Théorème des deux lunules

Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane

[modifier] Histoire

Ce théorème est très ancien : Hippocrate de Chios (-500) étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire 2^{1 / 3} (ne pas confondre avec Hippocrate(-460,-377)). On l'appelle aussi les lunules d'Hippocrate.

[modifier] Énoncé

Soit le triangle ABC rectangle en B et le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule L_BC est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par .

La lunule L_BA est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par .

Alors la somme des aires de L_BC et de L_BA (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

[modifier] Démonstration

Soit un triangle ABC rectangle en B

Les deux petites parties blanches sont le demi-cercle de diamètre AC privé du triangle ABC. Leur aire est donc Aire(AC) − Aire(ABC)

Les deux lunules sont les deux demi-cercles de diamètre AB et BC privés des parties blanches. Leur aire est donc Aire(AB) + Aire(BC) − (Aire(AC) − Aire(ABC)). Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que Aire(AB) + Aire(BC) − Aire(AC) = 0. C'est à dire que l'aire des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que AC² = AB² + BC². Donc en multipliant par on a que , ce qui est l'égalité des aires recherchées.

[modifier] Voir aussi

Arbelos