Relation de Chasles (encyclopédie mathématiques)

Ne doit pas être confondu avec Théorème de Chasles.

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La relation de Chasles porte le nom de Michel Chasles, mathématicien français du XIX^e siècle. Elle était connue depuis déjà quelque temps mais les travaux de Michel Chasles en géométrie justifient qu'on lui en attribue en quelque sorte la paternité.

Initialement associée à la géométrie, pour décrire une relation entre vecteurs dans un espace affine, la relation de Chasles s'écrit de la manière suivante :

Pour des points A, B et C d'un espace affine :

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

On retrouve aussi cette propriété pour décrire une relation entre des angles orientés en géométrie plane :

Pour des vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ non nuls :

$(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})\equiv (\vec{u},\vec{w})\quad [2\pi]$

On la trouve aussi pour exprimer des mesures algébriques sur une droite orientée :

Pour des points A, B et C d'une droite orientée (d) :

$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$

Il existe une relation de Chasles dans le rapport anharmonique de nombres complexes.

Enfin, elle existe aussi dans le calcul intégral :

Si f est une fonction intégrable sur un intervalle I, alors pour tous a, b et c dans I :

$\int_a^b f(x) dx\,\!+\int_b^c f(x) dx\,\!= \int_a^c f(x) dx\,\!$

Relation de Chasles

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