Transformée de Laplace - problèmes de résolution

Posté par Mizukage_Tobi Mizukage_Tobi

Bonsoir à toutes et à tous,

J'ai un exercice consistant à déterminer la transformée de Laplace de f(t) = sin(t) U(t-2)
Je ne sais pas comment faire, j'ai essayé de faire ceci mais je suis bloqué !

L(f(t)) = ₀sin(t) U(t-2) e^-stdt
L(f(t)) = ₀sin(t+2) U(t) e^-s(t+2)

Posté par PIL PIL

Salut,

Il faut chercher à appliquer le théorème du retard :"si L{U(t)f(t)} = F(s) alors  L{U(t-a)f(t-a)} = e^-as F(s)".
Pour cela tu écris :

         U(t-2)sin(t) = U(t-2)sin(t-2+2)
                      = U(t-2)[sin(t-2)cos(2) + sin(2)cos(t-2)]

Tu as ainsi une somme de 2 fonctions retardées et tu peux appliquer le théorème !

A toi !

Posté par LeZebre LeZebre

Bonsoir
Gros souci de notation tout d'abord : on note Lf(s) et pas Lf(t) car le résultat dépendra de s et pas de t qui est la variable d'intégration
Je veux bien t'aider, mais qui est U ?
PS : ton changement de variable est faux car ton intégrale irait de -2 à +oo, mais bon pour l'instant je ne vois pas son utilité

Posté par Mizukage_Tobi Mizukage_Tobi

U(t) est la fonction causale
Elle est nulle pour t<0 et vaut 1 pour t>=0

Posté par PIL PIL

Tu n'as pas beaucoup avancé depuis hier soir !                

Tu sais que  L{U(t)sin(t)} = 1/(s²+1);
donc
            L{U(t-2)sin(t-2)} = e^-2s/(s²+1)

et tu relis mon post d'hier.

Posté par Mizukage_Tobi Mizukage_Tobi

Merci Pil !

Donc L{sin(t)U(t-2)} = L{sin((t-2)+2)U(t-2)} = L{sin(t-2)cos(2)U(t-2) + cos(t-2)sin(2)U(t-2)}

* L{sin(t-2)U(t-2)} = 2 exp^-2s/ (s² + 4)
* L{cos(t-2)U(t-2)} = s exp^-2s/ (s² + 4)

Par contre, que faire de cos(2) et sin(2) ?  

Posté par PIL PIL

Salut,

Tu as : L{sin(t)U(t-2)} = L{sin(t-2)cos(2)U(t-2) + cos(t-2)sin(2)U(t-2)},
et comme cos(2) et sin(2) sont des nombres,

        ... = cos(2)L{sin(t-2)U(t-2)} + sin(2)L{cos(t-2)U(t-2)}

et là, attention tu te trompes :

        ... = cos(2)e^-2s/(s²+1) + sin(2)e^-2ss/(s²+1)  

        ...

Bon dimanche !