Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

[modifier] Énoncé pour les fonctions

Soient ]a,b[ un intervalle réel ouvert non vide, borné ou non :

et

une fonction croissante. Alors :

• f admet en tout point x₀ de ]a,b[ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement et  ; elles vérifient la double inégalité
• f admet en b une limite, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon.
• f admet en a une limite, qui est finie si f est minorée et qui vaut -∞ sinon.

(théorème analogue pour les fonctions décroissantes, se déduisant immédiatement du précédent en remplaçant f par − f : il convient d'inverser le sens des inégalités larges, d'échanger minorée et majorée ainsi que +∞ et -∞).

Démonstration

Montrons le résultat en b, les autres cas s'en déduisent immédiatement. Notons A = f(]a,b[). Si f est majorée, l'ensemble A (non vide et majoré), possède dans ℝ une borne supérieure que nous notons M. Si f n'est pas majorée, posons M = +∞. Autrement dit (dans les deux cas), M est le plus petit majorant de A dans ℝ∪{+∞}. Pour prouver que la limite de f en b est bien M, il suffit (dans les quatre situations^{[4 en 1]} : que b soit fini ou +∞ et que M soit fini ou +∞) de démontrer que pour tout m < M, il existe x_m∊]a,b[ tel que :

Soit donc m < M. Par définition de M, le réel m n'est pas un majorant de A. Il existe donc un élément x_m∊]a,b[ tel que f(x_m) > m. Par croissance de f, on obtient ainsi :

D'autre part, tous les x∊]a,b[ vérifient f(x) ≤ M.

On obtient donc bien l'encadrement de f(x) voulu, pour tout x∊[x_m,b[.

1. ↑ En effet, si cette propriété – dont l'avantage est de traiter les quatre situations simultanément – est vérifiée, la définition de la limite, dans chacune de ces situations, le sera aussi.

[modifier] Énoncé pour les suites

Soit une suite croissante de réels.

• Si la suite est majorée alors elle est convergente.
• Si la suite n'est pas majorée alors elle admet +∞ pour limite.

(théorème analogue pour les suites décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant u par − u).

Démonstration

La démonstration est analogue à celle pour les fonctions : notons A l'ensemble des termes de la suite et M sa borne supérieure s'il est majoré, et s'il ne l'est pas Pour tout m < M, le réel m n'est pas un majorant de A. Il existe donc un entier N_m tel que . Comme la suite est croissante, on aura ce qui prouve que la suite (u_n) converge vers M.

[modifier] Articles connexes

• Fonction monotone
• Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.