Primitives de fonctions rationnelles (encyclopédie mathématiques)

On suppose $a \neq 0$ :

$\int (ax+b)^n\,\mathrm dx=\frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C$ (

n ∈ ℤ\{-1

})

$\int \frac{1}{ax+b}\,\mathrm dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$

$\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\left\{\begin{array}{lll}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{Arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \text{ si } & b^2-4ac<0\\ -\frac{2}{2ax+b} +C & \text{ si } & b^2-4ac=0\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{argth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} +C &\text{ si } & b^2-4ac>0\\\text{ou } \frac{1}{\sqrt{b^2-4c}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C & \text{ idem} &\end{array}\right.$

$\int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx$

Quand $b 2 - 4 a c < 0$ , et pour $n ∈ ℕ\{0,1$ } on a :

$\begin{align}\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx=-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx\end{align}$

Quand $b 2 - 4 a c < 0$ , et pour $n ∈ ℕ\{0,1$ } on a :

$\int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx=\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx$

v · d · m Primitives de fonctions
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