Primitive

Primitive : encyclopédie mathématiques

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Cet article fait partie de la série
Primitives de fonctions

Trigonométriques

Circulaires réciproques

Hyperboliques réciproques

En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction $f$ d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ , autrement dit telle que :

$\forall x \in I,\quad F\,'(x) = f(x).$

Une condition suffisante pour qu'une fonction $f$ admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si $f$ est une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ , alors pour tout réel $k$ , une primitive de $k f$ sur l'intervalle $I$ est $k F$ .

Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de deux fonctions $f$ et $g$ , alors une primitive de $f + g$ est $F + G$ .

Si une fonction $f$ admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante : si $F 1$ et $F 2$ sont deux primitives de $f$ , alors il existe un réel $k 0$ tel que $F 1 = F 2 + k 0$ .

Si $F$ est une primitive de $f$ , alors

$F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx$ .

Ceci est la seconde partie du théorème fondamental de l'analyse.

Sommaire

[modifier] Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles

Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto 2x\,$ est $F:x \longmapsto x^2\,$
Une primitive de la fonction $g:x \longmapsto 4x^3\,$ est $G:x \longmapsto x^4\,$
Une primitive de la fonction $f+g:x \longmapsto 2x + 4x^3\,$ est $F + G:x \longmapsto x^2 + x^4\,$
Une primitive de la fonction $f:x \longmapsto x^n\,$ est $F:x \longmapsto \tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n$ réel différent de −1.
Une primitive de la fonction inverse $f:x \longmapsto \tfrac{1}{x}$ est la fonction logarithme népérien $x \longmapsto \ln(x)\,$ .
Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf si on arrive à la décomposer en éléments simples.

Fonctions trigonométriques

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

[modifier] Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

[modifier] Primitives courantes

Article détaillé : table de primitives.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive, la deuxième est son domaine de dérivation et la troisième, la primitive correspondante à cette fonction.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive et la seconde, la primitive correspondante à la fonction

[modifier] Fonctions simples

Soient $a, b, C$ des constantes.

Tableau des primitives simples
$f (x)$	$D D$	$F (x)$
${0}\,$	$\R$	${C}\,$
${ax+b}\,$	$\R$	$\frac{ax^2}{2}+bx+C$
$x^n\,$ ( $\forall {n}\in \R-\{-1\}$ )	$\R^$ si $n \ge 0$ ; $\R^_+$ sinon	$\frac {x^{n+1}}{n+1}+C$
$\sqrt{x}$	$\R^*_+$	$\frac 2 3 x\sqrt{x} +C$
$\frac {1}{x}$	$\R^*_+$	$\ln {x}+C\,$
$\frac {1}{2\sqrt{x}}$	$\R^*_+$	$\sqrt{x}+C$
$- \frac {1}{x^2}$	$\R^*$	$\frac {1}{x}+C$
$\sin {x}\,$	$\R$	$-\cos {x}+C\,$
$\cos {x}\,$	$\R$	$\sin {x}+C\,$
$\frac {1}{\cos^2{x}}$	$\R- \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$	$\tan {x}+C\,$
$-\frac {1}{\sin^2{x}} \,$	$\R- \left\{k\pi\right\}$	$\operatorname{cotan} {x}+C\,$
$e^x\,$	$\R$	$e^x+C\,$
$\ln {x}\,$	$\R^*_+$	$x\ln {x} - x + C\,$

[modifier] Fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions.

Tableau des primitives composées
$f (x)$	$F (x)$
$\lambda u^\prime$	$\lambda \ u + C$
$u^\prime + v^\prime$	$\ u+v+C$
$-\frac{u^\prime}{u^2}$	$\frac {1}{u}+C$
$(u^n)\times(u^\prime)$	$\frac {u^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac {u^\prime}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt {u}+c$
$\sin u \times u^\prime$	$- \cos\ {u} +C$
$\cos(\omega x+\varphi)$	$\frac{1}{\omega}\sin(\omega x+\varphi)$
$\sin(\omega x+\varphi)$	$-\frac{1}{\omega}\cos(\omega x+\varphi)$
$\left\{\begin{matrix} (v\circ u)^\prime \\ v^\prime(u) \times (u^\prime)\end{matrix}\right.$	$(v\circ u)+C$
$\frac{u^\prime}{u}$	$\ln\ \|u\|+C$
$e^u \times u^\prime$	$e^{u}+C\,$
$\tan x = \frac{\sin {x}}{\cos {x}}$	$-\ln \ \|\cos {x} \|+C\,$
$\sin x \times \cos x$	$-\frac{1}{2} \times \cos^2{x} +C$