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Vecteur



Vecteur : encyclopédie mathématiques

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Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et le vecteur somme.

En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition qu'il appartienne à un ensemble muni des opérations adéquates. On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, dans le cas particulier des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions, par des flèches.

Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre un. Les tenseurs d'ordre deux sont représentés par des matrices et les matrices d'une application linéaire transformant les vecteurs en forme linéaire constituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussi bivecteurs.

En mathĂ©matiques, rigoureusement axiomatisĂ©e, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathĂ©matiques appelĂ©e algèbre linĂ©aire. En algèbre multilinĂ©aire, un champ vectoriel est une fonction de â„ťn dans â„ťn. Un vecteur est une correspondance entre un Ă©lĂ©ment de â„ťn et son image dans â„ťn ; c'est donc un dĂ©placement dans un espace multidimensionnel. RĂ©soudre une Ă©quation diffĂ©rentielle, c'est calculer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs, ceux-ci formant un champ de vecteurs. Le calcul du centre de masse ou barycentre fait aussi appel aux vecteurs ; les coordonnĂ©es dĂ©finies Ă  partir du centre de masse sont appelĂ©es coordonnĂ©es barycentriques.

En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force ou un champ électrique. On parle aussi de vecteur-vitesse.

La notion est issue de la combinaison des notions de couple de points de la géométrie euclidienne (qui permettent de définir les distances, mais aussi la direction et le sens), et des possibilités de calcul offertes par l'algèbre.

La notion de vecteur peut être définie en dimension deux (le plan), trois (l'espace euclidien usuel), et plus généralement des espaces de dimension quelconque.

Histoire[modifier | modifier le code]

La notion de vecteur est le fruit d'une longue histoire, commencĂ©e voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idĂ©es, d'abord distinctes, sont Ă  l'origine de la formalisation. L'une d'elle est la gĂ©omĂ©trie, traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond Ă  l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et plus gĂ©nĂ©ralement d'ensembles munis d'opĂ©rations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante :

« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaĂ®tre et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner Ă  chacun[1] ? Â»

Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.

Origines des deux concepts[modifier | modifier le code]

Les Éléments formalise une structure géométrique initialement utilisé pour décrire l'ancêtre de l'espace vectoriel.

La civilisation grecque dĂ©veloppe la gĂ©omĂ©trie Ă  un niveau inĂ©galĂ© Ă  cette Ă©poque. L'un des fleurons est le traitĂ© nommĂ© les ÉlĂ©ments d'Euclide, datant du IIIe siècle av. J.-C.. Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l'Ă©poque, d'une gĂ©omĂ©trie, encore maintenant appelĂ©e euclidienne. On y trouve les dĂ©finitions d'une droite, d'un plan ou de notre espace physique de dimension trois permettant de modĂ©liser des volumes. Les propriĂ©tĂ©s des distances, des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont Ă©tudiĂ©es. Les thĂ©orèmes fondateurs, comme ceux appelĂ©s Thalès ou Pythagore, sont explicitĂ©s et dĂ©montrĂ©s.

L'algèbre y est peu développée et contient essentiellement de l'arithmétique. Les nombres entiers et rationnels sont étudiés ainsi que quelques irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne s'écrivent pas sous forme d'une fraction d'entiers[2]. Les nombres sont toujours strictement positifs.

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique ont en Chine un rôle analogue aux Éléments d'Euclide en occident.

La Chine dĂ©veloppe les premières idĂ©es algĂ©briques Ă  l'origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement du Ier siècle av. J.-C.[3] : les Neuf Chapitres sur l'art mathĂ©matique y consacre sa huitième partie. Elle s'intitule Fang cheng ou Disposition rectangulaire et traite d'un problème maintenant appelĂ© système d'Ă©quations linĂ©aires. Cette culture n'en reste pas lĂ , Qin Jiushao (1202 - 1261) gĂ©nĂ©ralise cette Ă©tude Ă  des nombres diffĂ©rents des entiers ou rationnels. Il utilise les congruences, inaugurant une dĂ©marche consistant Ă  dĂ©finir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi rĂ©soudre des problèmes liĂ©s au calendrier et aux alignements de planètes avec une très grande prĂ©cision[4]. La mĂ©thode utilisĂ©e ne sera connue qu'au XIXe siècle en Occident, sous le nom de pivot de Gauss. Ce rĂ©sultat est suffisamment Ă©tonnant pour que Libbrecht prĂ©cise que :

« Nous ne devrions pas sous-estimer la percĂ©e rĂ©volutionnaire de Qin, en effet, depuis le thĂ©orème des restes chinois de Sun Zi, on passe sans intermĂ©diaire Ă  un algorithme plus avancĂ© que la mĂ©thode de Gauss elle-mĂŞme, et il n'y a pas la moindre indication d'une Ă©volution graduelle[5]. Â»

L'aspect géométrique n'échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, le Gou gu comporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore[6].

Convergence de l'algèbre et de la géométrie[modifier | modifier le code]

Illustration extraite du traité de perspective De prospectiva pingendi de Piero della Francesca, un peintre de la renaissance italienne.

L'existence de lien entre ce que l'on appelle maintenant l'algèbre et la géométrie est ancienne. Les Babyloniens connaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d'un carré de côté de longueur un, à savoir que son carré est égal à deux. Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision[7]. Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.

Il faut cependant attendre la civilisation arabe pour observer un progrès significatif. Leurs mathĂ©maticiens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d'Euclide[8]. Les notations utilisĂ©es laissent penser qu'ils avaient aussi accès Ă  des travaux des premiers mathĂ©maticiens chinois[9]. Le progrès dĂ©terminant consiste Ă  associer au plan gĂ©omĂ©trique des coordonnĂ©es. Omar Khayyam (1048 - 1131) cherche les solutions d'un problème purement algĂ©brique : trouver les racines d'un polynĂ´me du troisième degrĂ©. Un système de coordonnĂ©es lui permet de visualiser ces racines comme les abscisses des intersections d'une parabole et d'une hyperbole[10].

Le système des coordonnĂ©es est repris en Europe. La volontĂ© de maitriser la perspective pousse les peintres italiens Ă  Ă©tudier les mathĂ©matiques. Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) dĂ©couvre les lois de la perspective, issues d'une projection centrale[11]. Ces rĂ©sultats sont formalisĂ©s[12] par Leon Battista Alberti (1404 - 1472). Les thĂ©oriciens de la perspective disposent de multiples talents. Ainsi Piero della Francesca (vers 1412 - 1492), auteur d'un traitĂ© sur la question[13], est Ă  la fois peintre et mathĂ©maticien. Giorgio Vasari (1511 - 1574) indique, Ă  propos de ses talents de gĂ©omètre « il ne fut infĂ©rieur Ă  personne de son Ă©poque et peut-ĂŞtre de tout temps[14] Â».

Apports de la physique[modifier | modifier le code]

RenĂ© Descartes utilise l'optique pour dĂ©velopper le concept de repère cartĂ©sien. L'illustration provient de son traitĂ© : Les Dioptriques.

La physique est le moteur suivant de la convergence entre gĂ©omĂ©trie et algèbre. En 1604, Galileo Galilei (1564 - 1642) Ă©tablit[15] la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l'utilisation d'un repère. L'optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant. Pierre de Fermat (1601 - 1665), qui connaissait les Ă©crits de GalilĂ©e, et RenĂ© Descartes (1596 - 1650) s'Ă©crivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se rĂ©flĂ©chit sur un miroir) et Ă  la rĂ©fraction (la dĂ©viation d'un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l'air Ă  l'eau)[16]. Ils arrivent Ă  la conclusion qu'un repère est une mĂ©thode systĂ©matique permettant d'apprĂ©hender tous les problèmes de gĂ©omĂ©trie euclidienne. Ces rĂ©sultats sont consignĂ©s dans un traitĂ© de Descartes[17]. Il Ă©crit en introduction : « Comment le calcul d'arithmĂ©tique se rapporte aux opĂ©rations de gĂ©omĂ©trie Â». Pour Descartes, calcul d'arithmĂ©tique signifie approximativement ce qui est maintenant appelĂ© algèbre. Cette approche est particulièrement fĂ©conde pour l'Ă©tude d'une branche naissante des mathĂ©matiques : la gĂ©omĂ©trie analytique. Un exemple est donnĂ© par l'Ă©tude de la cycloĂŻde. Cette courbe dĂ©crit la trajectoire d'un point de la surface d'une roue se dĂ©plaçant sans glissement sur un sol horizontal.

Isaac Newton (1643 - 1727) dĂ©veloppe[18] la gĂ©omĂ©trie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine[19] de l'utilisation du terme vecteur. En 1704, un dictionnaire technique anglais indique :

« Une ligne dessinĂ©e depuis une planète, se dĂ©plaçant autour d'un centre ou du foyer d'une ellipse, jusqu'Ă  ce centre ou ce foyer, est appelĂ© Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre[20]. Â»

Ce terme apparait en français sous la plume de Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) dans l'expression rayon vecteur[21], encore dans un contexte astronomique. Il vient du latin vector provenant lui-même du verbe vehere qui veut dire transporter[22]. Pour les romains, le mot vector désignait aussi bien le passager que le conducteur d'un bateau ou d’un chariot. Les mots français véhicule, voiture, mais aussi invective proviennent de cette même racine latine. Son origine est plus ancienne, elle provient de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH et signifie chariot.

Ainsi, au XVIIe siècle, le contexte gĂ©omĂ©trique et algĂ©brique du vecteur est prĂ©sent. En revanche, aucune formalisation n'est proposĂ©e et le terme, s'il est utilisĂ©, dĂ©signe encore une grandeur scalaire.

Formalisations[modifier | modifier le code]

Giusto Bellavitis est un mathématicien italien auteur de la formalisation des vecteurs par la notion de bipoint et d'équipollence.

La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathĂ©maticiens durant la première moitiĂ© du XIXe siècle. Bernard Bolzano (1781 - 1848) publie un livre Ă©lĂ©mentaire[23] contenant une construction axiomatique de la gĂ©omĂ©trie analogue Ă  celle d'Euclide, fondĂ©e sur des points, droites et plans. Il adjoint les opĂ©rations algĂ©briques d'addition et de multiplication. La gĂ©omĂ©trie projective, hĂ©ritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduit Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) et Michel Chasles (1793 - 1880) Ă  affiner[24],[25] les travaux de Bolzano. August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) apporte sa pierre Ă  l'Ă©difice en dĂ©veloppant le système de coordonnĂ©es barycentriques[26]. Enfin, la formalisation encore actuellement enseignĂ©e, Ă  partir des notions de bipoint et d'Ă©quipollence, est l'Ĺ“uvre[27] de Giusto Bellavitis (1803 - 1880).

Une autre voie est explorĂ©e, purement algĂ©brique. William Rowan Hamilton (1805 - 1865) remarque que les nombres complexes reprĂ©sentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie[28] Ă  chercher un Ă©quivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps des quaternions, de dimension quatre en 1843. Il propose deux nouvelles dĂ©finitions pour les mots « vecteur Â» et « scalaire Â». Un vecteur est pour lui un Ă©lĂ©ment d'un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il Ă©crit :

« Un vecteur est donc… une sorte de triplet naturel (suggĂ©rĂ© par la gĂ©omĂ©trie) : et en consĂ©quence nous verrons que les quaternions offrent une reprĂ©sentation symbolique simple sous forme trinomiale (i.x + j.y + k.z); ce qui ramène la conception et l'expression d'un tel vecteur Ă  la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnĂ©es cartĂ©siennes et rectangulaires[29]. Â»

En 1878, dans Éléments de dynamique William Kingdon Clifford reprendra en la simplifiant la notion de quaternions. Il introduit en particulier le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs. Cette approche permit d'utiliser les vecteurs d'une manière plus calculatoire.

Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

Article dĂ©taillĂ© : Espace vectoriel.

Approche géométrique[modifier | modifier le code]

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace fondée sur les axiomes d'Euclide. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Une visualisation intuitive d'un vecteur correspond à un déplacement d'un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, une translation. Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d'arrivée, une direction si le déplacement n'est pas nul, c'est la droite contenant le point de départ et d'arrivée et un sens, depuis le départ jusqu'à l'arrivée.

DĂ©finition[modifier | modifier le code]

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deux parallélogrammes.

Un vecteur est reprĂ©sentĂ© par un segment orientĂ© (une flèche) ayant pour extrĂ©mitĂ©s un point de dĂ©part et un point d'arrivĂ©e. L’emplacement dans le plan ou l'espace n’a pas d’importance, deux dĂ©placements de deux points d'origine distincts peuvent correspondre au mĂŞme vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement Ă  lui-mĂŞme. Si Aet B sont deux points distincts, le vecteur \scriptstyle \overrightarrow{AB} possède trois Ă©lĂ©ments caractĂ©ristiques :

  • sa direction (droite (AB)) ;
  • son sens (il y a deux sens possible de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ;
  • sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).

Attention cependant Ă  ne pas confondre sens et direction. En effet, dans le langage courant, lorsqu'on se trouve sur une route entre Paris et Versailles et que l'on dit que l'on va dans la direction de Versailles, on se rapproche de cette dernière ville. Mais dans le langage mathĂ©matique, la direction est portĂ©e par la route (direction Paris-Versailles) sans savoir si l'on va de Versailles vers Paris ou de Paris vers Versailles. Pour savoir vers quelle ville on se dirige, il faudra aussi donner le sens : le sens Paris-Versailles par exemple pour indiquer que l'on va de Paris vers Versailles.

Une dĂ©finition formelle utilise au prĂ©alable la notion de bipoint. Il est dĂ©fini comme un couple de points. L’ordre a une importance : le premier point est appelĂ© origine. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits Ă©quipollents lorsque les segments [AD] et [BC] ont le mĂŞme milieu. La relation d'Ă©quipollence constitue une relation d'Ă©quivalence sur les bipoints. Une classe d'Ă©quivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l'image du premier point par le dĂ©placement.

La classe d'équivalence d'un bipoint (A,B) est appelée vecteur et est notée \scriptstyle \overrightarrow{AB}. Le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.

Si les vecteurs peuvent être déplacés dans le plan, quant à eux, les points ne le sont pas. Ces derniers restent fixes. L'intérêt d'avoir un représentant d'un vecteur est d'obtenir parmi les vecteurs équipollents un seul dont l'origine ou l'extrémité est fixée une fois pour toute.

Ainsi deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Tous les bipoints constituĂ©s de la rĂ©pĂ©tition d'un mĂŞme point : (A,A), sont Ă©quipollents entre eux, ils sont les reprĂ©sentants d'un vecteur qualifiĂ© de nul. Il est notĂ©

\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}.

Cet unique vecteur possède la propriété particulière d'avoir son origine et son extrémité confondues. Ce vecteur sera alors le seul à être représenté comme un point. Un vecteur représente un déplacement. Mais dans un vecteur nul, l'extrémité et l'origine étant confondues, il n'y a aucun déplacement. Cela veut donc dire l'absence de déplacement est considérée comme un déplacement.

Les théories présentant les vecteurs comme une classe d'équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d'une flèche[30].

Longueur et angle[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : produit scalaire.

La longueur d'un bipoint (A,B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur \scriptstyle \vec{u} ont donc la même longueur, qui est appelée norme (ou module) du vecteur \scriptstyle \vec{u} et notée en général \scriptstyle ||\vec{u}|| (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle, \scriptstyle ||\vec{0}|| = 0.

L’angle que forment deux vecteurs \scriptstyle \vec{u} et \scriptstyle \vec{v} est noté \scriptstyle (\widehat{\vec{u},\vec{v}}). Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A, B) est un représentant de \scriptstyle \vec{u} et (A,C) un représentant de \scriptstyle \vec{v}, alors

(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}

Dans le plan orienté, il est possible de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Calcul vectoriel en gĂ©omĂ©trie euclidienne.

Des constructions géométriques permettent la définition de l'addition et de la multiplication par un scalaire. Le nom donné aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres (commutativité, associativité et distributivité, présence d'un élément neutre et absorbant). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont similaires.

Si \scriptstyle \vec{u} et \scriptstyle \vec{v} sont deux vecteurs, soit un couple (A, B) de points représentant \scriptstyle \vec{u} et C le point tel que le couple (B, C) représente le vecteur \scriptstyle \vec{v}. Alors un représentant du vecteur \scriptstyle \vec{u} + \vec{v} est le couple (A, C). Si \scriptstyle \vec{v} est le vecteur nul, alors les points B et C sont confondus, la somme est alors égale à \scriptstyle \vec{u} et le vecteur nul est bien l'élément neutre pour l'addition des vecteurs. Soit α un nombre, si \scriptstyle \vec{u} est le vecteur nul, alors α.\scriptstyle \vec{u} est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenant A et B, et un unique point C tel que la distance entre A et C soit égale à \scriptstyle |\alpha|\; . ||\vec{u}|| et le sens de (A,B) si α est positif, relativement au sens de \scriptstyle \vec{u}, et l'inverse sinon.

Une fois équipée d'une structure d'espace vectoriel, les démonstrations de la géométrie euclidienne s’avèrent souvent simplifiées. Un exemple est donné par le théorème de Thalès.

Formalisation[modifier | modifier le code]

David Hilbert propose une construction axiomatique de la géométrie euclidienne rigoureuse.

On ne trouve pas de vecteurs dans les Ă©lĂ©ments d'Euclide, mais les notions de point ou de parallĂ©logramme, de l'approche esquissĂ©e ci-dessus y sont bien prĂ©sentes. Mais l'axiomatisation des Ă©lĂ©ments n'est pas tout Ă  fait satisfaisante, bien qu'elle ait Ă©tĂ© longtemps un modèle en la matière : certains axiomes restent implicites. David Hilbert a montrĂ© comment axiomatiser rigoureusement le plan ou l'espace affine de façon gĂ©omĂ©trique (voir les articles plan affine de Desargues et axiomes de Hilbert). En utilisant le parrallĂ©lisme, il est alors possible de dĂ©finir les translations et les homothĂ©ties, et en utilisant ces transformations, les vecteurs et les scalaires[31]. Cette approche est très gĂ©nĂ©rale : elle permet de traiter des cas utiles, oĂą les scalaires ne sont pas forcĂ©ment des rĂ©els, mais par exemple des complexes ou les Ă©lĂ©ments d'un ensemble fini de nombres[31]. Elle se gĂ©nĂ©ralise Ă©galement en dimension quelconque, au moins finie[31].

Cependant le dĂ©veloppement des mathĂ©matiques a Ă©largi considĂ©rablement les domaines d'utilisation des vecteurs, et une approche plus algĂ©brique est très largement utilisĂ©e. Elle est fondĂ©e sur deux ensembles : l'un contenant les scalaires, l'autre les vecteurs. Le deuxième est appelĂ© espace vectoriel. Ces deux ensembles sont munis d'opĂ©rations et des axiomes sont vĂ©rifiĂ©s pour chacune des opĂ©rations. Cette construction diffĂ©rente pour formaliser le mĂŞme concept de vecteur est celle qui est traitĂ©e dans l'article consacrĂ© aux espaces vectoriels. Elle est esquissĂ©e ci-dessous.

Approche algébrique[modifier | modifier le code]

Coordonnées et vecteurs colonnes[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Base (algèbre linĂ©aire).

Dans un plan, deux vecteurs \scriptstyle \vec{a} et \scriptstyle \vec{b} non nuls et de directions diffĂ©rentes possèdent une propriĂ©tĂ© importante. Un vecteur \scriptstyle \vec{u} quelconque est somme d'un multiple de \scriptstyle \vec{a} et \scriptstyle \vec{b}. Cela signifie qu'il existe deux uniques nombres u1 et u2 tel que :

\vec{u} = u_1 \vec{a} + u_2 \vec{b}\;

\scriptstyle \vec{u} est alors qualifiĂ© de combinaison linĂ©aire de \scriptstyle \vec{a} et \scriptstyle \vec{b}. Comme tout vecteur du plan s'exprime de manière unique comme combinaison linĂ©aire de \scriptstyle \vec{a} et \scriptstyle \vec{b}, la famille (\scriptstyle \vec{a}, \scriptstyle \vec{b}) est qualifiĂ©e de base du plan et u1, u2 sont appelĂ©s composantes[32] du vecteur \scriptstyle \vec{u} dans cette base. Cette dĂ©finition correspond Ă  celle d'un plan affine muni d'un repère. Une telle propriĂ©tĂ© est encore vraie dans l'espace. Cependant, deux vecteurs ne suffisent plus, toute base contient exactement trois vecteurs non nuls et dont les directions ne sont pas coplanaires (c'est-Ă -dire qu'il n'existe aucun plan contenant les trois directions). Si dans l'espace, les trois composantes d'un vecteur \scriptstyle \vec{u} sont u1, u2 et u3, il est d'usage de noter :

\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

pour indiquer les composantes du vecteur. Le tableau est appelé vecteur-colonne et correspond à un cas particulier de matrice. Les opérations algébriques sur les vecteurs sont simples, avec une telle représentation. Additionner deux vecteurs revient à additionner chacune des composantes et la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante par le scalaire.

Dans un plan vectoriel, un vecteur s'identifie à un couple de scalaires, et dans l'espace à un triplet. Si les nombres choisis sont réels alors un plan (respectivement un espace) s'identifie à ℝ2 (respectivement à ℝ3). Ici, ℝ désigne l'ensemble des nombres réels.

Ébauche d'une construction algébrique[modifier | modifier le code]

Article dĂ©taillĂ© : Espace vectoriel.

La logique précédente, appliquée pour une dimension égale à deux ou trois se généralise. Il est ainsi possible de considérer la structure ℝn ou de manière plus générale Kn avec K un ensemble de scalaires possédant de bonnes propriétés (précisément, K est un corps commutatif). Une telle structure possède une addition, et une multiplication par un scalaire définies comme au paragraphe précédent.

Il est possible de généraliser encore la définition d'un vecteur. Si un ensemble E possède une addition et une multiplication scalaire sur un corps commutatif et si ses opérations vérifient certaines propriétés, appelées axiomes et décrites dans l'article détaillé, alors E est appelé espace vectoriel et un élément de E vecteur.

De très nombreux exemples d'ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces de polynômes, de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, de matrices... Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire.

La notion de dimension fournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, il est possible, moyennant le choix d'une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taille n. Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie. L'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ est ainsi un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, de dimension infinie. Vue sous cet angle, une telle fonction est un vecteur.

Construction algébrique et géométrie[modifier | modifier le code]

Si les deux constructions, algébrique et géométrique sont équivalentes pour les structures vectorielles du plan et de l'espace usuel, la géométrie apporte en plus les notions de distance et d'angle.

La notion de produit scalaire permet de combler cette lacune. Un produit scalaire associe Ă  deux vecteurs un rĂ©el. Si les deux vecteurs sont identiques le rĂ©el est positif. Il existe un produit scalaire tel que la norme du vecteur soit Ă©gale Ă  la racine carrĂ©e du produit scalaire du vecteur avec lui-mĂŞme. La gĂ©omĂ©trie euclidienne apparait alors comme l'Ă©tude d'un espace affine comprenant un espace vectoriel de dimension deux ou trois sur le corps des rĂ©els, muni d'un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.

Une fois équipée d'un produit scalaire, il devient possible de définir sur l'espace vectoriel des transformations classiques de géométrie euclidienne comme la symétrie, la rotation ou la projection orthogonale. La transformation associée aux espaces vectoriels laisse toujours invariant le vecteur nul. Les rotations permettent de définir la notion d'angle pour les vecteurs. L'angle \scriptstyle (\widehat{\vec{u},\vec{v}}) est égal à \scriptstyle (\widehat{\vec{u'},\vec{v'}}) si et seulement s'il existe une rotation qui envoie \scriptstyle \vec{u} sur \scriptstyle \vec{u'} et \scriptstyle \vec{v} sur \scriptstyle \vec{v'}. Cette définition, qui s'applique à une formalisation algébrique de la notion d'espace vectoriel, est équivalente à celle de la construction géométrique. Une telle approche simplifie parfois grandement les démonstrations, un exemple est le théorème de Pythagore.

L'approche algébrique permet de définir toutes les notions de la géométrie euclidienne, elle généralise cette géométrie à une dimension quelconque si les nombres sont réels. Dans le cas des nombres complexes une construction analogue, appelée espace hermitien, existe.

Approche tensorielle[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire dans un système non orthonormé va faire apparaître deux types de projection (parallèle aux axes ou perpendiculairement) et donc deux types de coordonnées

Composantes covariantes d'un vecteur[modifier | modifier le code]

En effectuant le produit scalaire d'un vecteur x = x^{i}e_{i} par le vecteur de base e_{j}, on obtient la composante covariante de ce vecteur

x.e_{j} = (x^{i} e_{i}).e_{j} = x^{i} (e_{i}.e_{j}) x.e_{j} = x^{i}.g_{ij} = x_{j}

Avec g_{ij} = e_{i}.e_{j} , le tenseur métrique égal au produit scalaire des vecteurs de base (valant \delta{ij} lorsque la base est orthonormée).

Composantes contravariantes d'un vecteur[modifier | modifier le code]

Les composantes contravariantes sont les composantes du vecteur telles que x = x^{i} e_{i}

On note les composantes contravariantes par un indice supérieur, les composantes covariantes par un indice inférieur.

En multipliant les composantes contravariantes par le tenseur métrique, on obtient les composantes covariantes

x^{i} g_{ij} = x_{j}

Dans un système orthonormé les composantes covariantes et contravariantes sont identiques

Géométriquement pour un système quelconque, en projetant un vecteur \overline{OM} parallèlement aux axes, on obtient 2 points M' et M dont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées contravariantes du vecteur \overline{OM}=x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2}.

En projetant le même vecteur \overline{OM} perpendiculairement, on obtient 2 points m' et m dont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées covariantes du vecteur[33]

Utilisations des vecteurs[modifier | modifier le code]

Les exemples cités dans cet article sont relativement simples et didactiques. D'autres cas, plus généraux sont présentés dans les articles théorème spectral et algèbre linéaire.

Mathématiques[modifier | modifier le code]

Représentation graphique d'un point dans le plan complexe. Les coordonnées cartésiennes correspondent à celle d'un point dans le repère de centre zéro et de base les nombres un et l'unité imaginaire.

Une vaste partie des mathématiques utilise les vecteurs, en algèbre, en géométrie ou en analyse.

Un exemple archĂ©typal en algèbre est la rĂ©solution d'un système d'Ă©quations linĂ©aires. Un exemple de trois Ă©quations Ă  trois inconnues correspond Ă  la recherche des vecteurs de dimension trois, antĂ©cĂ©dents d'une application linĂ©aire d'un vecteur donnĂ©. Le plan euclidien peut aussi ĂŞtre confondu avec le plan complexe, le plan â„ť2 Ă©tant topologiquement Ă©quivalent au plan d'Argand â„‚. La base canonique est composĂ©e de deux vecteurs unitaires : l'unitĂ© des rĂ©els et l'unitĂ© imaginaire.

Les vecteurs offrent un outil efficace pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie. Ils sont utilisés pour la détermination de propriétés de parallélisme ou d'orthogonalité de droites, plan ou segments. À travers l'utilisation des coordonnées barycentriques, les vecteurs forment un outil adapté pour caractériser le centre d'une figure géométrique et permettent une démonstration simple du théorème de Leibniz, du théorème de Ceva comme de nombreux résultats sur la géométrie du triangles. Le produit scalaire, qui s'exprime particulièrement simplement dans une base orthonormée, offre de nombreuses possibilités. Il permet, par exemple, de mesurer la distance d'un point à une droite ou à un plan. Une telle base permet d'exprimer aussi simplement des transformations géométriques comme la projection orthogonale sur un plan ou une droite.

L'analyse n'est pas en reste. L'espace vectoriel ℝ2, copie du plan euclidien est le cadre naturel de représentation du graphe d'une fonction. Les vecteurs permettent par exemple de déterminer la droite perpendiculaire à une courbe en vue de déterminer les foyers d'une conique. La représentation graphique offre une solution pour déterminer une approximation d'une racine d'une équation dans le cas où une résolution par une méthode algébrique n'est pas connue[34].

Physique[modifier | modifier le code]

Articles dĂ©taillĂ©s : MĂ©canique du point et Force (physique).
La trajectoire des planètes se modélise dans un langage vectoriel. Les travaux d'Isaac Newton sur cette question sont à l'origine du mot vecteur.
En présence d'un champ magnétique, des petites boussoles s'orientent, indiquant la direction et le sens des vecteurs du champ.

La physique est à l'origine du terme de vecteur, elle utilise toujours largement ce concept. La raison historique provient du fait qu'en physique classique l'espace qui nous entoure est bien modélisé comme espace affine (géométrie euclidienne) de dimension trois avec le temps (absolu) comme paramètre d'évolution. En physique, une addition de vecteurs ne peut avoir de sens que si leurs coordonnées respectives ont la même dimension.

La position d'un point est dĂ©crite par des coordonnĂ©es dans un repère, mais sa vitesse et son accĂ©lĂ©ration sont des vecteurs. Pour Ă©tablir la mĂ©canique du point, c'est-Ă -dire l'Ă©tude des mouvements d'un point matĂ©riel, les vecteurs sont indispensables. La position d'un point se modĂ©lise par ses trois coordonnĂ©es (qui sont des nombres rĂ©els) dont chacune est une fonction du temps ; on peut aussi la dĂ©crire par le vecteur position allant de l'origine du repère au point : les composantes du vecteur sont alors identifiables aux coordonnĂ©es du point. Le vecteur vitesse est Ă©gal Ă  la dĂ©rivĂ©e du vecteur position (c'est-Ă -dire : les composantes du vecteur vitesse sont les dĂ©rivĂ©es de celles du vecteur position), et c'est encore un vecteur. Il en est de mĂŞme pour l'accĂ©lĂ©ration, correspondant Ă  la dĂ©rivĂ©e seconde.

Dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un point est proportionnelle à la force qui lui est appliquée. Une force est équivalente à un vecteur. La trajectoire d'une planète est connue par la force qui lui est appliquée à chaque instant. Cette force est la conséquence de la gravitation, essentiellement due au Soleil. Ce phénomène est décrit par la donnée du champ gravitationnel. Ce champ associe un vecteur proportionnel à la force de la gravitation à chaque point de l'espace.

Cette modélisation s'accommode plus difficilement de la relativité restreinte du fait que les changements de référentiels n'y dépendent pas linéairement de la vitesse, et elle ne concerne pas la relativité générale qui n'utilise pas d'espace euclidien (sauf pour des approximations). En physique quantique les coordonnées ne peuvent être celles d'une particule qu'en tenant compte du principe d'incertitude, et les forces sont dues à des échanges de particules.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Mathématiques[modifier | modifier le code]

Les applications linéaires sont des fonctions d'un espace vectoriel dans un autre et respectant l'addition et la multiplication externe. Elles s'additionnent et se multiplient scalairement, et disposent donc des propriétés qui font d'elles des champs de vecteurs. Il en est de même pour les matrices.

Les deux exemples précédents correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d'algèbre, ses éléments sont appelés souvent vecteurs et parfois points. Des exemples sont données par l'ensemble des polynômes à coefficients réels ou encore une algèbre de Lie.

Dans d'autres cas, la structure est appauvrie. Un module est une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.

Physique[modifier | modifier le code]

Selon le point d'application des forces, le solide bascule ou non. L'objet mathématique associé est un vecteur glissant.

Les lois établissant les mouvements d'un point s'appliquent aussi dans le cas d'un solide, les calculs deviennent néanmoins plus complexes[pertinence contestée]. Si les vecteurs restent omniprésents, le point d'application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de son centre de gravité. Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Un vecteur lié ou pointeur est un couple composé d'un vecteur et d'un point appelé point d'application. La rotation du solide est la conséquence d'une grandeur physique appelé moment. Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, un vecteur glissant est un couple composé d'un vecteur et d'une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est appelé vecteur libre[35].

Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom de torseur[36]. Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d'autres généralisations, on peut citer le tenseur ou le pseudovecteur.

Informatique[modifier | modifier le code]

Articles dĂ©taillĂ©s : Image vectorielle et tableau (structure de donnĂ©es).
Image vectorielle Image matricielle
Image vectorielle Image matricielle
Image vectorielle Image matricielle

L'informatique utilise le terme de vecteur, Ă  la fois pour des raisons gĂ©omĂ©triques et algĂ©briques. Le codage d'une image sur un Ă©cran d'ordinateur utilise au choix deux techniques : matricielle et vectorielle. La première utilise des Ă©lĂ©ments graphiques dĂ©finis point par point. Ă€ chaque pixel est associĂ© la quantitĂ© de couleurs primaires correspondante. Si cette mĂ©thode est Ă©conomique en termes de puissance de calcul, un agrandissement de la taille de l'image possède pour consĂ©quence un effet d'escalier.

Un dessin vectoriel est une représentation composée d'objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s'agit d'une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul mais dans laquelle l'effet d'escalier n'existe pas[37].

La représentation des données en informatique, pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d'octets. Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s'additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s'apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple des pointeurs ou des structures informatiques quelconques[38].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Ce problème provient du Papyrus Rhind Ă©tudiĂ© par Sylvia Couchoud dans son livre MathĂ©matiques Ă©gyptiennes. Recherches sur les connaissances mathĂ©matiques de l’Égypte pharaonique, Ă©ditions Le LĂ©opard d’Or 2004 (ISBN 2-863-777-118-3)
  2. ↑ Le texte d'Euclide est disponible en ligne par Gallica. Une analyse est donnée dans le livre de R. Mankiewicz
  3. ↑ Joseph Needham. Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press 1959 (ISBN 0521058015)
  4. ↑ J-C Martzloff, Chinese mathematical astronomy, H Selin and U D'Ambrosio Dordrecht pp 373-407 2000
  5. ↑ U Libbrecht Chinese mathematics in the thirteenth century : the Shu-shu chiu-chang of Ch'in Chiu-shao, Cambridge Massachusetts 1973
  6. ↑ Les informations sur les neuf chapitres ainsi qu'une version de ce texte se trouvent dans Chemla et Shuchun 2005.
  7. ↑ R. Calinger A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, New Jersey 1999 (ISBN 0-02318-2857)
  8. ↑ Al-Hajjaj traduit les ÉlĂ©ments au IXe siècle (cf J. L. Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam pp 70-71 Springer 1986)
  9. ↑ K. Chemla Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction, Arabic science and Philosophy, 4, n° 2, p207 266 1994
  10. ↑ Omar Khayyam A paper of Omar Khayyam Scripta Math. 26 p 323-337 1963
  11. ↑ G. C. Argan R. Wittkower Architecture et perspective chez Brunelleschi et Alberti Verdier 2004 (ISBN 2-86432-4210)
  12. ↑ Leon Battista Alberti De pictura 1425
  13. ↑ Piero della Francesca De la Perspective en Peinture traduction du toscan du De Prospectiva pingendi, introductions et notes. Avec une préface d’Hubert Damisch et une postface de Daniel Arasse. Paris, In Medias Res, 1998
  14. ↑ Giorgio Vasari Le Vite de più eccellenti pittori, scultori e architettori (Les Vies des meilleurs peintres, sculpteurs et architectes) 1550
  15. ↑ Galileo Galilei Discours et démonstrations concernant deux sciences nouvelles Elzevir Leyde Hollande 1638
  16. ↑ René Descartes La Dioptrique Hollande 1637 lire
  17. ↑ René Descartes La Géométrie, Hollande p 1 1637 lire
  18. ↑ Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica S. Pepys Londres 1687
  19. ↑ J. Simpson, E. Weiner The Oxford English Dictionary: 20 Volume Set, Clarendon Press Oxford 1989 ISBN 0-300-08919-8.
  20. ↑ J. Harris Lexicon Technicum Londres 1704
  21. ↑ Pierre-Simon de Laplace Traité de mécanique céleste Académie française 1799 et 1825 lire
  22. ↑ TLFI, Etymologie de VECTEUR
  23. ↑ Bernard Bolzano Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, 1804
  24. ↑ Jean-Victor Poncelet Traité des Propriétés Projectives des Figures, 1822 Réédition Jacques Gabay Paris, 1995
  25. ↑ Michel Chasles Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie Hayez, Bruxelles 1837
  26. ↑ August Ferdinand Möbius Der barycentrische CalcĂĽl : ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie Leipzig 1827
  27. ↑ Giusto Bellavitis Saggio di applicazione di un nuovo metodo di geometria analitica Annali. delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto. Vol 5, pp 244-259 1835
  28. ↑ T L Hankins Sir William Rowan Hamilton, Johns Hopkins University Press Baltimore 1980
  29. ↑ William Rowan Hamilton On quaternions, Royal Irish Academy Vol 3 pp 1-16 1847 lire
  30. ↑ Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale par A. Turbergue
  31. ↑ a, b et c Emil Artin, Algèbre géométrique, ed Calmann-Levy, chap.II
  32. ↑ A la place de l'appellation "composantes" certains emploient aussi "coordonnées", mais ce dernier terme empêche la différentiation entre l'unicité de la localisation des points, qui sont "fixes" dans un repère, et l'aspect "glissant" des composantes vectorielles, dû à la nature de classe d'équivalence et la multiplicités des représentants de chaque vecteur. Cf. Dictionnaire de Mathématiques Élémentaires, de Stella BARUK, éditions du Seuil.
  33. ↑ Le calcul tensoriel en physique, Jean Hladik et Pierre-Emmanuel Hladik, pp 16-17, 3eme édition, Dunod, Paris, 1999
  34. ↑ Ces divers exemples sont essentiellement issus des programmes de mathématiques du secondaire Le B.O. N°4 2001 mathématiques hors série page 69 pour la terminale et Le B.O. N°2 2001 mathématiques hors série page 34 pour la seconde.
  35. ↑ Le site Mathématiques pour la Physique et la Chimie réalisé par Université en ligne propose un exposé des définitions du paragraphe
  36. ↑ Torseur - Un cours minimal Généralisations de la notion de vecteur pour la physique, par l'IUT Léonard-de-Vinci de Reims, Yannick Remion 1995
  37. ↑ Comprendre l'image numérique: vectorielle et bitmap ... par le site Cuk 2004
  38. ↑ Memory as Vectors tiré du livre anglais Structure and Interpretation of Computer Programs de Abelson, H.; G.J. Sussman with J.Sussman 1996

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Références historiques[modifier | modifier le code]

  • R. Mankiewicz, L’histoire des mathĂ©matiques Seuil 2001 (ISBN 2-02048-3068)
    Cet ouvrage est généraliste et traite la période hellénistique et en particulier Euclide.
  • Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathĂ©matique de la Chine ancienne et ses commentaires [dĂ©tail de l’édition]
    Ce livre contient une traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire.
  • (en) J.V. Field The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance Oxford University Press 1997 (ISBN 0198523947)
    Ce texte montre comment les artistes de la renaissance produisent des mathématiques qui, non seulement révolutionnent leur métier mais contribuent aussi aux mathématiques pures.

Ouvrages de vulgarisation[modifier | modifier le code]

  • F. Casiro, A. Deledicq Pythagore et Thalès Les Ă©ditions du Kangourou 1998 (ISBN 2-87694-040-X)
    Ce texte est un ouvrage didactique sur les bases de la géométrie avec quelques éléments relatifs à l'histoire.
  • R. Pouzergues Les Hexamys IREM de Nice IremOuvrage 1993 Cote : IM8974 Lire
    Ce petit livre de 89 pages présente la géométrie projective. Il est disponible sur le net.
  • D. Lehmann et R. Bkouche Initiation Ă  la gĂ©omĂ©trie PUF 1988, (ISBN 2130401600)
    Ce livre de géométrie commence simplement. Il couvre ensuite l'utilisation d'outils plus sophistiqués comme les formes quadratiques. Il contient un Appendice historique.

Ouvrages techniques[modifier | modifier le code]

  • Y. Sortais La GĂ©omĂ©trie du triangle. Exercices rĂ©solus Hermann 1997, (ISBN 270561429X)
    Ce livre s'adresse essentiellement aux élèves de la seconde à la terminale, ainsi qu'à leur professeur. Il propose des exercices sur le théorème de Thalès, la projection orthogonale, l'homothétie, la symétrie et la rotation, le calcul barycentrique, le produit scalaire, ou encore la notion d'angle.
  • Y. Ladegaillerie GĂ©omĂ©trie pour le CAPES de mathĂ©matiques Ellipses Marketing 2002 (ISBN 2729811486)
    Ce livre traite de géométrie élémentaire au programme du CAPES. Il contient plus de 600 figures géométriques et couvre la géométrie affine euclidienne ainsi que l'algèbre linéaire élémentaire.
  • J. Perez MĂ©canique physique Masson 2007 (ISBN 2225553416)
    Ce livre est un cours de physique a l'usage de la licence, il couvre les notions de torseur, vecteur lié, glissant et libre.
  • M. B. Karbo Le graphisme et l'internet CompĂ©tence micro no 26 2002 (ISBN 2912954959)
    Ce livre traite à la fois des aspects pratiques comme la force et la faiblesse des différentes techniques, des différents logiciels et formats disponibles sur les marchés et des aspects théoriques
  • H. Abelson, G.J. Sussman, J.Sussman Structure and Interpretation of Computer Programs 2nd Edition MIT Press (ISBN 0262011530)
    Cet livre est disponible sur le Web. Il traite des aspects théoriques de la programmation et des structures vectorielles de stockage des informations
Cet article est reconnu comme « bon article Â» depuis sa version du 12 fĂ©vrier 2008 (comparer avec la version actuelle).
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