Polynôme minimal

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Soit E une K algèbre associative et x un élément de E. On appelle idéal annulateur de x l'ensemble des polynômes P de K[X] tels que P(x) = 0. Deux cas de figures sont possibles :

• Cet idéal est nul. Dans ce cas on dit que x est un élément transcendant de E. La sous-algèbre K[x] est alors isomorphe à K[X] et en particulier E est de dimension infinie.

• Cet idéal est non nul. Il existe alors un unique polynôme unitaire, noté Ï€_x qui engendre l'idéal. Ï€_x est appelé polynôme minimal de x.

En pratique, la notion de polynôme minimal peut avoir un comportement différent selon le contexte dans lequel on se place. On distingue en particulier les deux types de polynôme minimal suivant :

• Polynôme minimal d'un endomorphisme
• Polynôme minimal d'un nombre algébrique