Produit vide

Produit vide : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention un. Ce fait est utile en algèbre, et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a⁰ = 1 (tout nombre élevé à la puissance zéro donne un) et 0! = 1 (factorielle de zéro vaut un).

Plus généralement, étant donné une opération de multiplication sur une certaine collection d'objets, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun objet de l'ensemble. Il est généralement défini comme étant égal à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée. Par exemple, le produit direct vide (à un isomorphisme près) de groupes est (à un isomorphisme près) le groupe trivial, puisque chaque groupe est isomorphe à son produit direct avec le groupe trivial.

[modifier] Une justification

Vous achetez une calculatrice mais celle-ci ne peut faire que des multiplications de nombres décimaux. Elle dispose des touches numériques, d'une touche virgule pour les décimales, d'une touche SGN pour le signe, de la touche ×= permettant la multiplication du nombre affiché avec le résultat précédent et d'une touche EFF qui efface l'écran.

ON	OFF		EFF
?
7	8	9
4	5	6
1	2	3
0	,	SGN	×=

Mode d'emploi :

Si 21 est affiché à l'écran, et si 4 est entré, alors 84 doit apparaître sur votre écran après avoir appuyé sur la touche ×=.

Si vous voulez connaître la valeur de 3×4×7, alors appuyez sur EFF, entrez 3 suivi de ×=, puis entrez 4 suivi de ×=, et entrez 7 suivi de ×=. Normalement vous devriez voir 84 s'afficher.

Maintenant vous appuyez sur la touche EFF, quel nombre voyez-vous s'afficher à l'écran ?

Ce n'est certainement pas 0, sinon en entrant un nombre quelconque et en appuyant sur la touche ×= nous obtiendrions toujours 0. Par exemple, si la calculatrice affiche 0 et si nous entrons 3, alors après avoir appuyé sur ×=, la calculatrice affiche encore 0.

Votre calculatrice affiche donc obligatoirement 1, lorsque nous appuyons sur EFF, ou immédiatement après avoir allumé la calculatrice. Autrement dit lorsque nous n'avons pas encore multiplié de nombre le produit vaut 1.

On a aussi, pour tout x de $R *$ , $x^0 = x^1 * x^{-1} = x*\frac{1}{x} = 1$