Radian

Radian : encyclopédie mathématiques

Cet article est issu de l'encyclopédie libre Wikipedia.
Vous pouvez consulter l'article ici ainsi que son historique.
Les textes et les images sont disponibles sous les termes de la Licence de documentation libre GNU.

Aller à : Navigation, rechercher

	« Rad » redirige ici. Pour les autres significations, voir RAD.

Voir « radian » sur le Wiktionnaire.

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes, et un cercle de rayon r centré à l'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Définition de l'angle en radians

Un angle de 1 rad est un angle, qui, ayant son sommet au centre d'un cercle, intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein.

Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (180°/pi). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles $θ$ d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :

$\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta$ .

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.

$\theta_{rad} \approx \ {1 \over 57,3}$

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3°,

$\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 57,3 {deg}}$

$\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 1 rad}$ avec 1 rad = 57,3°.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

$\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}$

$\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}$ .

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

$\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}$

$\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}$ .

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle	valeur en rad	valeur en ^g	valeur en °
angle nul	0 rad	0^g	0°
milliradian	1 mrad	0^g 6^c 36^cc 61^ccc	0° 3′ 26″ 15‴
	π/6 rad	33^g 33^c 33^cc 33^ccc	30°
	π/4 rad	50^g	45°
radian	1 rad	63^g 66^c 19^cc 77^ccc	57° 17′ 44″ 48‴
	π/3 rad	66^g 66^c 66^cc 66^ccc	60°
angle droit	π/2 rad	100^g	90°
	2π/3 rad	133^g 33^c 33^cc 33^ccc	120°
	3π/4 rad	150^g	135°
angle plat	π rad	200^g	180°
	5π/4 rad	250^g	225°
	3π/2 rad	300^g	270°
	7π/4 rad	350^g	315°
angle plein	2π rad	400^g	360°

Les angles aigus ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle droit.
Les angles obtus ont une valeur comprise entre celles de l'angle droit et de l'angle plat.
Les angles saillants ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle plat.
Les angles rentrants ont une valeur comprise entre celles de l'angle plat et de l'angle plein.
Deux angles de même valeur sont dits superposables, congruents ou isométriques.
Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle droit sont dits complémentaires.
Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle plat sont dits supplémentaires.
Deux angles qui ont leurs sommets et un côté en commun sont dits adjacents.
Deux angles qui ont leurs sommets en commun mais qui sont formés des demies différentes des mêmes deux droites sont dits opposés par le sommet.

Lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles (diagramme) :
- deux angles congruents situés entre les droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes internes ;
- deux angles congruents situés en dehors des droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes externes ;
- deux angles congruents situés du même côté de la sécante sont dits correspondants.