Table de primitives

Table de primitives : encyclopédie mathématiques

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Cet article fait partie de la série
Primitives de fonctions

Trigonométriques

Circulaires réciproques

Hyperboliques réciproques

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par $C$ une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

$\textstyle\int f(x)\,\mathrm dx$ – appelé intégrale indéfinie de $f$ – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ à une constante additive près.

Sommaire

[modifier] Règles générales d'intégration

Linéarité:

$\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)\mathrm dx = a \int f(x)\,\mathrm dx + b \int g(x)\,\mathrm dx$

relation de Chasles:

$\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm dx + \int_{b}^{c}f(x)\,\mathrm dx$

et en particulier

$\int_a^b f(x) \, \mathrm dx = - \int_b^a f(x) \, \mathrm dx$

intégration par parties:

$\int f(x)\,g'(x)\,\mathrm dx = f(x)\,g(x) - \int g(x)\,f'(x)\,\mathrm dx$

[modifier] Primitives de fonctions simples

Article connexe : Primitive#Primitives courantes.

$\int \,\mathrm dx = x + C$

[modifier] Primitives de fonctions rationnelles

$\int x^n\,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\text{ si }n \ne -1$

$\int \frac1x\,\mathrm dx = \ln \left|x\right| + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}{x} + C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{\frac{x}{a}} + C\qquad\text{ si }a \ne 0$

$\int \frac{1}{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x+1}{x-1}\right|} + C = \operatorname{Argth}(x) + C$

$\int \frac{1}{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac{1}{(n-1)\,(x-a)^{n-1}} + C\qquad\text{ si }n \ne 1$

$\int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx = \ln|x-a| + C$

[modifier] Primitives de fonctions logarithmes

$\int \ln {x}\,\mathrm dx = x \ln ({x}) - x + C$

$\int \log_b {x}\,\mathrm dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Plus généralement, une primitive n-ième de $ln(x)$ est donnée par

$\frac{x^n}{n!} (\ln ({x}) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}) + P_{n-1}(x)$ avec

P n - 1 (x)

un polynôme de degré

n - 1

[modifier] Primitives de fonctions exponentielles

$\int e^x\,\mathrm dx = e^x + C$

$\int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C \qquad \textrm{si} \ a>0$

[modifier] Primitives de fonctions irrationnelles

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arcsin} {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arccos}{x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C$

[modifier] Primitives de fonctions trigonométriques

$\int \cos{x}\, \mathrm dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, \mathrm dx = -\cos{x} + C$

$\int \tan{x} \, \mathrm dx = -\ln| \cos x | + C$

$\int \operatorname{cosec}\,x \, \mathrm dx = -\ln| \operatorname{cosec}\,x + \operatorname{cotan}\,x| + C$

$\int \sec{x} \, \mathrm dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \operatorname{cotan}\,x \, \mathrm dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, \mathrm dx = \tan x + C$

$\int \operatorname{cosec}^2\,x \, \mathrm dx = -\operatorname{cotan}\,x + C$

$\int \sin^2 x \, \mathrm dx = {2x - \sin 2x \over 4} + C$

$\int \cos^2 x \, \mathrm dx = {2x + \sin 2x \over 4} + C$

$\int \frac{1}{\sin x}\,\mathrm dx = \ln{\left| \tan \frac{x}{2} \right|} + C$

$\int \frac{1}{\cos x}\,\mathrm dx = \ln{\left| \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right|} + C$

[modifier] Primitives de fonctions hyperboliques

$\int \operatorname{sh}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{ch}\,x + C$

$\int \operatorname{ch}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{sh}\,x + C$

$\int \operatorname{th}\,x \, \mathrm dx = \ln (\operatorname{ch}\,x) + C$

$\int \operatorname{cosech}\,x \, \mathrm dx = \ln\left| \operatorname{th} {x \over2}\right| + C$

$\int \operatorname{sech}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}(\operatorname{sh}\,x) + C$

$\int \coth x \, \mathrm dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C$

[modifier] Primitives de fonctions circulaires réciproques

Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties. On suppose $a\ne 0$ .

$\int \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a}{2}\ln(a^2+x^2)+C$

$\int \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(a^2+x^2)+C$

$\int \operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) -a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{a^2\over x^2}}\right)\right ]} + C$

$\int \operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) +a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{a^2\over x^2}}\right)\right ]} + C$

[modifier] Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

On suppose $a\ne 0$ .

$\int \operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{x^2+a^2}+C$

$\int \operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{x^2-a^2}+C$

$\int \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x\, \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(a^2-x^2)+C$

$\int \operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(x^2-a^2)+C$

$\int \operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) - a\,\operatorname{arctan} \left ( \sqrt{{a^2\over x^2}-1}\right )+ C$

$\int \operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) + a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\left(1+\sqrt{1+{a^2\over x^2}}\right)\right]}+ C$