Semigroupe

Semigroupe : encyclopédie mathématique

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En mathématiques, un semi-groupe est une structure algébrique, en quelque sorte intermédiaire entre un magma et un groupe. Pour les besoins de l'informatique, les propriétés propres aux semi-groupes sont étudiées depuis les années 1950^[1]. En analyse sont étudiés les semi-groupes d'opérateurs, en particulier pour comprendre les solutions d'équations différentielles^{[réf. nécessaire]}.

Sommaire

[modifier] Définitions

Un semi-groupe est un magma $(E, * )$ dont la loi de composition interne est :

Unifère : elle possède un élément neutre bilatère (à droite et à gauche) ;
Associative : pour tous x, y et z dans G, on a : $(x * y) * z = x * (y * z)$ ;
Régulière : si $x * y = x * z$ (régularité à gauche) et $y * x = z * x$ (régularité à droite), alors $y = z$ .

Un semi-groupe est donc plus structuré qu'un monoïde (c'est un monoïde dont les éléments sont réguliers), mais moins qu'un groupe : tout élément d'un semi-groupe ne possède pas forcément d'inverse. La définition anglo-saxonne du semigroup est différente : semigroup désigne en anglais tout magma associatif ou demi-groupe ce qui peut entraîner des confusions.

Un morphisme de semi-groupes est simplement un morphisme de magmas entre semi-groupes. L'image et le noyau sont des semi-groupes. Plus généralement, un sous-magma (sous-ensemble stable par produit) d'un semi-groupe est un semi-groupe.

Un semi-groupe topologique est un semi-groupe dont l'ensemble sous-jacent est muni d'une topologie pour laquelle la loi de groupe est une application continue.

[modifier] Exemples

Quelques exemples de semi-groupes :

L'ensemble des entiers naturels muni de l'addition $(\mathbb N,+)$ ;
Tout groupe ;
Un anneau est pour la loi de multiplication un magma associatif ; privé de 0, c'est un semi-groupe si et seulement si l'anneau est intègre ;
Tout sous-ensemble d'un semi-groupe qui est fermé sous sa loi de composition interne est un semi groupe ;
L'ensemble des mots finis sur un alphabet (éventuellement infini), muni de la loi de concaténation est un semi-groupe.

[modifier] Symétrisation

Il est toujours possible, à partir d'un semi-groupe commutatif $(E, + )$ , de construire un groupe le contenant : c'est la procédure de symétrisation du semi-groupe. Plus exactement, à isomorphisme près, il existe un unique morphisme de semi-groupes $f:(E,+)\rightarrow (G,+)$ de E dans un groupe commutatif G tel que tout morphisme de semi-groupes de E dans un groupe commutatif G se factorise à travers f. Un tel morphisme f est nécessairement injectif.

La symétrisation de E répond à un problème universel : le groupe G peut être décrit comme l'objet initial d'une certaine catégorie. L'unicité à isomorphisme près s'obtient donc immédiatement. L'existence repose sur l'argument ensembliste suivant. On considère pour cela la relation d'équivalence dans E×E définie par :

$\forall (m,n) \in E^2 , \forall (p,q) \in E^2 , \ [ ( m , n ) \mathcal{R} ( p , q ) ] \Leftrightarrow [ m + q = p + n ] \,$ .

L'ensemble des classes d'équivalences de E×E pour $\mathcal{R}$ est alors un groupe. Par identification d'un élément x de E avec la classe d'équivalence contenant ( x , 0 ) (où 0 est l'élément neutre de la loi +), il est possible de plonger E à l'intérieur de ce groupe.

Cette construction est utilisée, entre autres, pour construire le groupe des entiers relatifs $(\mathbb Z,+)$ à partir du semi-groupe des entiers naturels $(\mathbb N,+)$ . Elle intervient aussi pour introduire le groupe des tresses.

[modifier] Historique

L'étude formelle des semi-groupes vint tardivement dans l'étude des structures algébriques. Les groupes et les anneaux ont été étudiés au milieu du XIX^e siècle. Selon certaines sources^{[réf. nécessaire]}, le terme semi-groupe est attribué au mathématicien français J.-A. de Séguier pour la première fois utilisé dans Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits en 1904. Le terme a été traduit ensuite en anglais en 1908 par Harold Hinton dans Theory of Groups of Finite Order. En 1970 seulement apparaît le premier périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé Semigroup Forum (actuellement édité par Springer Verlag)^{[réf. nécessaire]}.

Le premier résultat non trivial sur la théorie des semi-groupes est souvent attribué à Anton Suschkewitsch qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis^[2]. Il démontra que l'idéal minimal d'un semi-groupe fini est simple. Des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par David Rees, James Alexander Green (1926 en science-?), Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford et Gordon Preston.

La théorie des semi-groupes finis est beaucoup plus développée. Elle est liée aux variétés de langages formels dont les liens ont été particulièrement utiles pour les besoins de la théorie des automates^[3].

[modifier] Références

↑ En particulier par Kleene, Rabin et Scott
↑ Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Uhmkehrbarkeit, 1928.
↑ Varieties of Formal Languages, J.É. Pin, Plenum Press, 1986.

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