Plan (mathématiques)

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Un plan dans un espace euclidien à trois dimensions

En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini. L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Sommaire

[modifier] Définitions

Dans les Éléments d'Euclide, seule la notion de figure plane est définie. Une figure plane est une figure contenue dans la surface balayée par une droite dont un point est fixé et le second assujetti à se déplacer sur une seconde droite^[1]. Cette définition repose malheureusement sur la définition donnée de surface qui manquait de précision. Dans la présentation actuelle des mathématiques, un plan vectoriel ou affine est défini comme un objet de l'algèbre linéaire :

Un Plan (vectoriel ou affine) est un $K$ -espace vectoriel ou un $K$ -espace affine de dimension deux, où $K$ désigne un corps.

Le cas le plus fréquent correspond à celui ou le corps $K$ est celui des nombres réels. Ainsi le plan complexe désigne le corps des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel de dimension deux sur le corps des réels.

Un cas important est celui où un plan désigne un sous-espace affine de dimension deux dans un espace de dimension trois sur le corps des réels. Cette situation modèlise simplement notre géométrie.

Il existe alors de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

Le plus petit espace affine contenant trois points distincts et non alignés;
Le plus petit espace affine contenant une droite et un point n'appartenant pas à cette droite;
Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et sécantes;
Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et parallèles;
Le plus petit espace affine contenant un point et orthogonal à un vecteur, le vecteur normal;
Le plus petit espace affine contenant un point et deux vecteurs non colinéaires.

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

[modifier] Positions relatives de deux plans

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

parallèles : strictement (intersection vide) ou bien confondus;
sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (leurs vecteurs « normaux » sont orthogonaux)

[modifier] Positions relatives d'un plan et d'une droite

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives d'un plan et d'une droite :

parallèles : leur intersection est soit vide, soit la droite tout entière (droite incluse dans le plan);
sécants : leur intersection est un point.

[modifier] Équations dans un espace de dimension trois

[modifier] Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point $A (a 1; a 2; a 3)$ par lequel passe le plan et $\vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix}$ et $\vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}$ les vecteurs directeurs non colinéaires qui définissent son orientation.

[modifier] Combinaison linéaire

Le plan passant par $A$ , de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ , est l'ensemble $Π$ des points $M (x; y; z)$ pour lesquels il existe deux scalaires $λ$ et $μ$ tel que :

$\vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v$ (équation vectorielle)

$\begin{cases} x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\ y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\ z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \text{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2$ (équations paramétriques)

[modifier] Coplanarité

Soit $M (x; y; z)$ un point quelconque du plan et $\vec{AM} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}$ le vecteur défini par le bipoint $(A; M)$ .

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

$(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0$

$= \begin{vmatrix} x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix}$ $~= u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) - u_2v_1(z-a_3) - u_3v_2(x-a_1) - u_1v_3(y-a_2)$

En mettant en évidence les termes :

$[\vec{AM},\vec u,\vec v]= \underbrace{(u_2v_3 - u_3v_2)}_Ax +\underbrace{(u_3v_1 - u_1v_3)}_By +\underbrace{(u_1v_2 - u_2v_1)}_Cz$ $\underbrace{-u_2v_3a_1 - u_3v_1a_2 - u_1v_2a_3 + u_2v_1a_3 + u_3v_2a_1 + u_1v_3a_2}_D$

On distingue 4 facteurs que nous appellerons $A, B, C, D$ . Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

$Ax + By + Cz + D = 0~$

Nous remarquons en outre que les nombres $A$ , $B$ et $C$ sont les composantes du vecteur $\vec u \wedge \vec v$ , le résultat du produit vectoriel des deux vecteurs directeurs. Il s'agit du vecteur normal au plan :

$\vec n = \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}$

[modifier] Définition par un vecteur normal et un point

[modifier] Orthogonalité

Le plan passant par $A (a 1; a 2; a 3)$ , de vecteur normal $\vec n$ , est l'ensemble $Π$ des points $M (x; y; z)$ pour lesquels le vecteur les reliant au point $A$ est orthogonal au vecteur normal; autrement dit pour lesquels le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

$\vec n\cdot\vec{AM} = 0$

avec

$\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}$

Cette définition amène ainsi à l'équation cartésienne :

$\vec n\cdot\vec{AM} = \vec n\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})= \vec n\cdot\vec{OM}-\vec n\cdot\vec{OA} = 0$

$\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0$

On identifie généralement le quadruplet $(n_1;n_2;n_3;-\vec n\cdot\vec{OA})$ aux lettres $(A; B; C; D)$ et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :

$Ax+By+Cz+D=0~$

[modifier] Géométrie vectorielle

Un plan est un sous-espace de dimension 2 d'un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ . On parle aussi dans ce cas d'un plan vectoriel.

Un plan est toujours engendré par deux vecteurs $v$ et $w$ non colinéaires. De la sorte, $x$ est un vecteur du plan si et seulement s'il est combinaison linéaire de $v$ et $w$ , à coefficients dans $\mathbb{K}$ . Si $V$ est de dimension finie $n$ , on peut aussi définir un plan par $n - 2$ formes linéaires indépendantes s'annulant sur tous les vecteurs du plan. Il est particulièrement intéressant de disposer de cette dernière caractérisation, si on veut, par exemple, déterminer les points d'intersection du plan et d'un autre objet, par exemple une courbe ou une surface.

[modifier] Approche analytique en dimension 3

Dans le cas où l'espace $V$ est de dimension 3, il suffit d'une seule forme linéaire pour définir un plan. Connaissant deux vecteurs $v$ et $w$ qui l'engendrent, de coordonnées

$\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad \begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix},$

il est utile de savoir fabriquer une forme linéaire donnant l'équation du plan. Le produit mixte de $v$ , $w$ et $z$ est nul si et seulement si $z$ appartient au plan engendré par $v$ et $w$ . Ce produit mixte s'écrit

$[v,w,z](v\times w)\cdot z=z_1(v_2w_3-v_3w_2)+z_2(v_3w_1-v_1w_3)+z_3(v_1w_2-v_2w_3).$

On a ainsi obtenu la forme linéaire désirée.

Réciproquement, si on possède une forme linéaire $z\mapsto a_1z_1+a_2z_2+a_3z_3$ définissant un plan, on peut trouver aisément deux vecteurs engendrant ce plan à partir de la forme linéaire. Il existe forcément un coefficient non nul parmi $a 1, a 2$ et $a 3$ . Disons que ce coefficient est $a 2$ . On peut alors réécrire l'équation du plan sous la forme

z 2 = - (a 1 z 1 + a 3 z 3) / a 2 .

Alors en substituant au couple $(z 1, z 3)$ les couples indépendants $(1,0)$ et $(0,1)$ , on obtient deux vecteurs

$\begin{pmatrix}1\\-a_1/a_2\\0\end{pmatrix}\quad \text{et} \quad \begin{pmatrix}0\\-a_3/a_2\\1\end{pmatrix},$

qui sont forcément indépendants puisque leurs projections respectives sur le plan des $z 1, z 3$ par rapport à l'axe des $z 2$ sont des vecteurs indépendants.

[modifier] Généralisation en dimension plus élevée

Supposons qu'on ait dans un espace de dimension $n$ deux vecteurs $v$ et $w$ indépendants. Comment trouver $n - 2$ formes linéaires indépendantes donnant les équations du plan? Cela revient à chercher une base de solutions du système linéaire

$\begin{align}&\sum_{i=1}^nv_i x_i=0,\\&\sum_{i=1}^nw_ix_i=0.\end{align}$

Pour ce faire, on sélectionne deux indices $p$ et $q$ tels que les couples $(v p, v q)$ et $(w p, w q)$ soient linéairement indépendants. Géométriquement, cela revient à sélectionner un plan de coordonnées tel que la projections respaectives de $v$ et $w$ sur ce plan, parallèlement au sous-espaces ${z : z p = z q = 0}$ soient indépendantes. Un tel plan existe toujours parce que $v$ et $w$ sont indépendants. Une fois ceci fait, on réécrit le système précédent sous la forme

$\begin{align} v_px_p+v_qx_q&=-\sum_{i\neq p,q}v_ix_i,\\ w_px_p+w_qx_q&=-\sum_{i\neq p,q}w_ix_i.\end{align}$

La solution de ce système linéaire est obtenue par les méthodes classiques. Pour obtenir une base de l'espace des solutions, il suffira de substituer à la suite à $n - 2$ éléments $(x_i)_{i\neq p,q}$ les éléments de la base canonique de l'espace vectoriel $\mathbb{K}^{n-2}$ , c'est à dire

$(1,0,0,\dots,0), (0,1,0,\dots,0), (0,0,1,\dots,0),\dots, (0,0,0,\dots,1)$ .

Réciproquement, étant données $n - 2$ formes linéaires indépendantes $\ell_j$ , on trouve deux vecteurs indépendants dans le plan défini comme ensemble des points où s'annulent ces formes linéaires, en trouvant une base de l'ensemble des solutions du système $\ell_1(z)=0, \ell_2(z)=0,\dots, \ell_{n-2}(z)=0.$ En pratique, la meilleure manière de procéder est de mettre la matrice $L$ du système sous forme échelon, moyennant d'éventuelles permutations sur les colonnes. Comme $M$ est de rang $n - 2$ , cet algorithme fournira $n - 2$ variables par rapport auxquelles on résoudra, et deux variables indépendantes à mettre dans le second membre. La résolution est alors rapide. Il faut absolument éviter les formules de Cramer pour détecter les indices des variables par rapport auxquelles on résout : il faudrait calculer $n (n - 1) / 2$ déterminants $(n-2)\times (n-2)$ , pour un nombre total d'opérations de l'ordre de $n 4$ , si on calcule les déterminants par algorithme de Gauss-Jordan, alors que le passage sous forme échelon permet de conclure pour un nombre d'opérations de l'ordre de $n 3$ .