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Surjection



Surjection : encyclopédie mathématiques

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Diagramme sagittal d'une surjection : tous les points de Y sont atteints.

En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble image.

Il est possible d'appliquer l'adjectif ¬ę surjectif ¬Ľ √† une fonction (voire √† une correspondance) dont le domaine de d√©finition n'est pas tout l'ensemble de d√©part, mais en g√©n√©ral le terme ¬ę surjection ¬Ľ est r√©serv√© aux applications (qui sont d√©finies sur tout leur ensemble de d√©part), auxquelles nous nous limiterons dans cet article (pour plus de d√©tails, voir le paragraphe Fonction et application de l'article Application).

Pour d√©signer les ensembles de d√©part et d'arriv√©e d'une surjection, il est usuel de dire ¬ę de A sur B ¬Ľ au lieu de ¬ę de A dans B ¬Ľ comme pour une application en g√©n√©ral.

Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles, sa surjectivité est équivalente au fait que son graphe intersecte toute droite horizontale.

Une application qui est à la fois surjective et injective est une bijection.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Une application f de X dans Y est dite surjective si tout √©l√©ment de l'ensemble d'arriv√©e Y a au moins un ant√©c√©dent par f, c'est-√†-dire si :

\forall y \in Y,\, \exist x \in X,\, f(x)=y\ ,

ou encore : pour tout √©l√©ment y de Y, il existe au moins un √©l√©ment x de X tel que f(x) = y.

D√©finition √©quivalente : f est surjective si son ensemble image est √©gal √† son ensemble d'arriv√©e.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple concret[modifier | modifier le code]

On consid√®re le cas d'une station de vacances o√Ļ un groupe de touristes doit √™tre log√© dans un h√ītel. Chaque fa√ßon de r√©partir ces touristes dans les chambres de l'h√ītel peut √™tre repr√©sent√©e par une application de l'ensemble X des touristes vers l'ensemble Y des chambres (√† chaque touriste est associ√©e une chambre).

  • Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-√†-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne d√©passe pas le nombre de chambres.
  • L'h√ītelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-√†-dire que chaque chambre soit occup√©e. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
  • Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est √©gal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de r√©partir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occup√©es : l'application sera alors √† la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Surjection Injection Bijection-fr.svg

Exemples et contre-exemples dans les fonctions réelles[modifier | modifier le code]

La fonction définie par

\begin{matrix}f: & \R & \rightarrow& \R\\ & x & \mapsto &x^2\\\end{matrix}

n'est pas surjective car certains r√©els ne poss√®dent pas d'ant√©c√©dent. Par exemple, il n'y a pas de r√©el x tel que f(x) = ‚ąí4. Mais si on change la d√©finition de f en donnant comme ensemble d'arriv√©e ‚ĄĚ+,

\begin{matrix}f: & \R & \rightarrow& \R^{+}\\ & x & \mapsto &x^2\\\end{matrix}

alors elle le devient car chaque r√©el positif y poss√®de au moins un ant√©c√©dent : 0 poss√®de exactement un ant√©c√©dent, 0, et tous les r√©els y strictement positifs en poss√®dent deux, la racine carr√©e de y et son oppos√©.


La fonction définie par

\begin{matrix}f: & \R & \rightarrow &\R\\ & x & \mapsto& 2x+1\\\end{matrix}

est surjective puisque, pour tout r√©el arbitraire y, il existe des solutions √† l'√©quation y = 2x + 1 d'inconnue x ; une solution est x = (y ‚ąí 1)/2.


La fonction définie par

\begin{matrix}g: & \R & \rightarrow &\R\\ & x & \mapsto &\cos(x)\\\end{matrix}

n'est pas surjective car les réels strictement plus grands que 1 ou strictement plus petits que -1 n'ont pas d'antécédent. Mais la fonction définie par

\begin{matrix}h: & \R & \rightarrow& [-1;1]\\ & x & \mapsto &\cos(x)\\\end{matrix}

qui poss√®de la m√™me expression que g, mais avec un ensemble d'arriv√©e qui a √©t√© restreint √† l'ensemble des r√©els compris entre -1 et 1, est surjective. En effet, pour tout r√©el arbitraire y de l'intervalle [-1, 1], il existe des solutions √† l'√©quation y = cos(x) d'inconnue x : ce sont les r√©els x=\pm \text{Arccos}(y) + 2k\pi pour tout entier relatif k.

Sur ces quelques exemples, on voit qu'il est toujours possible de transformer une application non surjective en une surjection à condition de restreindre son ensemble d'arrivée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Réduction de l'ensemble d'arrivée[modifier | modifier le code]

Si f est une application de X dans Y et Im(f)=f(X) son ensemble image (c'est-à-dire l'ensemble des images par f des éléments de X), alors l'application

\begin{matrix}s: & X & \rightarrow& f(X)\\ & x & \mapsto &f(x)\\\end{matrix}

est une surjection.

En d'autres termes, si f est corestreinte à Im(f), c'est-à-dire si on remplace son ensemble d'arrivée par son ensemble image, elle devient surjective.

Décomposition canonique[modifier | modifier le code]

Paragraphe d√©taill√© : D√©composition canonique dans l'article Application.

Toute application f peut √™tre d√©compos√©e comme f = i o s o√Ļ s est une surjection et i une injection. Cette d√©composition est unique √† un isomorphisme pr√®s. Une d√©composition est fournie dans le paragraphe d√©taill√©. Une autre (√©quivalente) est de choisir pour s la surjection d√©finie ci-dessus, et pour i l'injection canonique de l'image de f dans son ensemble d'arriv√©e.

Images directes et réciproques[modifier | modifier le code]

Pour toute application f : X‚ÜíY, les trois propri√©t√©s suivantes sont √©quivalentes :

  1. f est surjective
  2. tout sous-ensemble B de Y est l'image directe de son image r√©ciproque, c'est-√†-dire f(f ‚ąí1(B)) = B
  3. f(f ‚ąí1(Y)) = Y

Surjectivité et composée[modifier | modifier le code]

Compos√©e surjective : il est n√©cessaire que g soit surjective.

Soit f une application de X dans Y.

  • Pour toute application g de Y dans Z,
    • si g ‚ąė f est surjective alors g est surjective ;
    • si f et g sont surjectives alors g ‚ąė f est surjective ;
    • si g est injective et si g ‚ąė f est surjective alors f est surjective.
  • f est surjective si et seulement si, pour tout Z et pour toutes applications g et h de Y dans Z, g ‚ąė f = h ‚ąė f entra√ģne g = h. En d'autres termes, les surjections sont pr√©cis√©ment les √©pimorphismes dans la cat√©gorie des ensembles.
  • S'il existe une injection h (√† valeurs dans X) telle que f‚ąėh soit surjective, alors f est surjective.

Réciproque partielle et axiome du choix[modifier | modifier le code]

Soit f une application de X dans Y. S'il existe une application g de Y dans X telle que la fonction compos√©e f o g soit √©gale √† l'application identit√© sur Y, alors f est surjective (d'apr√®s une propri√©t√© vue plus haut).

Une telle application g peut être considérée comme une réciproque partielle de f. Elle est nécessairement injective.

Réciproquement, si f est surjective alors elle admet une réciproque partielle (au sens précédent). Cette propriété s'appuie sur le fait que l'on peut toujours remonter les flèches de Y vers X . Elle est toujours vraie si Y est fini. L'affirmation qu'elle est vraie pour tout ensemble Y est équivalent à l'axiome du choix.

Construction d'une fonction g
f o g = Identité dans Y

Cardinaux[modifier | modifier le code]

S'il existe une surjection de X dans Y, alors (d'après ce qui précède, donc en admettant l'axiome du choix) il existe une injection de Y dans X, autrement dit l'ensemble X a au moins autant d'éléments que l'ensemble Y, au sens des cardinaux.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Bijection
  • Injection (math√©matiques)
  • Ensemble exponentiel
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