Trigonometrie complexe

Trigonometrie complexe : encyclopédie mathématiques

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[modifier] Extension des fonctions circulaires

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

$\sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}$

$\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}$

$\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}$

De même que leurs fonctions réciproques :

$\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)$

$\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)$

$\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)$

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

[modifier] Fonctions trigonométriques d'un complexe

Voici la démonstration de la formule permettant de calculer le cosinus d'un complexe :

$af + ibf = \cos{(a + i.b)} = \frac{e^{i(a + i.b)} + e^{-i(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{i.a - b} + e^{-i.a + b}}{2} = \frac{e^{-b}.e^{i.a} + e^{b}.e^{-i.a}}{2} = \frac{e^{-b}}{2}.e^{i.a} + \frac{e^{-b}}{2}.e^{-i.a}$

$=> r1 = \frac{e^{-b}}{2}$

t 1 = a

$=> r2 = \frac{e^{b}}{2}$

t 2 = - a

$=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a}$ $b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a}$

$=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{(-a)} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{a}$ $b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\sin{(-a)} = -\frac{e^{b}}{2}.\sin{a}$

$=> af = a1 + a2 = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a} + \frac{e^{b}}{2}.\cos{a} = \cos{a}.[\frac{e^{-b}}{2} + \frac{e^{b}}{2}] = \cos{a}.[\frac{e^{b} + e^{-b}}{2}] = \cos{a}.\cosh{b}$

$=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a} - \frac{e^{b}}{2}.\sin{a} = \sin{a}.[\frac{e^{-b}}{2} - \frac{e^{b}}{2}] = \sin{a}.[\frac{-1.(e^{b} - e^{-b})}{2}] = -\sin{a}.\sinh{b}$

= > cos(a + i . b) = cos(a).cosh(b) - i .sin(a).sinh(b)

Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux faut utiliser leur propriété suivante :

$\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}$ $\cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}}$

Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique :

$af + ibf = \cosh{(a + i.b)} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-a - i.b}}{2} = \frac{e^{a}.e^{i.b} + e^{-a}.e^{-i.b}}{2} = \frac{e^{a}}{2}.e^{i.b} + \frac{e^{-a}}{2}.e^{-i.b}$

$=> r1 = \frac{e^{a}}{2}$

t 1 = b

$=> r2 = \frac{e^{-a}}{2}$

t 2 = - b

$=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b}$ $b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b}$

$=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{(-b)} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b}$ $b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\sin{(-b)} = -\frac{e^{-a}}{2}.\sin{b}$

$=> af = a1 + a2 = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b} + \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b} = [\frac{e^{a}}{2} + \frac{e^{-a}}{2}].\cos{b} = [\frac{e^{a} + e^{-a}}{2}].\cos{b} = \cosh{a}.\cos{b}$

$=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b} - \frac{e^{-a}}{2}.\sin{b} = [\frac{e^{a}}{2} - \frac{e^{-a}}{2}].\sin{b} = [\frac{e^{a} - e^{-a}}{2}].\sin{b} = \sinh{a}.\sin{b}$