Suite de Fibonacci

Suite de Fibonacci : encyclopédie mathématiques

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La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175 - 1250). Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins :

« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »

Ce problème est à l'origine de la suite dont le $n\,$ -ème terme correspond au nombre de paires de lapins au $n\,$ -ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :

le premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
les lapereaux ne sont pubères qu'à partir du deuxième mois ;
chaque mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).

[modifier] Présentation mathématique

[modifier] Formule de récurrence

Notons $\mathcal{F}_n$ le nombre de couples de lapins au mois $n\,$ . Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note : $\mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=1$ ). Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins. On note alors $\mathcal{F}_3=2$ . Plaçons-nous maintenant au mois $n\,$ et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard $(n + 2)\,$ : $\mathcal{F}_{n+2}$ désigne la somme des couples de lapins au mois $n + 2\,$ et des couples nouvellement engendrés. Or, n'engendrent au mois $(n + 2)\,$ que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existent deux mois auparavant. On a donc :

$\mathcal{F}_{n+2}=\mathcal{F}_{n+1}+\mathcal{F}_n$ .

Nous obtenons ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ , qui sont connus.

[modifier] Nombres de Fibonacci

Les premières valeurs des nombres de Fibonacci, dans l'ordre croissant en commençant avec $n = 0$ , sont donc données par :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

$\mathcal{F}_0$	$\mathcal{F}_1$	$\mathcal{F}_2$	$\mathcal{F}_3$	$\mathcal{F}_4$	$\mathcal{F}_5$	$\mathcal{F}_6$	$\mathcal{F}_7$	$\mathcal{F}_8$	$\mathcal{F}_9$	$\mathcal{F}_{10}$	$\mathcal{F}_{11}$	$\mathcal{F}_{12}$	$\mathcal{F}_{13}$	$\mathcal{F}_{14}$	$\mathcal{F}_{15}$	$\mathcal{F}_{16}$	$\mathcal{F}_{17}$	$\mathcal{F}_{18}$	$\mathcal{F}_{19}$	$\mathcal{F}_{20}$	$\mathcal{F}_{21}$
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765	10946	…

[modifier] Expression fonctionnelle

On souhaite établir une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci, c'est-à-dire une expression telle que le calcul du nombre de couples pour une valeur de $n\,$ donnée ne présuppose la connaissance d’aucun nombre de couples pour une quelconque autre valeur de $n\,$ , ce que ne permet pas la formule de récurrence. Comme la suite de Fibonacci est récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré : $x^2 = x + 1\,$

$x^2 - x - 1 =0\,$ .

Le calcul du discriminant de cette équation donne les deux solutions du polynôme :

$x_1 = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,$ et $x_2 = \varphi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\,$ . ( $\varphi\,$ est le nombre d'or, et $\varphi'\,$ l'opposé de la section dorée).

Les suites $(\varphi^n)$ et $(\varphi'^n)$ engendrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant $u n + 2 = u n + 1 + u n$ . Il en résulte que :

$\mathcal{F}_n = \alpha{}\varphi^n+\beta\varphi'^n$ ( $\alpha\,$ et $\beta\,$ sont des constantes à déterminer à partir de $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ .)

Les conditions initiales $\mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=1$ conduisent au système suivant :

$\left\{\begin{matrix} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.$

Ce qui donne le résultat suivant :

$\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\beta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée, qui porte le nom de formule de Binet :

$\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-\varphi'^n)$ .

Il existe d'autres démonstrations telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.

Remarquons qu'une fois découverte cette formule se démontre aussi par récurrence.

[modifier] La suite pour les nombres négatifs

En général, on n'étudie pas les nombres de Fibonacci pour des valeurs négatives de n, bien qu'ils existent et soient facilement déterminables avec la formule récurrente. Il existe ainsi une règle très simple pour calculer ces nombres quand $n < 0$ :

si n est pair alors $\mathcal{F}_{-n} = -\mathcal{F}_n$
si n est impair alors $\mathcal{F}_{-n} = \mathcal{F}_n$

[modifier] Limite des quotients

Comme l'a remarqué Johannes Kepler, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire $\frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}$ , converge vers le nombre d'or, noté $\varphi\,$ . Mathématiquement, le résultat s'obtient ainsi :

$\lim_{n \to \infty}\frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}$	$=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^{n+1}-\varphi'^{n+1}}{\varphi^n-\varphi'^n}$
	$=\lim_{n \to \infty}\varphi\frac{1-(\varphi'/\varphi)^{n+1}}{1-(\varphi'/\varphi)^n}$	(en simplifiant par $\varphi^n\,$ )
	$=\varphi\,$	(comme $\varphi'/\varphi \in ]-1;1[$ , $\lim_{n \to \infty}(\varphi'/\varphi)^n = 0$ )

Plus précisément, quand $n\,$ tend vers l'infini, le second terme tend vers zéro car $\varphi' \in ]-1 ; 1[$ , ainsi les nombres de Fibonacci se comportent comme une exponentielle multipliée par le facteur $\frac{1}{\sqrt{5}}$ , soit $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ .

En fait, dès le rang $n=1\,$ , le deuxième terme ${\varphi'^n \over \sqrt{5}}$ est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme, en arrondissant à l'entier le plus proche.

[modifier] Bases et espaces vectoriels

La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute fonction $\mathcal{G}$ définie sur $\mathbb N$ vérifiant pour tout entier naturel $n\,$ , $\mathcal{G}_{n+2}=\mathcal{G}_{n+1}+\mathcal{G}_n$ . Ces fonctions sont précisément celles pour lesquelles il existe des nombres a et b, tels que pour tout entier naturel n, $\mathcal{G}_n = a{}\cdot{}\mathcal{F}_n+b{}\cdot{}\mathcal{F}_{n+1}$ . Ainsi, l'ensemble des suites de Fibonacci est un espace vectoriel, et les suites $(\mathcal{F}_n)$ et $(\mathcal{F}_{n+1})$ en forment une base.

Le nombre d'or est la racine positive de l'équation du second degré $x^2 - x - 1 = 0\,$ , ainsi $\varphi^2 = \varphi + 1\,$ . Si on multiplie les deux côtés par $\varphi^n\,$ , on obtient $\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} + \varphi^n\,$ , donc la fonction $n\mapsto \varphi^n$ est une suite de Fibonacci. La racine négative de l'équation du second degré, $\varphi'=1-\varphi\,$ , possède les mêmes propriétés, et les deux fonctions linéairement indépendantes $n\mapsto \varphi^n$ et $n\mapsto \left(1-\varphi\right)^n$ , forment une autre base de l'espace vectoriel.

[modifier] Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci

[modifier] Avec la formule de Binet

Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé. En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à $\mathcal{F}_{71} = 308061521170130$ , sur ordinateur ou sur calculatrice.

Notons qu’au-delà de $\mathcal{F}_{79}$ , les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en notation scientifique. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.

Détail d’un exemple d'application faisable à partir d'une calculatrice : Calcul de $\mathcal{F}_{50}$ .

Le nombre d’or vaut : $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ = 1,61803398874989\dots$

Appliquons la formule de Binet, (en ne retenant que le terme significatif) soit :

$\mathcal{F}_{50} \approx \frac{(1,61803398874989)^{50}}{\sqrt{5}} \approx 12586269024,9981$

Arrondissons à l’entier le plus proche soit :

$\mathcal{F}_{50} = 12586269025$

[modifier] Algorithme récursif naïf

L'implémentation récursive naïve qui suit la définition de la suite de Fibonacci est immédiate. En Python, cela donne :

def fibo(n):
    if (n <= 1):  # cas de base
        return n # si n=0 return 0 si n=1 return 1 
    else:         # récurrence
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2)

Ce n'est cependant pas une façon judicieuse de calculer la suite de Fibonacci, car on calcule de nombreuses fois les mêmes valeurs (à moins d'employer une technique de mémoization). Le temps de calcul s'avère exponentiel.

[modifier] Algorithme linéaire

Un moyen bien plus efficace de calculer la suite de Fibonacci consiste à calculer simultanément deux valeurs consécutives de la suite, c'est-à-dire en commençant avec les deux premières valeurs 0 et 1, et en remplaçant répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux.

En Python, un tel algorithme itératif donne :

def fibo(n):
    f_n_1 = 1
    f_n = 0
    for i in range(n):  # n fois
        f_n_1, f_n = (f_n, f_n + f_n_1)
    return f_n

De manière équivalente, on peut écrire une fonction récursive terminale :

def fibo(n, f_n_1 = 1, f_n = 0):
    if (n == 0):  # cas de base
        return f_n
    else:         # récurrence
        return fibo(n - 1, f_n, f_n + f_n_1)

Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à n et l'espace mémoire occupé constant.

[modifier] Algorithme logarithmique

En utilisant la relation matricielle suivante, que l'on montre par récurrence :

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} \mathcal F_{n+1} & \mathcal F_n \\ \mathcal F_n & \mathcal F_{n-1} \end{bmatrix}$

ou avec les #Propriétés de la suite de Fibonacci, on obtient :

$\mathcal F_{2k} = 2\mathcal F_{k-1} \mathcal F_k + \mathcal F_k^2 = (2 \mathcal F_{k-1} + \mathcal F_k) \mathcal F_k$

$\mathcal F_{2k+1} = \mathcal F_{k+1}^2 + \mathcal F_k^2$

En prenant bien soin de ne pas calculer deux fois les mêmes éléments, on obtient alors un algorithme dont le temps de calcul est proportionnel au logarithme de n. Voici un exemple de programme en Python :

def fibo2(n):
    """Renvoie F_{n-1}, F_n"""
    if (n == 0):  # cas de base
        return 1, 0  # F_{-1}, F_0
    else:         # récurrence
        f_k_1, f_k = fibo2(n//2)        # F_{k-1}, F_k   avec k = n/2
        f2_k = f_k**2                   # F_k^2
        if n%2 == 0:  # n pair
            return f2_k + f_k_1**2,    f_k*f_k_1*2 + f2_k       # F_{2k-1}, F_{2k}
        else:         # n impair
            return f_k*f_k_1*2 + f2_k, (f_k + f_k_1)**2 + f2_k  # F_{2k},   F_{2k+1}
 
def fibo(n):
    """Renvoie F_n"""
    return fibo2(n)[1]

En retravaillant les relations de récurrence pour le cas pair on obtient :

$\mathcal F_{2k} = \mathcal F_{2k+1} - \mathcal F_{2k-1} = (\mathcal F_{k+1}^2 + \mathcal F_k^2) - (\mathcal F_k^2 + \mathcal F_{k-1}^2) = \mathcal F_{k+1}^2 - \mathcal F_{k-1}^2$

Et donc :

$\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal F_{n} = \mathcal F_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^2 - (-1)^n \mathcal F_{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}^2$

[modifier] Curiosité algorithmique

Une façon particulièrement curieuse d'obtenir la suite de Fibonacci est la suivante. On considère la liste de fractions [23/95, 57/23, 17/39, 130/17, 11/14, 35/11, 19/13, 1/19, 35/2, 13/7, 7]. Si on part d'un entier de la forme $2 F (n - 1) 3 F (n)$ et si on le multiplie itérativement par la première fraction qui redonne un résultat entier, alors le premier nombre entier de la suite ainsi obtenue qui n'aura que 2 et 3 comme facteurs premiers sera le nombre $2 F (n) 3 F (n + 1)$ .

Par exemple, si on part de $18 = 2 132$ , on obtient successivement :

18 $\times$ 35/2 = 315

315 $\times$ 13/7 = 585

585 $\times$ 17/39 = 255

255 $\times$ 130/17 = 1950

1950 $\times$ 17/39 = 850

850 $\times$ 130/17 = 6500

6500 $\times$ 19/13 = 9500

9500 $\times$ 23/95 = 2300

2300 $\times$ 57/23 = 5700

5700 $\times$ 23/95 = 1380

1380 $\times$ 57/23 = 3420

3420 $\times$ 23/95 = 828

828 $\times$ 57/23 = 2052

2052 $\times$ 1/19 = 108 =

2233

Si on itère le procédé, on verra défiler les nombres de Fibonacci dans les exposants des puissances de 2 et 3 décomposant les nombres ainsi obtenus.

[modifier] Propriétés de la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci, ainsi définie, présente de remarquables propriétés. En voici quelques-unes, données avec leur démonstration (celles-ci font en général appel au raisonnement par récurrence). Nous donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et les nombres de Lucas.

Propriété 1 : $\forall (p,q)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}, \mathcal{F}_{p+q} = \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_q + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+1}$

Démonstration

Par récurrence d'ordre 2 sur $q\,$

Initialisation

(rang $q=0\,$ ) : $\mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_0 + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_p$

(rang $q=1\,$ ) : $\mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_1 + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_{p+1}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

Hypothèses de récurrence :

(au rang $q\,$ ), $\mathcal{F}_{p+q} = \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_q + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+1}$

(au rang $q+1\,$ ), $\mathcal{F}_{p+q+1} = \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_{q+1} + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+2}$

Hérédité (rang $q+2\,$ ) :

$\mathcal{F}_{p+(q+2)}=\mathcal{F}_{p+q+1} + \mathcal{F}_{p+q}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

$\mathcal{F}_{p+(q+2)}=\mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_{q+1} + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+2} + \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_{q} + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+1}$ (Hypothèses de récurrence)

$\mathcal{F}_{p+(q+2)}=\mathcal{F}_{p-1}(\mathcal{F}_{q}+\mathcal{F}_{q+1})+\mathcal{F}_p(\mathcal{F}_{q+1}+\mathcal{F}_{q+2})$ (Factorisation)

$\mathcal{F}_{p+(q+2)}=\mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_{q+2} + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{(q+2)+1}$ (Définition)

Propriété 2 : $\forall (k,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*, \mathcal{F}_n{}|{}\mathcal{F}_{n\cdot k}$

Démonstration

Par récurrence sur $k\,$

Initialisation (rang $k=0\,$ ) : $\mathcal{F}_n{}|{}0$ (vrai car tout entier naturel divise 0)
Hypothèse de récurrence : au rang $k\,$ , $\mathcal{F}_n{}|{}\mathcal{F}_{n\cdot k}$
Hérédité (rang $k+1\,$ ) :

$\mathcal{F}_{n\cdot(k+1)}=\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{n\cdot k}+\mathcal{F}_{n}\mathcal{F}_{n\cdot k + 1}$ (Propriété 1)

$\mathcal{F}_{n\cdot(k+1)}=\mathcal{F}_n(\lambda\cdot\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n\cdot k+1})$ (Hypothèse de récurrence)

$\mathcal{F}_{n\cdot(k+1)}=\mu\cdot\mathcal{F}_n$

Corollaire : si $n\,\neq\,4$ et $\mathcal{F}_n$ est premier, $n\,$ est premier.

En effet, supposons $n\,$ composé. Si $m\,$ est un diviseur propre de $n\,$ , on a d'après la propriété 2 : $\mathcal{F}_m{}|{}\mathcal{F}_{n}$ , contrairement à l'hypothèse que $\mathcal{F}_n$ est premier. Donc $n\,$ est premier.

On peut écrire le corollaire comme suit, en désignant par $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers :

$\forall n \in \mathbb{N}\setminus\{4\}, \mathcal{F}_n\in\mathbb{P}{}\Rightarrow{}n\in\mathbb{P}$

La réciproque est fausse, car $2\in\mathbb{P},\mathcal{F}_2{}\not\in{}\mathbb{P}$ .

Propriété 3 : $\forall (k,n)\in\mathbb{N}^2{}/{}n{}\ge{}k{}\ge{}0, \mathcal{F}_n{}\mathcal{F}_{k+1}-\mathcal{F}_k\mathcal{F}_{n+1}=(-1)^k\mathcal{F}_{n-k}$

Démonstration

Par récurrence sur k

Initialisation (rang k = 0) : $\forall n \geq 0,\quad \mathcal{F}_n\mathcal{F}_1-\mathcal{F}_0\mathcal{F}_{n+1}=\mathcal{F}_n$ et $(-1)^0\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n$
Hypothèse de récurrence : au rang k, $\forall n \geq k,\quad \mathcal{F}_n{}\mathcal{F}_{k+1}-\mathcal{F}_k\mathcal{F}_{n+1}=(-1)^k\mathcal{F}_{n-k}$
Hérédité (rang k + 1) : $\forall n \geq k+1$

$\mathcal{F}_n\mathcal{F}_{(k+1)+1}-\mathcal{F}_{k+1}\mathcal{F}_{n+1}=\mathcal{F}_n(\mathcal{F}_{k+1}+\mathcal{F}_k) - \mathcal{F}_{k+1}(\mathcal{F}_n+\mathcal{F}_{n-1})$ (Définition de la suite de Fibonacci)

$\mathcal{F}_n\mathcal{F}_{(k+1)+1}-\mathcal{F}_{k+1}\mathcal{F}_{n+1}=-(\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{k+1}-\mathcal{F}_k\mathcal{F}_n)$ (Associativité, commutativité)

$\mathcal{F}_n\mathcal{F}_{(k+1)+1}-\mathcal{F}_{k+1}\mathcal{F}_{n+1}=-(-1)^k\mathcal{F}_{n-k-1}$ (Hypothèse de récurrence pour $n-1\,$ et $k\,$ )

$\mathcal{F}_n\mathcal{F}_{(k+1)+1}-\mathcal{F}_{k+1}\mathcal{F}_{n+1}=(-1)^{k+1}\mathcal{F}_{n-(k+1)}$

Propriété 4 : $\forall (p,q)\in\mathbb{N}^2{}, \mathcal{F}_p{}\land{}\mathcal{F}_q = \mathcal{F}_{p{}\land{}q}$

Démonstration

Soient p et q deux entiers naturels. Soit $\delta = p{}\land{}q$ et $\Delta = \mathcal{F}_p\land\mathcal{F}_q$

$p = p'{}\cdot{}\delta$ et $q = q'{}\cdot{}\delta$ donc $\mathcal{F}_\delta{}|{}\mathcal{F}_p$ et $\mathcal{F}_\delta{}|{}\mathcal{F}_q$ (Propriété 2), d'où nous tirons que $\mathcal{F}_\delta{}|{}\mathcal{F}_p{}\land{}\mathcal{F}_q$ , et donc $\mathcal{F}_\delta{}|{}\Delta$ .

La généralisation du théorème de Bézout nous permet d’affirmer qu’il existe deux entiers naturels a et b ( $a{}\ge{}b$ ) tels que $\delta = a\cdot p - b\cdot q$ ou $\delta = a\cdot q - b\cdot p$ . Supposons que $\delta = a\cdot p - b\cdot q$ (une démonstration analogue peut être faite pour l'autre cas). D'autre part, $\Delta{}|{}\mathcal{F}_p$ et $\Delta{}|{}\mathcal{F}_q$ donc $\Delta{}|{}\mathcal{F}_{a\cdot p}$ et $\Delta{}|{}\mathcal{F}_{b\cdot q}$ (Propriété 2). Comme $\Delta\,$ en divise aussi toute combinaison linéaire, $\Delta{}|{}\mathcal{F}_{a \cdot p}\mathcal{F}_{b\cdot q + 1} - \mathcal{F}_{b \cdot q}\mathcal{F}_{a\cdot p + 1}$ c'est-à-dire $\Delta{}|{}(-1)^{b\cdot q}\mathcal{F}_{a\cdot p^- b\cdot q}$ (Propriété 3), soit donc $\Delta{}|{}(-1)^{b\cdot q}\mathcal{F}_{\delta}$ autrement dit $\Delta{}|{}\mathcal{F}_{\delta}$ . Or tout terme de la suite de Fibonacci est positif ou nul, nous en concluons que $\Delta=\mathcal{F}_{\delta}$ .

En particulier, $\forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_n{}\land{}\mathcal{F}_{n+1}=1$ c.-à-d. que $\mathcal{F}_n \perp \mathcal{F}_{n+1}$

Propriété 5 : $\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+1}$

(Précision : les nombres de Lucas $\mathcal{L}_n$ ont même relation de récurrence mais ont pour initialisation $\mathcal{L}_0 = 2$ et $\mathcal{L}_1 = 1$ )

Démonstration

Par récurrence d'ordre 2 sur n

Initialisations

(n = 1) : $\mathcal{L}_1 = 1$ et $\mathcal{F}_0 + \mathcal{F}_2 = 1$

(n = 2) : $\mathcal{L}_2 = 3$ et $\mathcal{F}_1 + \mathcal{F}_3 = 3$

Hypothèses de récurrence :

au rang n, $\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+1}$

au rang n+1, $\mathcal{L}_{n+1} = \mathcal{F}_{n}+\mathcal{F}_{n+2}$

Hérédité (rang n + 2) :

$\mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n+3}=\mathcal{F}_{n}+\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+2}+\mathcal{F}_{n+1}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

$\mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n+3}=(\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+1})+(\mathcal{F}_{n}+\mathcal{F}_{n+2})$ (Associativité, commutativité)

$\mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n+3}=\mathcal{L}_n+\mathcal{L}_{n+1}$ (Hypothèses de récurrence)

$\mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n+3}=\mathcal{L}_{n+2}$ (Définition des nombres de Lucas)

Propriété 6 : $\forall n\in\mathbb{N}-\{0,1,2\}{},2\mathcal{L}_n=\mathcal{F}_{n-3}+\mathcal{F}_{n+3}$

Démonstration

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{L}_{n+1} - \mathcal{L}_{n-1} + \mathcal{L}_{n+2} - \mathcal{L}_{n+1}$ (définition des nombres de Lucas)

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{L}_{n+2} - \mathcal{L}_{n-1}$ (simplification)

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+3}+ \mathcal{F}_{n+1} - (\mathcal{F}_{n} + \mathcal{F}_{n-2})$ (Propriété 5)

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+3}+ \mathcal{F}_{n} + \mathcal{F}_{n-1} - (\mathcal{F}_{n} + \mathcal{F}_{n-2})$ (Définition de la suite de Fibonacci)

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+3}+ \mathcal{F}_{n-3} + \mathcal{F}_{n-2} - \mathcal{F}_{n-2}$ (Simplification, définition de la suite de Fibonacci)

$2\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+3}+ \mathcal{F}_{n-3}$ (Simplication)

Propriété 7 : $\forall n\in\mathbb{N}{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_{n}\mathcal{L}_{n}$

Démonstration

On distinguera deux cas

Pour n = 0 : $\mathcal{F}_0 = 0$ et $\mathcal{F}_0\mathcal{L}_0 = 0$
Pour n > 0,

$\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_{n+n}$

$\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_n + \mathcal{F}_n\mathcal{F}_{n+1}$ (Propriété 1)

$\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_n(\mathcal{F}_{n-1} + \mathcal{F}_{n+1})$ (Factorisation)

$\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_n\mathcal{L}_n$ (Propriété 5)

Propriété 8 : $\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n-1} = \mathcal{F}_{n-1}^2+\mathcal{F}_{n}^2$

par application directe de la propriété 1 pour p = n et q = n -1

Propriété 9 : $\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1} -\mathcal{F}_n^2= (-1)^n$ (identité de Cassini)

Démonstration

En remplaçant k par n - 1 dans la propriété 3

$\mathcal{F}_{n}\mathcal{F}_{n} - \mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{n+1} = (-1)^{n-1}\mathcal{F}_{1}$

En multipliant par (-1) et en remplaçant $\mathcal{F}_{1}$ par 1

$\mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1} - \mathcal{F}_{n}^2 = (-1)^{n}$

Propriété 10 : $\forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{n+2}$

Démonstration

Par récurrence sur n.

Initialisation (n = 0) : $1+\sum_{i=0}^0 \mathcal{F}_i=1$ et $\mathcal{F}_2=1$
Hypothèse de récurrence : au rang n, $1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{n+2}$
Hérédité (rang n + 1) :

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_i=1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_i+\mathcal{F}_{n+1}$ (Calcul sur les sommes)

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{n+1}+\mathcal{F}_{n+2}$ (Hypothèse de récurrence)

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{(n+1)+2}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

Propriété 11 : $\forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+1}$

Démonstration

Par récurrence sur n

Initialisation (n = 0) : $1+\sum_{i=0}^0 \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=1$ et $\mathcal{F}_1=1$
Hypothèse de récurrence : au rang n, $1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+1}$
Hérédité (rang n + 1) :

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}+\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+2}$ (Calcul sur les sommes)

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+1}+\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+2}$ (Hypothèse de récurrence)

$1+\sum_{i=0}^{n+1} \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}(n+1)+1}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

Propriété 12 : $\forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_{n+1} = \sum_{k=0}^{\infty} {n-k \choose k}$ où les $n-k \choose k$ sont des coefficients binomiaux.

Démonstration

En réalité, la somme n'est pas infinie car tous les $n-k \choose k$ sont nuls pour k > n - k mais on sommera sur $\infty$ pour faciliter les démonstrations.

Par récurrence d'ordre 2 sur n.

Initialisation

(n = 0) : $\sum_{k=0}^{\infty} {0-k\choose k} = 1$ et $\mathcal{F}_1 = 1$

(n = 1) : $\sum_{k=0}^{\infty} {1-k\choose k} = 1$ et $\mathcal{F}_2 = 1$

Hypothèses de récurrence :

au rang n, $\mathcal{F}_{n+1} = \sum_{k=0}^{\infty} {n - k \choose k}$

au rang n + 1, $\mathcal{F}_{n+2} = \sum_{k=0}^{\infty} {n +1 - k \choose k}$

Hérédité (rang n + 2) :

$\sum_{k=0}^{\infty} {(n+2)-k \choose k} = \sum_{k=0}^{\infty} {(n+1) - k \choose k} + {(n+1) - k \choose k-1}$

(Formule du triangle de Pascal)

$\sum_{k=0}^{\infty} {(n+2)-k \choose k} = \sum_{k=0}^{\infty} {(n+1) - k \choose k} + \sum_{k=1}^{\infty}{n - (k - 1) \choose k-1}$

Car ${n+1 \choose -1} = 0$ )

$\sum_{k=0}^{\infty} {(n+2)-k \choose k} = \mathcal{F}_{n+2}+\sum_{m=0}^{\infty}{n - m \choose m}$

(Hypothèse de récurrence, changement de variable $m = k - 1\,$ )

$\sum_{k=0}^{\infty} {(n+2)-k \choose k} = \mathcal{F}_{n+2}+ \mathcal{F}_{n+1}$ (Hypothèse de récurrence)

$\sum_{k=0}^{\infty} {(n+2)-k \choose k} = \mathcal{F}_{n+3}$ (Définition de la suite de Fibonacci)

Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite)

Propriété 13 : $\forall n\in\mathbb{N}^*,\varphi^n = \mathcal{F}_n{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_{n-1}$

Démonstration

Par récurrence sur $n\,$

Initialisation ( $n = 1\,$ ) : $\varphi^1 = \mathcal{F}_1{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_0$
Hypothèse de récurrence : au rang $n\,$ , $\varphi^n = \mathcal{F}_n{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_{n-1}$
Hérédité (rang $n + 1\,$ ) :

$\varphi^{n+1}= \varphi{}\cdot{}\varphi^n$ (Calculs sur les puissances)

$\varphi^{n+1} =\varphi{}\cdot{}(\mathcal{F}_n{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_{n-1})$

$\varphi^{n+1}=\varphi^2\mathcal{F}_n+\varphi\mathcal{F}_{n-1}$ (Distributivité)

$\varphi^{n+1}=(1+\varphi)\mathcal{F}_n+\varphi\mathcal{F}_{n-1}$ (Hypothèse de récurrence appliquée au cas $n = 2\,$ )

$\varphi^{n+1}=\varphi(\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_n)+\mathcal{F}_n$ (Factorisation)

$\varphi^{n+1}=\mathcal{F}_{n+1}{}\cdot{}\varphi+\mathcal{F}_n$ (Définition de la suite de Fibonacci)

Propriété 14 : $\forall n > 2,\mathcal{F}_{n+2}\mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{n-2} - \mathcal{F}_{n}^4 + 1 = 0$

Démonstration

Il suffit de remplacer $\mathcal{F}_n$ par son expression en fonction de $\varphi$ et $\varphi'$ , et de simplifier l'expression.

[modifier] Formules closes

La formule suivante permet de retrouver tous les nombres de Fibonacci (formule de Binet):

$\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal{F}_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\varphi^n - \varphi'^n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n} - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right]$

La formule suivante permet de retrouver tous les nombres de Lucas (formule de Maillet):

$\forall n \in \mathbb{Z}, \mathcal{L}_{n} = \varphi^n + \varphi'^n = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n} + \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^{n}$

[modifier] Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que $\mathcal{F}_n$ divise $\mathcal{F}_{k{}\cdot{}n}$ (voir Propriétés, Propriété 2), et donc que, pour tout $n >4\,$ , si $\mathcal{F}_n$ est premier, alors $n\,$ est premier, mais la réciproque est fausse. Le plus grand nombre de Fibonacci premier connu est $\mathcal{F}_{604711}$ qui possède 126377 chiffres.

Il existe des suites $(\mathcal{T}_n)$ vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

$\mathcal{T}_{n+2}=\mathcal{T}_{n+1}+\mathcal{T}_n$
$\mathcal{T}_n{}$ et $\mathcal{T}_{n+1}$ sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun).
$\forall n\in\mathbb{N},\; \mathcal{T}_n$ n'est pas premier.

Les plus petits exemples connus sont déterminés par :

$\mathcal{T}_0 = 3794765361567513 = 3\cdot 1264921787189171$
$\mathcal{T}_1 = 20615674205555510 = 2\cdot 5\cdot 5623\cdot 366631232537$

$\mathcal{T}_0 = 1786772701928802632268715130455793 = 2521\cdot 49993\cdot 14177095479037851751198481$
$\mathcal{T}_1 = 1059683225053915111058165141686995 = 3\cdot 5\cdot 84089\cdot 73919059\cdot 150031897\cdot 75754002239$

[modifier] Applications

La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. Par exemple, le terme d'indice n (pour n supérieur ou égal à 2) de la suite de Fibonacci permet de dénombrer le nombre de façons de parcourir un chemin de longueur n-1 en faisant des pas de 1 ou 2. Ce problème apparaît d'aillleurs très tôt en Inde, sous le nom maatraameru (montagne de cadence), dans le travail du grammairien de Sanskrit Pingala, le Chhandah-shastra, (l'art de la Prosodie), 450 ou 200 av. J.-C.). Le mathématicien Indien Virahanka en a donné des règles explicites au VIII^e siècle. Le philosophe Indien Hemachandra (c.1150) (et aussi Gopala) ont revisité le problème de manière assez détaillée. En Sanskrit en effet, les voyelles peuvent être longues (L) ou courtes (C), et Hemachandra a souhaité calculer combien on peut former de cadences différentes d'une longueur donnée, chaque cadence étant définie par les longueurs des voyelles qui la constituent. Si la voyelle longue est deux fois plus longue que la courte, les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence :

1 C → 1

2 CC,L → 2

3 CCC, CL, LC → 3

4 CCCC, CCL, CLC, ,LCC, LL → 5

5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC → 8

Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n-1, ou L à une cadence de longueur n-2. Ainsi le nombre de cadences de longueur n est la somme des deux nombres précédents de la série. Ce problème est également équivalent au dénombrement des emballages de longueur n donnée, constitué d'articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans The Art of Computer Programming de Donald Knuth.

Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'algorithme d'Euclide qui détermine le plus grand commun diviseur de deux entiers.

Matiyasevich a montré que les nombres de Fibonacci pouvaient être définis par une équation diophantienne, ce qui a conduit à la résolution du dixième problème d'Hilbert. En 1975, Jones en a déduit que, pour des valeurs de x et y entières positives ou nulles, les valeurs positives du polynôme $2 x y 4 + x 2 y 3 - 2 x 3 y 2 - y 5 - x 4 y + 2 y$ étaient exactement les nombres de Fibonacci. Ces valeurs positives s'obtiennent d'ailleurs en attribuant pour valeurs à x et y deux nombres de Fibonacci successifs.

Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du triangle de Pascal (voir Propriétés, Propriété 11).

Une utilisation intéressante des suites de Fibonacci est la conversion des miles en kilomètres. Par exemple, pour savoir combien de kilomètres font 5 miles, il suffit de considérer le $\mathcal{F}_5 = 5$ et le suivant $\mathcal{F}_6 = 8$ . 5 miles font environ 8 kilomètres. Cela fonctionne parce que le facteur de conversion entre les miles et les kilomètres est grossièrement égal à $\varphi\,$ .

Carrés de Fibonacci en spirale.

Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci.

Une spirale logarithmique peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de $\mathcal{F}_1$ unités vers la droite, puis de $\mathcal{F}_2$ unités vers le haut, on se déplace de $\mathcal{F}_3$ unités vers la gauche, ensuite de $\mathcal{F}_4$ unités vers le bas, puis de $\mathcal{F}_5$ unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée dans l'article sur le nombre d'or. Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin.

La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la n^e génération, supposés distincts, sont au nombre de 2ⁿ. Mais les hyménoptères sont tels que les femelles sont issues de deux parents, et les mâles sont issus d'une mère seulement. Il en résulte que leurs ancêtres à la n^e génération sont constitués :

pour les femelles, de $\mathcal F_n$ mâles et $\mathcal F_{n+1}$ femelles,

pour les mâles, de $\mathcal F_{n-1}$ mâles et $\mathcal F_n$ femelles.

Le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2×N au moyen de dominos 2×1 est $\mathcal F_{N+1}$ .

Démonstration

Par récurrence sur N que l'on considéra comme la longueur horizontale du rectangle 2×N :

Initialisation :

Le rectange 2×1 est un domino 2×1 ; il y a 1 seule façon de paver ce rectangle $\left( 1=\mathcal F_2 \right)$ .
Supposons qu'il y ait $\mathcal F_{N+1}$ façons de paver le rectangle 2×N.
Considérons le rectangle 2× :
- Ce rectangle 2×(N+1) peut être construit comme la juxtaposition d'un rectangle 2×(N-1) et de 2 dominos placés horizontalement (la longueur du rectangle d'origine est toujours N+1) ; il y a par hypothèse $\mathcal F_N$ façons de paver le rectangle auquel on a retiré les 2 dominos.
- Ce rectangle 2×(N+1) peut aussi être construit comme la juxtaposition d'un rectangle 2×N et d'un domino placé verticalement (la longueur du rectangle d'origine est toujours N+1) ; il y a par hypothèse $\mathcal F_{N+1}$ façons de paver le rectangle auquel on a retiré le domino.
- Le nombre de façons de paver le rectangle 2×(N+1) est donc la somme $\mathcal F_{N} + \mathcal F_{N+1} = \mathcal F_{N+2}$ , ce qui termine le raisonnement par récurrence.

[modifier] Généralisations

Il existe plusieurs voies pour généraliser la suite de Fibonacci : on peut modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence.

[modifier] Suites de Fibonacci généralisées

Ce sont des suites qui conservent la même relation de récurrence mais dont les termes initiaux ont changé. Comme l'a démontré la première partie, ces suites sont des combinaisons linéaires des deux suites géométriques $(\varphi)^n$ et $(1-\varphi )^n$ où φ est le nombre d'or. Le quotient de deux termes consécutifs tend toujours vers φ.

Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation : $\mathcal{L}_0 =2$ et $\mathcal{L}_1=1$ . Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … On trouve parfois une initialisation $\mathcal{L}_0 =1$ et $\mathcal{L}_1=3$ qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'équations diophantiennes. Ils sont très liés à la suite de Fibonacci, en particulier par la relation suivante : $\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n-1}\,$ pour tout entier n strictement positif (voir Propriétés, Propriété 5).

[modifier] Suites de Lucas

Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue

$U_{n+2} = P \cdot U_n + Q \cdot U_{n+1}$

Elles sont de deux types selon que l'initialisation est de $u 0 = 0$ et $u 1 = 1$ ou qu'elle est $v 0 = 2$ et $v 1 = P$ .

La suite de Fibonacci est alors une suite u de Lucas de paramètres P = 1 et Q = 1. La suite des nombres de Lucas est alors une suite v de Lucas de paramètres $P = 1$ et $Q = 1$ .

Articles détaillés : Suite de Lucas et Nombre de Lucas.

[modifier] Suites de k-bonacci

Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre k. Un terme est la somme des k termes qui le précèdent

$u_{n+k} \, = \, u_n + u_{n+1} + u_{n+2} + \dots +u_{n+k - 1}$

Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.

Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble très général des suites à récurrence linéaire.