Sigma-algèbre

Sigma-algèbre : encyclopédie mathématique

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En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre $\mathcal B$ sur un ensemble Ω est un ensemble de parties de Ω contenant Ω,stable par complémentarité et par union dénombrable. La notion de σ-algèbre est plus forte que celle d'algèbre de Boole, où l'on impose simplement la stabilité par réunion finie. Les tribus sont principalement utilisées afin de définir des mesures sur Ω et ainsi permettre l'intégration telle que Lebesgue l'a créée. Le concept est important en analyse et en théorie des probabilités.

Sommaire

[modifier] Définition

Soit $\Omega \,$ un ensemble. On appelle tribu (ou σ-algèbre) sur $\Omega \,$ un ensemble $\mathcal B$ de parties de $\Omega \,$ qui vérifie :

l'ensemble vide est dans $\mathcal B$
$\mathcal B$ est stable par complémentaire
$\mathcal B$ est stable par union dénombrable

Formellement :

$\empty \in \mathcal B$
$\forall A \in \mathcal B ,$ ${}^c A \in \mathcal B$
si $\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal B$ alors $\bigcup_{n\in\mathbb{N} } A_n \in \mathcal B$

Le couple $\left(\Omega, \mathcal B\right)$ est appelé espace mesurable ou espace probabilisable en fonction du contexte. La notion de mesure est définie à l'intérieur d'un espace mesurable et celle de probabilité à l'intérieur d'un espace probabilisable.

[modifier] Propriétés

$\Omega \in \mathcal B$ (d'après 1 et 2)
une tribu est également stable pour l'opération d'intersection dénombrable (d'après 2 et 3) :
si $\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal B$ alors $\bigcap_{n\in\mathbb{N} } A_n \in \mathcal B$
Si $\left(\mathcal B_a\right)_a$ est une famille de tribus sur Ω, alors $\bigcap_a \mathcal B_a$ est aussi une tribu sur Ω.

[modifier] Remarque

Si $\left(\mathcal B_a\right)_a$ est une famille de tribus sur Ω, alors $\bigcup_a \mathcal B_a$ n'est pas une tribu sur Ω en général.

Par exemple, pour Ω = {1,2,3}, en prenant $\mathcal B_1$ engendrée (voir ci-dessous) par {1,2} et {3} et $\mathcal B_2$ par {1} et {2,3}, on remarque que {1,2}∩{2,3}={2} n'est pas dans $\mathcal B_1$ $\bigcup$ $\mathcal B_2$ .

[modifier] Exemples

tribu triviale (aussi appelée discrète) : $\mathcal B = \mathcal P(\Omega)$
tribu grossière : $\mathcal B = \{ \empty, \Omega \}$

La tribu triviale est la plus grande possible, et la tribu grossière la plus petite possible, au sens de l'inclusion.

[modifier] Tribu engendrée

Si U est un ensemble arbitraire de parties de Ω alors il existe une plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant U, notée σ(U) et appelée la tribu engendrée par U.

D'abord remarquons qu'il existe une tribu sur Ω qui contient U, la tribu discrète sur Ω. Soit Φ l'ensemble de toutes les tribus sur Ω qui contiennent U (cela signifie qu'une tribu $\mathcal B$ sur Ω appartient à Φ si et seulement si U est un sous-ensemble de $\mathcal B$ ). Alors nous définissons σ(U) comme étant l'intersection de toutes les tribus de Φ : σ(U) est la plus petite tribu sur Ω contenant U ; ses éléments sont tous les ensembles qui peuvent être obtenus à partir des éléments de U en utilisant les opérations d'intersection, de réunion dénombrable, ou de passage au complémentaire transfiniment.

Exemples :

$\sigma (\{\empty \} ) = \{ \empty, \Omega \}$
Soit $A \in \mathcal P(\Omega), A \ne \Omega$ et $A \ne \empty$ , alors $\sigma (\{A\}) = \{ \empty, \Omega, A, {}^c A \}$
Soit $\mathcal L = \{ \{\omega\} , \omega \in \Omega \}$ l'ensemble des singletons de l'univers $\Omega \,$ . On a $\sigma (\mathcal L) = \{ A \in \mathcal P(\Omega), A$ ou ${}^c A \,$ dénombrable $\} \,$

[modifier] Tribu borélienne

Cela nous mène à l'exemple le plus important : la tribu de Borel sur n'importe quel espace topologique, qui est la tribu engendrée par les ensembles ouverts (ou, de manière équivalente, par les ensembles fermés), appelée tribu borélienne. Cette tribu n'est pas, en général, l'ensemble de toutes les parties ; par exemple, la tribu borélienne de Rⁿ a la puissance du continu, alors que P(Rⁿ) a une puissance strictement supérieure.

Sur l'espace euclidien $\mathbb R^n$ , une autre tribu importante : celle des ensembles Lebesgue-mesurables. Cette tribu contient « plus » d'ensembles que la tribu de Borel sur $\mathbb R^n$ et est privilégiée dans la théorie de l'intégration. Elle ne contient pas non plus l'ensemble des parties de $\mathbb R^n$ , mais l'argument de cardinalité ne suffit plus ; voir Ensemble non mesurable.