Théorème de l'Huilier

Théorème de l'Huilier : encyclopédie mathématiques

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Notations dans un triangle sphérique

En trigonométrie sphérique, le théorème de l'Huilier relie l'aire d'un triangle sphérique à la longueur de ses côtés ; il constitue ainsi une généralisation de la formule de Héron à une géométrie non euclidienne.

Dans un triangle sphérique (voir figure ci-contre) dessiné sur la sphère de rayon R, dont les côtés ont pour dimensions angulaires a, b et c, on note le demi-périmètre

$p = \frac12 (a+b+c) \,$ .

Le théorème de l'Huilier stipule que la surface du triangle vaut

$S = 4R^2 \arctan\left\{\sqrt{\tan\left(\frac{p}2\right)\tan\left(\frac{p-a}2\right)\tan\left(\frac{p-b}2\right)\tan\left(\frac{p-c}2\right)}\right\}$ .

La formule de Héron est le cas limite de l'égalité ci-dessus quand la courbure de la sphère devient suffisamment petite et qu'on se rapproche de la géométrie euclidienne : en effet, lorsque a, b et c deviennent petits devant 1 — R est grand devant BC, AC et AB — l'approximation

$\tan x \approx \arctan x \approx x \,$