Produit de convolution

Produit de convolution : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note généralement « $\ast$ » et s'écrit :

$(f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt$

ou encore en discret :

$(f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f[n - m]\cdot g[m]} \, = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {f[m]\cdot g[n - m]} \,$

On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée de moyenne mobile.

Pour que cette définition ait un sens, il faut effectuer certaines hypothèses sur f et g, par exemple si ces deux fonctions sont sommables leur produit de convolution est défini pour presque tout x et est lui-même sommable.

Sommaire

[modifier] Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est commutatif :

$(f\ast g) (x) \stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, dt = \int_{+\infty}^{-\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, d(x-T) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, dT \; \stackrel{\mathrm {def.}}{=} (g\ast f) (x)$

Où T=x-t, soit t=x-T.

Le produit de convolution est distributif :

$(f\ast (g+h)) (x) \stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot (g(t)+h(t)) \, dt = \int_{-\infty}^{+\infty} [f(x-t) \cdot g(t)+ f(x-t) \cdot h(t)] \, dt$

$= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, dt + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot h(t) \, dt \stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast g)(x) + (f\ast h) (x)$

Le produit de convolution correspond à la multiplication des transformées de Fourier des fonctions

$f\ast g = \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)\right)$

où $\mathcal{F}$ désigne la transformation de Fourier et $\mathcal{F}^{-1}$ la transformation de Fourier inverse. L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps pour un ordinateur que le calcul direct de l'intégrale.

[modifier] Utilisation du produit de convolution

Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lorsque l'on utilise des filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande). Si l'on a un signal entrant $\scriptstyle S(t)$ et un élément filtrant ayant une fonction de transfert $\scriptstyle H(t)$ alors le signal de sortie $\scriptstyle S_s (t)$ sera la convolution de ces deux fonctions :

$S_s=S\ast H.$

En probabilité, la densité de probabilité de la somme de deux variables aléatoires réelles indépendantes (à densité) est le produit de convolution des densités de probabilité de ces deux variables indépendantes. Par extension, on peut définir le produit de convolution de deux mesures.

Une autre utilisation des produits de convolution se situe dans le domaine de la mécanique quantique, où l'on réalise des produits de convolution à partir des fonctions d'onde bra et ket.

De manière générale, on peut écrire les équations différentielles linéaires correspondant à de nombreux problèmes physique sous la forme du produit de convolution d'un opérateur par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appelé fonction de Green). Joseph Fourier a été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'équation de la chaleur. Sa formulation moderne a dû attendre l'arrivée de la théorie des distributions introduite par Laurent Schwartz.

Le produit de convolution se généralise à de nombreuses algèbres d'un groupe, par exemple aux algèbres d'un groupe fini. Si de plus le groupe est abélien, alors la théorie de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini permet d'établir tous les résultats classiques du produit de convolution.

[modifier] Approche vulgarisée

La manière la plus simple de se représenter le produit de convolution consiste à considérer la Fonction δ de Dirac δ_a(x) ; cette fonction vaut 0 si x ≠ a et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes) ; lorsque la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente souvent le dirac comme un bâton positionné en a et de hauteur 1.

Dirac : limite d'une suite de fonctions

Du fait de sa forme, on appelle aussi parfois un dirac « fonction impulsion ». Le produit de convolution par un dirac δ_a correspond à une translation de la fonction initiale d'une valeur de a

$f \ast \delta_a(x) = f(x-a)$

Produit de convolution d'une fonction par un dirac

On voit que δ₀ laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution

$f\ast\delta_0(x) = f(x-0)$

Si l'on considère maintenant le produit de convolution par une somme pondérée de deux diracs (α.δ_a + β.δ_b), on obtient la superposition de deux courbes dilatées.

Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs

Considérons maintenant une fonction porte P_a,b ; c'est une fonction qui vaut 1/(b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par P_a,b va donc s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un « élargissement » de f.

Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte

Si l'on considère maintenant une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point considéré. Le produit de convolution de f par g s'obtient donc en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g.

Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque

[modifier] Le produit de convolution et le filtrage

Le produit de convolution est lié à la notion de filtrage sous deux conditions, à savoir la linéarité et l'indépendance du filtre vis à vis du temps (système invariant). A partir de ces deux conditions, l'opérateur de convolution peut être construit. La convolution correspond à la réponse du filtre à une entrée donnée (notée $e (t)$ ). Le filtre est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle $h (t)$ . Mise en équation, la réponse du filtre est $s(t)= h(t)\ast e(t)$ .

La construction de l'opérateur de convolution s'élabore de la manière suivante. Tout d'abord, on s'intéresse aux deux conditions imposées sur le filtre. On note $f (e)$ le filtrage réalisé par le filtre sur l'entrée $e$ . La linéarité du filtre implique que :

$f (λ e) = λ f (e)$

$f (e 1 + e 2) = f (e 1) + f (e 2)$

On peut noter que la réponse du filtre à un signal nul est nulle. L'indépendance du temps se résume par :

$f (e d) = (f (e)) d$

Où $e d$ est le signal $e$ retardé de la quantité $d$ .

A partir de là, on peut construire la réponse du filtre linéaire et indépendant du temps à l'entrée $e (t)$ . En effet, comme le filtre est linéaire, on peut décomposer le signal $e (t)$ en parties indépendantes, à l'aide d'un ensemble de signaux $e i$ avec des supports disjoints compactes de telle sorte que $e (t) = Σ i e i (t)$ . On injecte chaque partie du signal dans le filtre puis l'on somme les différentes réponses. Ainsi le filtrage donnera : $f (e) = Σ i f (e i)$ . Cette décomposition temporelle de $e (t)$ peut s'effectuer de manière récursive sur les signaux $e i (t)$ . A la fin, on obtient une suite de signaux dont le support se résume à un point. Ces signaux, élémentaires parce que non décomposables temporellement, correspondent chacun d'entre eux à la distribution de dirac $δ(t - τ)$ centrée en $τ$ avec une amplitude $e (τ)$ , l'impulsion s'écrit $δ(t - τ). e (τ)$ . Il suffit de sommer toutes les impulsions suivant la variable $τ$ pour obtenir le signal $e (t)$ :

$e(t)=\int \delta(t-\tau).e(\tau) d\tau$

On applique l'opération de filtrage sur $e (t)$ . Comme le filtre est linéaire et indépendant du temps, nous avons :

$f(e) = \int f(\delta(t-\tau).e(\tau)) d\tau$

$= \int e(\tau).f(\delta(t-\tau)) d\tau\ \$ (linéarité)

$= \int e(\tau).(f\circ\delta)(t-\tau) d\tau\ \$ (indépendance du temps)

La réponse du filtre $f$ à l'impulsion $δ(t)$ est nommée la réponse impulsionnelle du filtre $h (t)$ . Finalement on a :

$f(e) = \int e(\tau).h(t-\tau) d\tau$

qui n'est qu'autre que le produit de convolution.

En conclusion : si le filtre est linéaire et indépendant du temps, alors il est entièrement caractérisé par sa réponse $h (t)$ et la réponse du filtre à l'entrée $e (t)$ est donnée par l'opérateur de convolution.

Autre conclusion fondamentale des filtres linéaires et indépendants du temps: si l'on entre un signal $e(t)=e^{2\pi\jmath f t}$ , le signal de sortie sera :

$s(t) = \int e^{2\pi\jmath f \tau} h(t-\tau) d\tau = \int e^{2\pi\jmath f (t-\tau)} h(\tau) d\tau$

$s(t) = e^{2\pi\jmath f t}\int e^{-2\pi\jmath f \tau} h(\tau) d\tau$

$s(t) = e^{2\pi\jmath f t} H(f)$

$s (t)$ sera aussi un signal de la forme $e^{2\pi\jmath f t}$ au facteur $H (f)$ près. Ce facteur est, ni plus, ni moins, que la transformée de Fourier de $h (t)$ .

[modifier] Notes et références

Piskounov N. Calcul Différentiel et Intégral, 12^e édition Ellipses : éditions Mir Moscou, 1993. infos sur le site de l'éditeur

tome 2, page 463 et suivantes (théorème de convolution)

[modifier] Bibliographie

Bracewell, Ronald N. Convolution Theorem. The Fourier Transform and Its Applications, 3^e édition New York : McGraw-Hill, 1999. info sur l'ouvrage sur le site de l'éditeur

[modifier] Liens externes

Animation de la Johns Hopkins University qui explique la convolution de façon graphique.

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)