Théorème de flux-divergence (encyclopédie mathématiques)

En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski, affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans $\R^3$ et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface).

L'égalité est la suivante :

$\iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\ \vec F \ {\rm d}V =\iint_{\part \mathcal{V}} \vec F \cdot {\rm d} \vec S$

où :

$\mathcal{V}\,$ est le volume,

$\part\mathcal{V}\,$ est la frontière de $\mathcal{V}$ ,

${\rm d} \vec S$ est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l'extérieur et de longueur égale à l'élément de surface qu'il représente.

Ce théorème découle du théorème de Stokes qui, lui-même, généralise le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

[modifier] Interprétation physique

C'est un résultat important en physique mathématique, en particulier en électrostatique et en dynamique des fluides, où ce théorème reflète une loi de conservation. Selon son signe, la divergence exprime la dispersion ou la concentration d’une grandeur (telle une masse par exemple) et le théorème précédent indique qu’une dispersion au sein d’un volume s’accompagne nécessairement d’un flux total équivalent sortant de sa frontière.

Ce théorème permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme à partir de l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm{div}\ \overrightarrow{E} \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

[modifier] Autres relations

Ce théorème permet de déduire certaines formules utiles du calcul vectoriel. Dans les expressions ci-dessous, $\vec\nabla \cdot \vec F = \mathrm{div} \vec F, \, \vec\nabla g = \vec{\mathrm{grad}}\, g\, , \vec\nabla \wedge \vec F = \vec{\mathrm{rot}} \vec F\,$ :

$\iiint_\mathcal{V} \left( \vec{F}\cdot \vec{\nabla} g + g \left(\vec{\nabla} \cdot \vec{F}\right)\right){\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}}g \vec{F}\cdot {\rm d}\vec{S},$

$\iiint_\mathcal{V} \vec{\nabla} g \, {\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}} g {\rm d}\vec{S},$

$\iiint_\mathcal{V} \left( \vec{G}\cdot\left(\vec{\nabla} \wedge \vec{F}\right) - \vec{F}\cdot \left( \vec{\nabla} \wedge \vec{G}\right) \right) {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}\left(\vec{F} \wedge \vec{G}\right)\cdot {\rm d}\vec{S},$

$\iiint_\mathcal{V} \vec{\nabla}\wedge \vec{F} {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}{\rm d}\vec{S} \wedge \vec{F},$

$\iiint_\mathcal{V} \left( f \vec{\nabla}^{2} g + \vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} g \right) {\rm d} V = \iint_{\part \mathcal{V}} f \vec{\nabla} g \cdot {\rm d} \vec{S}.$

En particulier, ces formules sont exploitées pour obtenir des formulations faibles associées à des problèmes aux dérivées partielles.

[modifier] Articles connexes

Théorème de Gauss (gravitation)

v · d · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson)
Opérateurs	Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes	de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

Théorème de flux-divergence

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[modifier] Autres relations

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