs numĂ©riques[34].

Antiquité[modifier | modifier le code]

Il semble que, trĂšs tĂŽt, les mathĂ©maticiens aient Ă©tĂ© convaincus qu’il existait un rapport constant entre le pĂ©rimĂštre du cercle et son diamĂštre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carrĂ© du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. J.-C. et dĂ©couvertes en 1936[35] prĂ©sentent des calculs d’aire conduisant Ă  une valeur de π de 3+1/8[36].

Approximation de π par AhmĂšs.

DĂ©couvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopiĂ© vers l’an 1650 avant notre Ăšre par le scribe Ă©gyptien AhmĂšs, d’un manuel de problĂšmes pĂ©dagogique plus ancien encore. On y trouve une mĂ©thode pour Ă©valuer l’aire d’un disque en prenant le carrĂ© dont le cĂŽtĂ© est Ă©gal au diamĂštre du disque diminuĂ© d’un neuviĂšme. Cette mĂ©thode conduit Ă  une Ă©valuation de π de 256/81. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamĂštre 9. L’aire du disque est lĂ©gĂšrement supĂ©rieure Ă  l’aire de l’octogone irrĂ©gulier obtenu en rognant les coins du carrĂ© de cĂŽtĂ© 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors Ă©valuĂ©e Ă  64 soit l’aire d’un carrĂ© de cĂŽtĂ© 8. Le rapport entre l’aire du disque et le carrĂ© du rayon est alors Ă©valuĂ© par 64/(9/2)2, c’est-Ă -dire 256/81.

Le texte indien Shatapatha Brahmana donne Ă  π une valeur de 339/108 â‰ˆ 3,139[rĂ©f. nĂ©cessaire]. Aryabhata donne Ă©galement une approximation prĂ©cise de π Ă  \tfrac{62832}{20000} = 3,1416. Comme |\pi-3,1416|\leq 0,0000075 il s'agit d'un rĂ©sultat remarquable, exact Ă  10^{-5} prĂšs.

C’est dans le traitĂ© d’ArchimĂšde (-287, -212) intitulĂ© De la mesure du cercle que l’on peut lire une dĂ©monstration liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant une base de longueur le pĂ©rimĂštre du cercle et pour hauteur le rayon, dĂ©montrant ainsi qu’une mĂȘme constante apparaĂźt dans le rapport entre aire du disque et carrĂ© du rayon et entre pĂ©rimĂštre et diamĂštre[37].

Cette dĂ©monstration s’appuie sur la mĂ©thode d’exhaustion et un raisonnement par l'absurde[38]. En partant d’un carrĂ© inscrit dans le cercle et d’un carrĂ© circonscrit au cercle et en multipliant indĂ©finiment par 2 le nombre de cĂŽtĂ©s, il prouve que l’aire du disque ne peut ĂȘtre infĂ©rieure ni supĂ©rieure Ă  celle du triangle correspondant.

Sa dĂ©monstration exploite l’idĂ©e du dĂ©coupage en quartiers : le cercle est dĂ©coupĂ© en plusieurs quartiers qui, mis bout Ă  bout, dessinent des triangles curvilignes de mĂȘme hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au pĂ©rimĂštre du cercle et l’aire est alors de 1/2 de la base multipliĂ©e par la hauteur, c’est-Ă -dire 1/2 du pĂ©rimĂštre multipliĂ© par le rayon.

DĂ©roulement des 8 portions.

La seconde dĂ©monstration consiste Ă  encadrer le pĂ©rimĂštre du cercle par le pĂ©rimĂštre de polygones rĂ©guliers inscrit et circonscrit au cercle et possĂ©dant 96 cĂŽtĂ©s[39]. Pour calculer les pĂ©rimĂštres de ces polygones, il part d’hexagones inscrits et circonscrits et met en Ă©vidence les formules donnant le pĂ©rimĂštre d’un polygone dont le nombre de cĂŽtĂ©s a doublĂ©. Il dĂ©montre ainsi que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7[39]. La moyenne de ces deux valeurs est d’environ 3,14185. ArchimĂšde s’arrĂȘte Ă  96 cĂŽtĂ©s car les calculs qu’il est amenĂ© Ă  effectuer, avec valeurs approchĂ©es, sont dĂ©jĂ  longs pour l’époque. Mais il met en place ainsi une mĂ©thode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en thĂ©orie ĂȘtre poursuivie indĂ©finiment. PtolĂ©mĂ©e, scientifique grec ayant vĂ©cu trois siĂšcles aprĂšs ArchimĂšde, donne une valeur de 3,1416, qu’il a probablement obtenue grĂące Ă  Apollonius de Perga[40][rĂ©f. insuffisante].

Encadrement de Liu Hui.

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne prĂ©cision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiositĂ© des mathĂ©maticiens les pousse Ă  dĂ©terminer ce nombre avec plus de prĂ©cision. Au IIIe siĂšcle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le pĂ©rimĂštre et le diamĂštre la valeur pratique de 3 mais dĂ©veloppe des calculs proches de ceux d’ArchimĂšde mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416[41]. Le mathĂ©maticien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus prĂ©cise de π[42] : π ≈ 355/113 (dont les dĂ©veloppements dĂ©cimaux sont identiques jusqu’à la 6e dĂ©cimale, π ≈ 3,141 592 6 et 355/113 ≈ 3,141 592 9) et montre que 3,141 592 6 < Ï€ < 3,141 592 7[43], en utilisant l’algorithme de Liu Hui appliquĂ© Ă  un polygone Ă  12 288 cĂŽtĂ©s. Cette valeur demeure la meilleure approximation de π au cours des 900 annĂ©es qui suivent.

Formules et calculs jusqu’en 1900[modifier | modifier le code]

Jusqu’en 1400 environ, la prĂ©cision des approximations de π n’excĂ©dait pas les 10 dĂ©cimales. Les progrĂšs en matiĂšre de calcul intĂ©gral et de sĂ©ries vont permettre d’amĂ©liorer cette prĂ©cision. Les sĂ©ries permettent d’approcher π avec d’autant plus de prĂ©cision qu’on utilise de termes de la sĂ©rie pour le calcul. Vers 1400, Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le dĂ©veloppement de arctangente (redĂ©couvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siĂšcle) : \arctan(x)=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}\quad (x \in \left[-1,1\right]). Le cas particulier x = 1 est la sĂ©rie de Leibniz mentionnĂ©e plus haut — Ă©galement connue sous le nom de sĂ©rie de Madhava-Leibniz[44],[45] — dont la convergence est trop lente.

Le cas particulier x = 1/√3 : \pi=6\cdot\frac1{\sqrt 3}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)= \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)3^k} converge bien plus vite, ce qui a permis Ă  Madhava de donner une valeur approchĂ©e de π de 3,141 592 653 59, qui a 11 dĂ©cimales correctes. Le record a Ă©tĂ© battu en 1424 par le mathĂ©maticien perse Al-Kachi, qui a rĂ©ussi Ă  donner 16 dĂ©cimales.

La premiĂšre contribution importante venant d’Europe depuis ArchimĂšde a Ă©tĂ© faite par François ViĂšte, qui en donne douze dĂ©cimales, avec un encadrement du reste dans son Canon mathĂ©matique en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne 15 dĂ©cimales en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540–1610), qui a utilisĂ© la mĂȘme mĂ©thode gĂ©omĂ©trique afin de donner une estimation de π correcte Ă  35 dĂ©cimales prĂšs. Il a Ă©tĂ© si fier de son calcul, qui lui a demandĂ© une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les dĂ©cimales sur sa pierre tombale[46].

Il est immĂ©diatement suivi par Willebrord Snell, son Ă©lĂšve, qui trouve des mĂ©thodes plus rapides pour obtenir la mĂȘme approximation. Dans la mĂȘme pĂ©riode, les mĂ©thodes de calcul intĂ©gral et de dĂ©termination de sĂ©ries et produits infinis pour des quantitĂ©s gĂ©omĂ©triques ont commencĂ© Ă  Ă©merger en Europe. La premiĂšre formule de ce type est la formule de ViĂšte : \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!

exposĂ©e par François ViĂšte en 1579 dans son Canon mathĂ©matique et Ă  nouveau en 1593, dans ses ProblĂšmes variĂ©s. Un autre rĂ©sultat cĂ©lĂšbre est le produit de Wallis : \frac{\pi}{2} = \prod^\infty_{k=1} \frac{(2k)^2}{(2k)^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots\ = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdots\!

que l’on doit Ă  John Wallis, qui l’a mis en Ă©vidence en 1655. Isaac Newton lui-mĂȘme a utilisĂ© le dĂ©veloppement en sĂ©rie de π/6 = arcsin(1/2)[47] pour calculer 15 dĂ©cimales de π ; bien plus tard, il a dĂ©clarĂ© : « J’ai honte de vous dire combien de dĂ©cimales j’ai trouvĂ©es grĂące Ă  ces calculs, n’ayant aucune autre occupation Ă  l’époque. Â»[48].

En 1706, John Machin a Ă©tĂ© le premier Ă  trouver 100 dĂ©cimales de π, en utilisant la formule : \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\! et le dĂ©veloppement ci-dessus en sĂ©rie entiĂšre de arctan.

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont Ă©tĂ© utilisĂ©es pour battre plusieurs records de dĂ©cimales connues de π, et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer π grĂące Ă  des ordinateurs. Un record remarquable est dĂ©tenu par le calculateur prodige Johann Dase qui, en 1844, Ă  l’aide d’une formule de Machin, a calculĂ© de tĂȘte 200 dĂ©cimales de π, Ă  la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue Ă  la fin du XIXe siĂšcle est due Ă  William Shanks, qui a passĂ© quinze ans Ă  calculer 707 dĂ©cimales de π, bien qu’à cause d’une erreur, seules les 527 premiĂšres Ă©taient correctes. De nos jours, il est aisĂ© d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules diffĂ©rentes pour Ă©liminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancĂ©es thĂ©oriques du XVIIIe siĂšcle ont amenĂ© les mathĂ©maticiens Ă  s’interroger sur la nature de π, notamment sur l’absence de motifs pĂ©riodiques dans ses dĂ©cimales, une hypothĂšse raisonnable au vu des calculs numĂ©riques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement diffĂ©rente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a Ă©tĂ© rĂ©alisĂ© par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier Ă  prouver l’irrationalitĂ© de π, par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvĂ© que π2 aussi Ă©tait irrationnel. Cette constante (π2) jouait un rĂŽle notable en mathĂ©matique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du problĂšme de BĂąle, qui consistait Ă  trouver la valeur exacte de \sum^\infty_{k=1}\frac1{k^2}=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots\! qui est π2/6 (comme prouvĂ© par Leonhard Euler qui a Ă©tabli Ă  cette occasion une connexion profonde entre π et les nombres premiers). Dans la foulĂ©e, Legendre et Euler ont tous les deux conjecturĂ© que π Ă©tait un nombre transcendant, ce qui a finalement Ă©tĂ© prouvĂ© en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Origine de la notation[modifier | modifier le code]

C’est au cours du XVIIIe siĂšcle que s’établit l’usage de la lettre grecque « Ï€ Â»[49], premiĂšre lettre des mots grecs πΔρÎčφέρΔÎčα (pĂ©riphĂ©rie) et Ï€Î”ÏÎŻÎŒÎ”Ï„ÏÎżÏ‚ (pĂ©rimĂštre, c’est-Ă -dire circonfĂ©rence) pour le rapport de la circonfĂ©rence du cercle sur son diamĂštre.

À partir du XVIIe siĂšcle certains mathĂ©maticiens utilisent la notation π/ÎŽ oĂč π dĂ©signe la circonfĂ©rence et ÎŽ le diamĂštre[50]. Le premier Ă  utiliser simplement π est William Jones[49] dans son livre Synopsis palmariorum mathesios publiĂ© en 1706, Ă  propos du calcul astucieux de ce nombre par la sĂ©rie de son ami Machin. Les mathĂ©maticiens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met Ă  la notation de Jones[51] dans sa correspondance Ă  partir de 1736. Il l’adopte dans son livre Introductio in analysin infinitorum publiĂ© en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du XVIIIe siĂšcle[52].

Ère informatique[modifier | modifier le code]

Alors que quelques dizaines de dĂ©cimales de π sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquĂȘte des dĂ©cimales du nombre π n’a pas cessĂ© avec l’arrivĂ©e des ordinateurs, qui ont permis de calculer un trĂšs grand nombre de ces dĂ©cimales.

En 1949, Ă  l’aide de l’ENIAC, John von Neumann a obtenu 2037 dĂ©cimales de π, suite Ă  un calcul qui a durĂ© 70 heures[53],[54]. Des milliers de dĂ©cimales supplĂ©mentaires ont Ă©tĂ© trouvĂ©es au cours des dĂ©cennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant Ă©tĂ© passĂ©e en 1973. Les progrĂšs n’ont pas seulement Ă©tĂ© dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisĂ©s. L’une des avancĂ©es les plus significatives a Ă©tĂ© la dĂ©couverte de la transformĂ©e de Fourier rapide dans les annĂ©es 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de trĂšs grands nombres.

Au dĂ©but du XXe siĂšcle, le mathĂ©maticien indien Srinivasa Ramanujan a trouvĂ© de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir π ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur Ă©lĂ©gance et leur profondeur mathĂ©matique[55]. L’une de ces formules est la sĂ©rie suivante : \frac1{\pi}=\frac{2 \sqrt 2}{9801}\sum_{k=0}^\infty\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!

La formule ci-dessous, possĂ©dant un lien Ă©troit avec celle Ă©noncĂ©e ci-dessus, a Ă©tĂ© dĂ©couverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 : \frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

Cette formule donne 14 nouvelles dĂ©cimales de π Ă  chaque terme[55]. Vers la fin des annĂ©es 1980, les frĂšres Chudnovsky l’ont utilisĂ©e pour battre plusieurs records de dĂ©cimales de π calculĂ©es. Elle demeure la formule la plus utilisĂ©e pour calculer π sur des ordinateurs personnels.

Lemniscate de Bernoulli.

Alors que les sĂ©ries permettent d’obtenir des valeurs approchĂ©es de π avec un taux de prĂ©cision supplĂ©mentaire Ă  chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itĂ©ratifs qui multiplient le nombre de dĂ©cimales correctes Ă  chaque Ă©tape, avec cependant l’inconvĂ©nient que chaque Ă©tape demande gĂ©nĂ©ralement un calcul « coĂ»teux Â». Une grande avancĂ©e a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Eugene Salamin ont dĂ©couvert indĂ©pendamment l’algorithme Salamin-Brent, qui double le nombre de dĂ©cimales correctes Ă  chaque Ă©tape[56]. Il s’appuie sur un vieux rĂ©sultat pressenti puis dĂ©montrĂ© par Gauss. En 1818, celui-ci dĂ©montre le lien existant entre la moyenne arithmĂ©tico-gĂ©omĂ©trique M(1, √2) de 1 et √2 — la longueur de la lemniscate de Bernoulli — et π. La longueur de la lemniscate est L=2 \varpi r oĂč r reprĂ©sente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et oĂč \varpi est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-Ă -dire l’inverse de M(1, √2) alors : \varpi=\pi G Salamin et Brent ont utilisĂ© ce rĂ©sultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grĂące auquel la conquĂȘte des dĂ©cimales de π va alors avancer conjointement avec celle des dĂ©cimales de √2[57].

L’algorithme consiste Ă  poser : a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!, puis Ă  dĂ©finir les relations de rĂ©currence suivantes : a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\! t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\! et enfin Ă  calculer ces termes jusqu’à ce que an et bn soient assez proches. On a alors une valeur approchĂ©e de π donnĂ©e par : \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!

En utilisant cet algorithme, seuls 25 termes sont nĂ©cessaires pour calculer 45 millions de dĂ©cimales. Un algorithme similaire qui quadruple la prĂ©cision Ă  chaque Ă©tape a Ă©tĂ© trouvĂ© par Jonathan et Peter Borwein[58]. C’est grĂące Ă  ces mĂ©thodes qu’en 1999, Yasumasa Kanada et son Ă©quipe ont battu le record du nombre de dĂ©cimales de π qui datait de 1980, en atteignant les 206 158 430 000 chiffres.

En aoĂ»t 2010, le record est Ă  nouveau battu par deux informaticiens (un japonais et un amĂ©ricain) avec 5 000 milliards de dĂ©cimales[59].

En 1997, la formule BBP, dĂ©couverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π[60]. La formule, \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right), est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de π en base hexadĂ©cimale ou binaire, sans calculer les prĂ©cĂ©dents[60]. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribuĂ© PiHex a utilisĂ© une variante de la formule BBP due Ă  Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000e chiffre en binaire de π, qui s’est rĂ©vĂ©lĂ© ĂȘtre 0[61].

Si une formule de la forme : \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{ck}} \frac{p(k)}{q(k)}, Ă©tait trouvĂ©e, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynĂŽmes de degrĂ©s fixĂ©s Ă  coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de π en base bc sans avoir Ă  calculer les prĂ©cĂ©dents, en un temps dĂ©pendant uniquement du nombre de termes de la sĂ©rie calculĂ© et du degrĂ© des polynĂŽmes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvĂ© plusieurs formules faisant intervenir π[62]. En posant q = eπ (constante de Gelfond), on a : \frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) \frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) ainsi que : \pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) oĂč k est un nombre impair, et abc sont des nombres rationnels.

Utilisation en mathématiques et en sciences[modifier | modifier le code]

Géométrie[modifier | modifier le code]

π apparaĂźt dans de nombreuses formules de gĂ©omĂ©trie impliquant les cercles et les sphĂšres :

Forme géométrique Formule
CirconfĂ©rence d’un cercle de rayon r et de diamĂštre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire d’un disque de rayon r A = \pi r^2 \,\!
Aire d’une ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume d’une boule de rayon r V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!
Aire surfacique d’une sphùre de rayon r A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!
Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r V = \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d’un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume d’un cîne de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d’un cîne de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphĂšres (Ă  plus de trois dimensions).

Nombres complexes[modifier | modifier le code]

La formule d’Euler illustrĂ©e dans le plan complexe. Une augmentation de l’angle φ de π radians (180°) donne l’identitĂ© d’Euler.

Un nombre complexe z peut s’exprimer en coordonnĂ©es polaires de la façon suivante : z = r\cdot(\cos\varphi+{\rm i}\sin\varphi)

L’apparition frĂ©quente de π en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, dĂ©crite par la formule d’Euler : {\rm e}^{{\rm i}\varphi} = \cos \varphi +{\rm i}\sin \varphi oĂč i est l’unitĂ© imaginaire satisfaisant la relation i2 = −1 et e ≈ 2.71828 est la constante de NĂ©per. Cette formule implique que les puissances imaginaires de e dĂ©crivent des rotations sur le cercle unitĂ© du plan complexe ; ces rotations ont une pĂ©riode de 360° = 2π rad. En particulier, une rotation de 180° = π rad donne l’identitĂ© d'Euler {\rm e}^{{\rm i}\pi} = -1\text{ et donc }{\rm e}^{{\rm i}\pi} + 1 = 0.

Cette formule a Ă©tĂ© qualifiĂ©e de « formule la plus remarquable des mathĂ©matiques Â» par Richard Feynman, car elle rĂ©unit en seulement 7 caractĂšres l’addition, la multiplication, l’exponentiation, l’égalitĂ© et les constantes remarquables 0, 1, e, i et π[63].

Suites et séries[modifier | modifier le code]

De nombreuses suites ou sĂ©ries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont mĂȘme Ă  l’origine de calculs de valeurs approchĂ©es de ce nombre.

MĂ©thode d’ArchimĂšde[modifier | modifier le code]

\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n\sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n\tan \left( { \pi \over n } \right) \right)

Les deux suites dĂ©finies par sn = n sin(π/n) et tn = n tan(π/n), n ≄ 3, reprĂ©sentent les demi-pĂ©rimĂštres des polygones rĂ©guliers Ă  n cĂŽtĂ©s, inscrit dans le cercle trigonomĂ©trique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de cĂŽtĂ©s du polygone) double Ă  chaque itĂ©ration, pour obtenir π par passage Ă  la limite d’expressions utilisant les opĂ©rations arithmĂ©tiques Ă©lĂ©mentaires et la racine carrĂ©e. Ainsi, on peut s’inspirer de la mĂ©thode utilisĂ©e par ArchimĂšde — voir historique du calcul de π — pour donner une dĂ©finition par rĂ©currence des suites extraites de termes s2n et t2n ou encore s3.2n et t3.2n, Ă  l’aide des identitĂ©s trigonomĂ©triques usuelles : \begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}

En utilisant les identitĂ©s trigonomĂ©triques 2sin(x/2) = √2 – 2cos(x) et 2cos(x/2) = √2 + 2cos(x) (x ∈ [0, π]), on peut exprimer s2k+1 et s3×2k (pour k ≄ 1) par emboĂźtements successifs de racines carrĂ©es. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors s’exprimer sous la forme d’une formule oĂč s’emboĂźtent des racines carrĂ©es : \pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) (k est le nombre de racines carrĂ©es emboitĂ©es) ou encore : \pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}} \right )

Une autre expression de s2k+1, qui peut se dĂ©duire simplement de la premiĂšre de ces deux Ă©galitĂ©s (multiplier par √2+√
), conduit au produit infini suivant (formule de François ViĂšte, 1593) : \frac{\pi}2=\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots

Sommes et produits infinis[modifier | modifier le code]

  • \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} (formule de Leibniz, James Gregory et Madhava de Sangamagrama[64],[65])
  • \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2} (produit de Wallis)
  •  \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (formule due Ă  Ramanujan)
  •  \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} (formule due Ă  David et Gregory Chudnovsky)

Suites récursives[modifier | modifier le code]

Suite inspirĂ©e de la formule de Brent-Salamin (1975) :

Soient trois suites (A_n), (B_n) et (C_n) se dĂ©finissant mutuellement : \begin{array}{ll}
A_0=1 &
A_{n+1}={A_n+B_n\over 2}\\
B_0=\sqrt{1 \over 2} &
B_{n+1}=\sqrt{ A_n\cdot B_n } \\
C_0={1\over 4} &
C_{n+1}=C_n - 2^n \left( {A_n-B_n\over 2} \right) ^2
\end{array}
 ; on a : 
\pi = \lim_{n \to \infty} { \left( A_n + B_n \right)^2 \over 4 \cdot C_n }

Le nombre de décimales correctes (en base 10) double presque à chaque itération.

Fonction zĂȘta de Riemann[modifier | modifier le code]

Articles dĂ©taillĂ©s : ProblĂšme de BĂąle et Fonction zĂȘta de Riemann.

Plus gĂ©nĂ©ralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π2n pour un entier positif n.

Suite logistique[modifier | modifier le code]

Soit (xn) la suite des itĂ©rĂ©s de la fonction logistique de paramĂštre ÎŒ = 4 appliquĂ©e Ă  un rĂ©el x0 choisi dans l’intervalle [0, 1] (c’est-Ă -dire qu’on dĂ©finit, pour tout n ≄ 0, x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)). La suite (xn) quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.

On a  \lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\quad pour presque toutes les valeurs initiales x0.

Intégrale[modifier | modifier le code]

Le nombre π apparait Ă©galement comme Ă©tant le double de la limite du sinus intĂ©gral Ă  l’infini :  \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\sin x}{x}\, \mathrm dx = \pi.

Probabilités et statistiques[modifier | modifier le code]

En probabilitĂ©s et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante π, dont :

  • la loi normale d’espĂ©rance ÎŒ et d’écart type σ, dont la densitĂ© de probabilitĂ© s’écrit[66] : f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,{\rm e}^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
  • la loi de Cauchy, dont la densitĂ© de probabilitĂ© est[67] : f(x)=\frac1{\pi (1 + x^2)}.

Les deux formules suivantes, tirĂ©es de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilitĂ©s. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densitĂ© d’une loi de Gauss.

D’autre part, il existe diverses expĂ©riences probabilistes oĂč π intervient dans la probabilitĂ© thĂ©orique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, Ă  dĂ©terminer une approximation de π.

L’aiguille de Buffon est une expĂ©rience de probabilitĂ© proposĂ©e par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant Ă  calculer la probabilitĂ© qu’une aiguille de longueur a, lancĂ©e sur une parquet fait de lattes de largeur L, soit Ă  cheval sur deux lattes, cette probabilitĂ© p est[68] : p = \frac{2a}{\pi\times  L}, mĂȘme si l'aiguille est courbe[69],[70].

Cette formule peut ĂȘtre utilisĂ©e pour dĂ©terminer une valeur approchĂ©e de π : \pi \approx \frac{2na}{xL}. oĂč n est le nombre d’aiguilles lancĂ©es, et x celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes Ă  la fois.

Cette mĂ©thode prĂ©sente rapidement ses limites ; bien que le rĂ©sultat soit mathĂ©matiquement correct, il ne peut pas ĂȘtre utilisĂ© pour dĂ©terminer plus que quelques dĂ©cimales de π expĂ©rimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchĂ©e de 3,14, il est nĂ©cessaire d’effectuer des millions de lancers[68], et le nombre de lancers nĂ©cessaires croĂźt exponentiellement avec le nombre de dĂ©cimales voulu. De plus, une trĂšs faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se rĂ©percuter de façon importante sur la valeur trouvĂ©e de π. Par exemple, une diffĂ©rence de mesure d’un seul atome sur une aiguille de longueur de 10 centimĂštres va se retrouver dĂšs la neuviĂšme dĂ©cimale de π. En pratique, les cas oĂč l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroĂźtre l’imprĂ©cision de l’expĂ©rience, de sorte que les erreurs apparaĂźtront bien avant la neuviĂšme dĂ©cimale.

Évaluation de π par la mĂ©thode de Monte Carlo.

La mĂ©thode de Monte Carlo[71] est une autre expĂ©rience probabiliste qui consiste Ă  prendre au hasard un point dans un carrĂ© de cĂŽtĂ© 1, la probabilitĂ© que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 Ă©tant de π/4 ; ceci peut facilement se comprendre Ă©tant donnĂ© que la superficie de ce quart de cercle est π/4 alors que la superficie du carrĂ© est 1.

Propriétés avancées[modifier | modifier le code]

Approximations numériques[modifier | modifier le code]

Comme π est transcendant, il n’existe pas d’expression d’un nombre qui fasse uniquement appel Ă  des nombres et des fonctions algĂ©briques[20]. Les formules de calcul de π utilisant l’arithmĂ©tique Ă©lĂ©mentaire impliquent gĂ©nĂ©ralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher π avec le moins d’erreur que l’on dĂ©sire[72], sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le rĂ©sultat sera proche de π.

Par consĂ©quent, les calculs numĂ©riques doivent utiliser des approximations de π.

La premiĂšre approximation numĂ©rique de π fut certainement 3[39]. Dans les cas oĂč une situation ne demande que peu de prĂ©cision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par dĂ©faut, c’est parce qu’il est le rapport entre le pĂ©rimĂštre d’un hexagone rĂ©gulier inscrit dans un cercle et le diamĂštre de ce cercle.

Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingĂ©nieurs ont longtemps utilisĂ© 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de prĂ©cision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et 7 chiffres significatifs, sont obtenus Ă  partir de l’écriture en fraction continue de π. Cependant c’est le mathĂ©maticien chinois Zu Chongzhi (ç„–æȖäč‹ en sinogrammes traditionnels, ç„–ć†Čäč‹ en sinogrammes simplifiĂ©s, Zǔ ChƍngzhÄ« en piyin) (429–500) qui a dĂ©couvert la fraction 355/113 en utilisant la mĂ©thode d’ArchimĂšde pour calculer le pĂ©rimĂštre du polygone rĂ©gulier Ă  12 288 cĂŽtĂ©s inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numĂ©riques le plus souvent utilisĂ©es par les ingĂ©nieurs sont celles de constantes informatiques prĂ©dĂ©finies.

L’approximation de π en 355/113 est la meilleure qui puisse ĂȘtre exprimĂ©e avec uniquement 3 chiffres au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur. L’approximation 103 993 / 33 102 (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : ceci venant de l’apparition du nombre Ă©levĂ© 292 dans le dĂ©veloppement en fraction continue de π[73].

Srinivasa Ramanujan propose Ă©galement une approximation de π avec cette formule: \sqrt{\sqrt{\frac{2143}{22}}}, qui approche π avec tout de mĂȘme 8 dĂ©cimales[74].

Constantes approchées prédéfinies en informatique[modifier | modifier le code]

Dans les calculs numĂ©riques usuels sur ordinateur, on utilise plutĂŽt une constante correctement arrondie mais prĂ©dĂ©finie avec une prĂ©cision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure prĂ©cision reprĂ©sentable par un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur 64 bits, un type gĂ©nĂ©ralement dĂ©signĂ© « double prĂ©cision Â») et choisie afin que le calcul de son sinus retourne 0 exactement par une fonction dĂ©finie dans cette mĂȘme prĂ©cision. Ainsi le fichier d’entĂȘte standard <math.h> utilisĂ© en langage C ou C++ dĂ©finit la constante M_PI en double prĂ©cision (le type flottant utilisĂ© par dĂ©faut dans de nombreuses fonctions des bibliothĂšques mathĂ©matiques standards) Ă  la valeur de 3,141 592 653 589 793 (parfois avec des chiffres supplĂ©mentaires si la plateforme supporte une prĂ©cision plus Ă©tendue pour le type long double). La mĂȘme valeur est utilisĂ©e en langage Java, qui s’appuie sur la mĂȘme norme IEEE 754, avec la constante standard java.lang.Math.PI[75]). On retrouve cette constante dĂ©finie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure prĂ©cision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportĂ©s, puisque le type « double prĂ©cision Â» de la norme IEEE 754 s'est imposĂ© comme une rĂ©fĂ©rence de prĂ©cision minimale nĂ©cessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.

Sur des microprocesseurs de la famille x86, les unitĂ©s de calcul matĂ©rielles (FPU) sont capables de reprĂ©senter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette prĂ©cision en langage C ou C++ avec le type long double mais sans garantie de support matĂ©riel), ce qui porte la prĂ©cision de π Ă  19 chiffres significatifs. La derniĂšre rĂ©vision publiĂ©e en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la dĂ©finition de nombres en virgule flottante en « quadruple prĂ©cision Â» (ou quad) codĂ©s sur 128 bits, ce qui permettrait de dĂ©finir une approximation de la constante π avec une prĂ©cision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette prĂ©cision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette prĂ©cision directement au niveau matĂ©riel sans un support logiciel supplĂ©mentaire).

Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple prĂ©cision Â», codĂ©s dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront ĂȘtre pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de prĂ©cision supportĂ© en langage C par le type float), c’est-Ă -dire la constante correctement arrondie Ă  3,141593 et Ă©quivalente en prĂ©cision Ă  celle donnĂ©e par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systĂšmes lĂ©gers ne comportant pas d’unitĂ© matĂ©rielle de calcul en virgule flottante).

Fractions continues[modifier | modifier le code]

La suite des dĂ©nominateurs partiels du dĂ©veloppement en fraction continue de π ne fait apparaĂźtre aucun schĂ©ma Ă©vident[76] : 
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{3+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{14+\cdots}}}}}}}}}}}}

Cependant, il existe des fractions continues gĂ©nĂ©ralisĂ©es reprĂ©sentant π dont la structure est rĂ©guliĂšre : 
\pi=\textstyle \frac4{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\cdots}}}}}}[77]=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\cdots}}}}}[78] =\textstyle \frac4{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle \frac{5^2}{11+\cdots}}}}}}[79]=2+ \tfrac2{1 + \tfrac{1}{1/2 + \tfrac{1}{1/3+\,\cdots+ \tfrac{1}{1/n+\,\cdots}}}}[80].

Questions ouvertes[modifier | modifier le code]

De nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algĂ©briquement indĂ©pendants ou bien existe-t-il une Ă©quation polynomiale Ă  deux variables et Ă  coefficients entiers dont le couple (π, e) soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que eπ est transcendant[57] et en 1996, Yuri Nesterenko (en) prouve que π et eπ sont algĂ©briquement indĂ©pendants.

Comme dit prĂ©cĂ©demment, on ignore encore si π est un nombre normal, ou mĂȘme un nombre univers en base 10.

Culture populaire[modifier | modifier le code]

Sans doute en raison de la simplicitĂ© de sa dĂ©finition, le nombre pi et particuliĂšrement son Ă©criture dĂ©cimale sont ancrĂ©s dans la culture populaire Ă  un degrĂ© plus Ă©levĂ© que tout autre objet mathĂ©matique[81]. D’ailleurs, la dĂ©couverte d’un plus grand nombre de dĂ©cimales de π fait souvent l’objet d’articles dans la presse gĂ©nĂ©raliste, signe que π est un objet familier mĂȘme Ă  ceux qui ne pratiquent pas les mathĂ©matiques[82],[83],[84].

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fĂȘte l’anniversaire de π dans certains dĂ©partements mathĂ©matiques des universitĂ©s le 14 mars. Le 14 mars qui est notĂ© « 3/14 Â» en notation anglo-saxonne, est donc appelĂ© la journĂ©e de pi.

π dans l’art[modifier | modifier le code]

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la prĂ©sence du nombre π dans les pyramides et, plus prĂ©cisĂ©ment, que π est le rapport entre le pĂ©rimĂštre de la base et le double de la hauteur des pyramides[85]. Il est vrai que la pyramide de KhĂ©ops possĂšde une pente de 14/11, et que par consĂ©quent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 Ă©tant une bonne approximation de π, le rapport entre le pĂ©rimĂštre et le double de la hauteur de la pyramide de KhĂ©ops est bien voisin de π. Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sĂ»r[86] puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les rĂ©gions et les Ă©poques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboĂŻdale) qui conduisent Ă  un rapport entre pĂ©rimĂštre et double de la hauteur Ă©loignĂ© de π.

Il est en tout cas certain que π soit prĂ©sent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, pi joue un rĂŽle clĂ© dans le scĂ©nario et il est suggĂ©rĂ© qu’il y ait un message enfoui profondĂ©ment dans les dĂ©cimales de pi, placĂ© par celui qui a crĂ©Ă© l’univers. Cette partie de l’histoire a Ă©tĂ© Ă©cartĂ©e de l’adaptation cinĂ©matographique du roman.

Sur le plan cinĂ©matographique, Pi a servi de titre au premier long-mĂ©trage de Darren Aronofsky, Ă  qui l’on doit notamment Requiem for a Dream. Pi est un thriller mathĂ©matique sur la dĂ©couverte de la sĂ©quence parfaite, rĂ©vĂ©lant ainsi formule exacte des marchĂ©s boursiers de Wall Street ou encore le vĂ©ritable nom de Dieu.

Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprĂšte Kate Bush a sorti en 2005 son album Aerial, qui contenait le morceau « Ï€ Â», dont les paroles sont principalement composĂ©es des dĂ©cimales de π[87].

MĂ©morisation de π[modifier | modifier le code]

Les rĂ©centes dĂ©cennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de dĂ©cimales de π mĂ©morisĂ©es.

Au-delĂ  de la mĂ©morisation de Pi, usuellement ses 3 Ă  6 premiers chiffres ou par la remarquable valeur approchĂ©e de la fraction 355/113 (7 chiffres significatifs), la mĂ©morisation d’un nombre record de dĂ©cimales de π a longtemps Ă©tĂ© et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le , Ă  Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet rĂ©cite (en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes) 22 514 dĂ©cimales. En 2006, Akira Haraguchi, un ingĂ©nieur japonais retraitĂ©, a rĂ©ussi Ă  rĂ©citer 100 000 dĂ©cimales de π en 16 heures[88]. Ceci, cependant, n’a pas encore Ă©tĂ© vĂ©rifiĂ© par le Livre Guinness des records. Le record de mĂ©morisation de π reconnu par le Guinness des records est de 67 890 chiffres, dĂ©tenu par Lu Chao, un jeune diplĂŽmĂ© chinois[89]. Il lui a fallu 24 heures et 4 minutes pour rĂ©citer les 67 890 premiĂšres dĂ©cimales de π sans erreur[90].

Le 17 juin 2009, Andriy Slyusarchuk (en), un neurochirurgien et professeur ukrainien, a affirmĂ© avoir mĂ©morisĂ© 30 millions de dĂ©cimales de π, qui ont Ă©tĂ© imprimĂ©es en 20 volumes[91]. Bien qu’il n’ait pas rĂ©citĂ© les 30 millions de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains mĂ©dias prĂ©tendent qu’il Ă©tait en mesure de rĂ©citer dix dĂ©cimales sĂ©lectionnĂ©es alĂ©atoirement parmi les volumes imprimĂ©s[rĂ©f. souhaitĂ©e]. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le Guinness des records amĂšne cependant les experts Ă  mettre sĂ©rieusement en doute cette affirmation[rĂ©f. souhaitĂ©e].

Il y a plusieurs façons de retenir les dĂ©cimales de π, dont des poĂšmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond Ă  une dĂ©cimale, les mots de dix lettres reprĂ©sentant un 0. En voici un exemple[92] :

Que j’aime Ă  faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel ArchimĂšde, artiste, ingĂ©nieur, (variante : Glorieux ArchimĂšde, artiste ingĂ©nieux,)
Qui de ton jugement peut priser la valeur ? (variante : Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,)
Pour moi ton problĂšme eut de pareils avantages. (variante : Soit ton nom conservĂ© par de savants grimoires.)[93]

Jadis, mystérieux, un problÚme bloquait
Tout l’admirable procĂ©dĂ©, l’Ɠuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intĂ©grer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il Ă©quivaudra ?

Nouvelle invention : ArchimĂšde inscrira
Dedans un hexagone ; apprĂ©ciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
DĂ©doublera chaque Ă©lĂ©ment antĂ©rieur ;

Toujours de l’orbe calculĂ©e[94] approchera ;
DĂ©finira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problĂšme avec zĂšle.

Cette mĂ©thode prĂ©sente ses limites pour la mĂ©morisation d’un trĂšs grand nombre de dĂ©cimales, oĂč il semble plus opportun d’utiliser des mĂ©thodes comme la mĂ©thode des loci[95],[96].

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • NumĂ©ro spĂ©cial π, SupplĂ©ment au Petit ArchimĂšde, no 64-65, mai 1980
  • Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Belin,‎ 1997 [dĂ©tail des Ă©ditions].
  • Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 (ISBN 2-7056-1443-5)
  • Jörg Arndt et Christoph Haenel, À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 (ISBN 2-7117-7170-9)
  • Reinhold Remmert, « Le nombre π Â», dans H.-D. Ebbinghaus (de) et al., Numbers, traduction française et adaptation de François GuĂ©nard, Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rĂŽle de l’AntiquitĂ© aux recherches actuelles, Vuibert, (ISBN 2-7117-8901-2)
  • "Eliette AbĂ©cassis", "Le palimpseste d’ArchimĂšde" (Roman), Albin Michel, ISBN 978-2-226-24829-9

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Pi Â» (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ On l'appelle parfois la constante d’ArchimĂšde. C’est en effet ArchimĂšde qui a fait connaĂźtre qu’il s’agissait d’un nombre « compliquĂ© Â», et qui en a donnĂ© des valeurs approchĂ©es.
  2. ↑ Valeur dĂ©cimale exprimĂ©e sur 16 chiffres significatifs, soit la prĂ©cision maximale (pour pi) d’un nombre flottant en double prĂ©cision au format binaire sur 64 bits standard de l'IEEE, qui permet de stocker entre 15 et 17 chiffres dĂ©cimaux significatifs (selon principalement la valeur du premier chiffre dĂ©cimal et Ă©ventuellement les suivants) ; ce format binaire est utilisĂ© dans de nombreux langages de programmation, par exemple dans le type double des langages C, C++, Java, etc; il est aujourd’hui pris en charge nativement par la plupart des microprocesseurs modernes et des bibliothĂšques mathĂ©matiques.
  3. ↑ a et b 128 000 premiĂšres dĂ©cimales de π.
  4. ↑ a et b (en) Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premiĂšres dĂ©cimales.
  5. ↑ (en) Howard Whitley Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart & Winston,‎ 1969 (lire en ligne).
  6. ↑ La preuve de ce rĂ©sultat en 1882 est due Ă  Ferdinand von Lindemann.
  7. ↑ Par exemple le Petit Robert ou le TLFi ; voir « Pi (sens B) Â», CNRTL.
  8. ↑ (en) Bettina Richmond, « Area of a Circle Â», Western Kentucky University,‎ 1999.
  9. ↑ Par exemple J. Lelong-Ferrand, J.M. ArnaudiĂšs, cours de mathĂ©matiques Tome 2, Dunod UniversitĂ©, 4e Ă©dition 1977.
  10. ↑ (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill,‎ 1976 (ISBN 0-07-054235-X), p. 183.
  11. ↑ a et b « Histoire du nombre pi Â», sur Math93.
  12. ↑ (en) Mustafa Mawaldi, Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics.
  13. ↑ Johann Heinrich Lambert, « MĂ©moire sur quelques propriĂ©tĂ©s remarquables des quantitĂ©s transcendantes circulaires et logarithmiques Â», Histoire de l'AcadĂ©mie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, vol. XVII,‎ 1761, p. 265-322 (lire en ligne).
  14. ↑ Pour plus de dĂ©tails voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres Ă  tangente rationnelle, dont π.
  15. ↑ (en) Ivan Niven, « A simple proof that π is irrational Â», Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, no 6,‎ 1947, p. 509 (lire en ligne).
  16. ↑ (en) Helmut Richter, « Pi Is Irrational Â», Leibniz Rechenzentrum,‎ 1999.
  17. ↑ Charles Hermite, « Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite Ă  Monsieur Paul Gordan Â», Journal fĂŒr die reine und angewandte Mathematik, vol. 76,‎ 1873, p. 303–311 (lire en ligne).
  18. ↑ Charles Hermite, « Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite Ă  Mr. Borchardt Â», Journal fĂŒr die reine und angewandte Mathematik, vol. 76,‎ 1873, p. 342–344 (lire en ligne).
  19. ↑ (en) Harold Jeffreys, Scientific Inference, Cambridge University Press,‎ 2011, 3e Ă©d. (ISBN 978-0-52118078-8), 268.
  20. ↑ a et b (en) Steve Mayer, « The Transcendence of π Â».
  21. ↑ (en) « Squaring the Circle Â», cut-the-knot.
  22. ↑ (en)oeis.org OEIS : suite A000796 donnant 20 000 dĂ©cimales de Pi et liens vers d'autres sites.
  23. ↑ (en) « Current publicized world record of pi Â».
  24. ↑ (en) Robert M. Young, Excursions in Calculus, Washington, MAA (ISBN 0883853175, lire en ligne), p. 417.
  25. ↑ (en) « Statistical estimation of pi using random vectors Â».
  26. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pi Digits Â», MathWorld.
  27. ↑ (en) Chad Boutin, « Pi seems a good random number generator - but not always the best Â», Purdue University,‎ 2005.
  28. ↑ ConfĂ©rence de Jean-Paul Delahaye, Le nombre pi est-il simple ou compliquĂ© ?, mardi 3 octobre 2006, CitĂ© des sciences.
  29. ↑ (en) Rick Groleau, « Infinite Secrets: Approximating Pi Â», NOVA,‎ 2003.
  30. ↑ a et b (en) Petr Beckmann, A History of Pi (en), Dorset Press,‎ 1993 (1re Ă©d. 1971, St. Martin's Griffin) (ISBN 978-0-88029418-8).
  31. ↑ (en) Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, The Number π, AMS,‎ fĂ©vrier 2004 (ISBN 0821832468, lire en ligne), p. 53.
  32. ↑ (en) Vito Lampret, « Even from Gregory-Leibniz series π could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated Â», Lecturas MatemĂĄticas, vol. 27, no 1,‎ 2006, p. 21-25 (lire en ligne).
  33. ↑ Pour plus d’information sur des mĂ©thodes analogues, voir Formule d’Euler-Maclaurin.
  34. ↑ (en) « Archimedes’ constant π Â».
  35. ↑ Tablettes de Suse - voir par exemple ici.
  36. ↑ (en) Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, p. 47.
  37. ↑ Voir une traduction du texte original.
  38. ↑ Calcul infinitĂ©simal - l'Ɠuvre d'ArchimĂšde, EncyclopĂŠdia Universalis
  39. ↑ a, b et c (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « A history of Pi Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews (lire en ligne)..
  40. ↑ (en) C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
  41. ↑ Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathĂ©matique de la Chine ancienne et ses commentaires [dĂ©tail de l’édition], p. 144-147.
  42. ↑ Dans son texte Zhui Shu, d’aprĂšs (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Zu Chongzhi Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews (lire en ligne)..
  43. ↑ (en) C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202.
  44. ↑ (en) George E. Andrews (en), Richard Askey (en) et Ranjan Roy, Special Functions, Cambridge University Press,‎ 1999 (ISBN 978-0-521-78988-2), p. 58.
  45. ↑ (en) R. C. Gupta, On the remainder term in the Madhava-Leibniz’s series, vol. 14, t. 1-4, Ganita Bharati,‎ 1992, p. 68-71.
  46. ↑ (en) Charles Hutton, Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms
, London, Rivington,‎ 1811 (lire en ligne), p. 13.
  47. ↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « A chronology of Pi Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews (lire en ligne)..
  48. ↑ Citation originale : « I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time. Â»
  49. ↑ a et b (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [dĂ©tail des Ă©ditions], volume 2, p. 8-13 nos 395 - 398, accessible en ligne.
  50. ↑ non exclusivement, et de plus Ă  des variantes prĂšs pour noter le rapport, voir Cajori, ouvrage citĂ©.
  51. ↑ Rien n’indique si c’est sous l’influence de celui-ci ou de son propre chef, cf. Cajori.
  52. ↑ On la trouve par exemple dans Les ÉlĂ©ments de gĂ©omĂ©trie de Legendre, un ouvrage plutĂŽt destinĂ© Ă  un public scolaire, paru en 1794 ; cf. Cajori.
  53. ↑ « An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places Â», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), p. 11–15. (janvier 1950).
  54. ↑ « Statistical Treatment of Values of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC Â», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), p. 109–111, avril 1950.
  55. ↑ a et b (en) « The constant π: Ramanujan type formulas Â».
  56. ↑ (en) Richard Brent, Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation, New York, Analytic Computational Complexity,‎ 1975 (lire en ligne), p. 151-176.
  57. ↑ a et b La Recherche, no 392, dĂ©cembre 2005, « L’indispensable nombre π Â», p. ?[rĂ©f. incomplĂšte].
  58. ↑ (en) Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein et Peter B. Borwein, Pi: A Source Book, Springer,‎ 2004, 3e Ă©d. (ISBN 978-0-38720571-7, lire en ligne).
  59. ↑ (en) Alexander J. Yee et Shigeru Kondo, 5 Trillion Digits of Pi.
  60. ↑ a et b (en) Bailey, Borwein et Plouffe, « On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants Â», Mathematics of Computation,‎ 1997 (lire en ligne [PDF]).
  61. ↑ (en) Fabrice Bellard, « A new formula to compute the nth binary digit of pi Â».
  62. ↑ (en) Simon Plouffe, « Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2) Â» [PDF].
  63. ↑ (en) Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I,‎ juin 1970, chap. 22, (« Algebra Â»), p. 10.
  64. ↑ attribuĂ©e souvent Ă  Leibniz, mais dĂ©couverte probablement antĂ©rieurement par Gregory, voir (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « A history of Pi Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews (lire en ligne).. Cette formule avait Ă©galement Ă©tĂ© trouvĂ©e vers 1400 par le mathĂ©maticien indien Madhava, mais cette dĂ©couverte resta inconnue du monde occidental.
  65. ↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Madhava Â», dans MacTutor History of Mathematics archive, universitĂ© de St Andrews (lire en ligne)..
  66. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gaussian Integral Â», MathWorld.
  67. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Cauchy Distribution Â», MathWorld.
  68. ↑ a et b (en) Eric W. Weisstein, « Buffon’s Needle Problem Â», MathWorld.
  69. ↑ (en) Alex Bogomolny, « Math Surprises: An Example Â», cut-the-knot,‎ 2001 (consultĂ© le 28 octobre 2007).
  70. ↑ (en) J. F. Ramaley, « Buffon’s Noodle (en) Problem Â», Amer. Math. Month.,‎ 1969.
  71. ↑ (en) « The Monte Carlo algorithm/method Â», sur datastructures,‎ 2007.
  72. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pi Formulas Â», MathWorld.
  73. ↑ (en) Xavier Gourdon, « Collection of approximations for π Â», Numbers, constants and computation (consultĂ© le 8 novembre 2007).
  74. ↑ ChronoMath http://serge.mehl.free.fr/chrono/Ramanujan.html
  75. ↑ La constante standard java.lang.Math.PI prĂ©dĂ©finie en double prĂ©cision en langage Java.
  76. ↑ Suite A001203 de l'OEIS.
  77. ↑ Formule de Brouncker.
  78. ↑ Fraction dĂ©couverte par (en) L. J. Lange, « An Elegant Continued Fraction for π Â», Amer. Math. Month., vol. 106, no 5,‎ mai 1999, p. 456-458 (JSTOR 2589152). Se dĂ©duit en fait d'une sĂ©rie de Nilakantha, par la formule de fraction continue d'Euler.
  79. ↑ Par Ă©valuation en 1 d'un dĂ©veloppement de arctan.
  80. ↑ Par transformation du produit de Wallis : Eymard et Lafon 2004, p. 71.
  81. ↑ Voir par ex. Berggren, Borwein et Borwein 2004.
  82. ↑ Par ex. (en) MSNBC, Man recites pi from memory to 83,431 places, 3 juillet 2005, Matt Schudel, Obituaries: "John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi", The Washington Post, 25 mars 2009, p. B5.
  83. ↑ (en) The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi? The Independent, 8 janvier 2010.
  84. ↑ (en) Pi, a mathematical story that would take 49,000 years to tell.
  85. ↑ Voir par exemple Le secret de la grande pyramide de Georges Barbarin.
  86. ↑ Selon The Journal of the Society for the Study of Egyptian Antiquities, (ISSN 0383-9753), 1978, vol. 8, no 4, « la valeur de π apparaissant dans la relation entre la hauteur et la longueur de la pyramide est vraisemblablement co-accidentelle Â».
  87. ↑ (en) David Blatner, « 3.14 and the rest Â», BBC News Magazine,‎ 2008.
  88. ↑ (en) Tomoko Otake, « How can anyone remember 100,000 numbers? Â», The Japan Times,‎ 2006 (lire en ligne).
  89. ↑ (en) « Pi World Ranking List Â» (consultĂ© le 27 octobre 2007).
  90. ↑ (en) « Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi Â», News Guangdong,‎ 2006 (lire en ligne).
  91. ↑ (ru) ĐŸŃ€ĐŸŃ„Đ”ŃŃĐŸŃ€ ĐĐœĐŽŃ€Đ”Đč ĐĄĐ»ŃŽŃĐ°Ń€Ń‡ŃƒĐș ŃƒŃŃ‚Đ°ĐœĐŸĐČОл ĐŒĐžŃ€ĐŸĐČĐŸĐč рДĐșĐŸŃ€ĐŽ ĐżĐŸ ĐČĐŸĐ·ĐŒĐŸĐ¶ĐœĐŸŃŃ‚ŃĐŒ Ń‡Đ”Đ»ĐŸĐČДчДсĐșĐŸĐč ĐżĐ°ĐŒŃŃ‚Đž.
  92. ↑ PubliĂ© pour la premiĂšre fois par the academy[Quoi ?], d’aprĂšs la Revue scientifique, 1905[rĂ©f. incomplĂšte]. Les quatre premiers vers sont connus en 1846, dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste.
  93. ↑ Pi - SupplĂ©ment au Petit ArchimĂšde no 64-65, mai 1980, p. 273.
  94. ↑ Le mot orbe est du masculin mais ce ne fut pas toujours le cas, ceci induit Ă  prĂ©sent une faute d’accord Ă  « calculĂ©e Â» que l’on peut remplacer par « escomptĂ© Â», par exemple, pour conserver le bon nombre de lettres.
  95. ↑ (en) Yicong Liu, « Oh my, memorizing so many digits of pi Â», Silver Chips Online,‎ 2004.
  96. ↑ (en) A. Raz, M. G. Packard, G. M. Alexander, J.T. Buhle, H. Zhu, S. Yu et B. S. Peterson, « A slice of pi : An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist Â», Neurocase, vol. 15, no 5,‎ 2009, p. 361-372 (DOI 10.1080/13554790902776896) PMID 19585350.

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • JournĂ©e de pi
  • 22 / 7 dĂ©passe π
  • PiHex
  • Projet de loi Pi de l’Indiana
  • Preuve de l'irrationalitĂ© de π (en)

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