Fiche de mathématiques

Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien

agrégation : leçon 126 en Maths Générales

E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.

I.Endomorphismes normaux

Rappel Soit $f\in \mathcal{L}(E),\;\exists !\;f^*\in\mathcal{L}(E)/\forall\quad(x,y)\in E^2$
$<f(x),y>=<x,f^*(y)>$ $f^*$ est appelé l'adjoint de f.
Soit $B$ une base de $E$ si $Mat_B(f)=M$ alors $Mat_B(f^*)=^tM$

Proposition 1 ([M]p357-358)

$Ker(f^*)=(Im(f))^{\perp}$ et $Im(f^*)=(Ker(f))^{\perp}$
$F$ sev de $E$ , $F$ stable par $f$ alors $F^{\perp}$ stable par $f^*$

Définition 2 $f\in\mathcal{L}(E)$ est dit normal si $f^*\circ f=f\circ f^*$
$M\in M_n({\mathbb R})$ est dit normal si $^tMM=M^tM$

Proposition 3 ([G]p254) $f\in \mathcal{L}(E)$ normal ssi $||f(x)||=||f^*(x)||$

Théorème 4 ([C]p159) $f\in \mathcal{L}(E)$ normal ssi il existe une base $B$ de $E$ orthonormée telle que $f$ soit presque diagonale dans cette base.

$\begin{pmatrix}\lambda_1& & & & &\\ &\ddots& & & &\\ & &\lambda_r& & &\\ & & &\boxed{\rm {A_1}}& & \\ & & & &\ddots& \\& & & & &\boxed{\rm {A_s }}\end{pmatrix}$

Avec $\lambda_i\in\mathbb{R}$
Et $\rm{A_i}=\begin{pmatrix}a_i&-b_i\\b_1&a_i\end{pmatrix}$ $(a_i,b_i)\in\mathbb{R}^2$

Lemme 5 ([C]p157) Si $f$ endomorphisme normal, et si $F$ sous espace de $E$ stable par $f$ alors $F^{\perp}$ stable par $f$ .

II.Endomorphismes symétriques

Définition 6

$f$ est dit symétrique ou autoadjoint si $f^*=f$ .
$f$ est dit antisymétrique si $f^*=-f$

Exemple Si $f\in\mathcal{L}(E)$ , $fof^*$ est symétrique

Remarque Si $f$ symétrique, alors f est normal.
$\mathcal{L}(E)=Sym(E)\oplus\AA(E)$ avec
$Sym(E)=\lbrace f\in\mathcal{L}(E),f^*=f\rbrace$ et $\AA(E)=\lbrace f\in\mathcal{L}(E),f^*=-f\rbrace$

Proposition 7 ([G]p240) $f\in\mathcal{L}(E)$ autoadjoint ssi la matrice de $f$ dans une quelconque base orthonormée est symétrique.

Définition 8 $S_n(\mathbb{R})=\lbrace M\in M_n(\mathbb{R}),\:^tM=M\rbrace$
$M\in S_n(\mathbb{R})$ est dite positive si $\forall X\quad^tXMX\ge 0$
On note $S_n^+(\mathbb{R})$ l'ensemble des telles matrices.
$M\in S_n^+(\mathbb{R})$ est dite définie positive si $\forall\; X\neq 0\quad^tXMX>0$
On note $S_n^{++}(\mathbb{R})$ l'ensemble des telles matrices.

Exemple $\forall\;M\in M_n(\mathbb{R})\quad ^tMM\in\S_n^+(\mathbb{R})$
$\forall\;M\in GL_n(\mathbb{R})\quad ^tMM\in S_n^{++}(\mathbb{R})$

Proposition 9 ([M]p359) Soit $\psi:f\in Sym(E)\rightarrow \psi_f\in BL_S(E)$ tel que $\psi_f(x,y)=<f(x),y>$
$\psi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $Sym(E)$ vers $BL_S(E)$ l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.

Théorème 10 ([G]p240) Si $f\in Sym(E)$ alors il existe une base orthonormée $B$ de $E$ , formée de vecteurs propres pour $f$ .
Si $M\in S_n(\mathbb{R}),\exists\; C\in M_n(\mathbb{R}),\; C$ orthogonale telle que:

$^tCMC=^{-1}CMC$ soit diagonale

Corollaire 11 ([G]p241) Si $M\in S_n^{++}(\mathbb{R})$ , $N\in S_n^+(\mathbb{R})$ alors il existe $P\in GL_n(\mathbb{R})$ telle que

$^tPMP=I_n\mbox{ et } ^tPNP$ soit diagonale

Application Si $\Phi$ est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de $\Phi$ est diagonale.

Remarque On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4

III.Endomorphismes orthogonaux

Définition 12 $f\in \mathcal{L}(E)$ est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatres propositions équivalentes.

$f\circ f^*=f^*\circ f=Id_E$
$\forall (x,y)\in E^2\;<f(x),f(y)>=<x,y>$
$\forall \; x\in E ||f(x)||=||x||$
l'image par $f$ d'une base orthonormée est une base orthonormée.

On note $O(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui sont aussi appelés isométries de $E$ .

Remarque

$O(E)$ est un sous groupe de $GL(E)$
Si $f\in O(E)$ , $f$ est normal.
$M\in M_n(\mathbb{R})$ est dite orthogonale si $^tMM=I_n$

Exemples

Les symétries orthogonales sont des isométries
Les matrices de permutations sont des isométries
Les projections orthogonales ne sont pas des isométries

Proposition 13 ([G]p252-253) $f\in \mathcal{L}(E)$ est une isométrie ssi la matrice de f dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.

Remarque Si $f\in O(E)$ on a $(\det(f))^2=1$
On note $SO(E)=\lbrace f\in O(E),\; \det(f)=1\rbrace$ qui est un sous groupe distingué de $O(E)$
On définit de même $SO_n(\mathbb{R})=\lbrace M\in O_n(\mathbb{R}),\mbox{\det }M=1\rbrace$

Proposition 14 $O(E)$ et $SO(E)$ sont des sous groupes compacts de $GL(E)$

Proposition 15 ([G]p252-253)
Si $f\in O(E)$ il existe $B$ une base orthonormée telle que

$Mat_B(f)=\begin{pmatrix}I_p& & & &\\ &-I_q& & &\\ & &\boxed{R_1}& & \\ & & &\ddots& \\& & & &\boxed{R_s}\end{pmatrix}$

Avec $(p,q,s)\in \mathbb{N}^3/\quad p+q+2s=n$
$Ri=\begin{pmatrix} cos(\theta_i)&-sin(\theta_i)\\sin(\theta_i)&cos(\theta_i) \end{pmatrix}$
$0<\theta_1\le \ldots\le \theta_s<\pi$

Remarque $q$ pair $\Leftrightarrow \quad f\in SO(E)$

Application $SO_n(\mathbb{R})$ est connexe par arcs.

IV.Le groupe orthogonal

Théorème 16 ([MT]p18-19) Décomposition polaire
Soit $\phi:(O,S)\in O_n(\mathbb{R})\times S_n^{++}(\mathbb{R})\rightarrow OS\in GL_n(\mathbb{R})$ est un homéomorphisme.

Application ([A]p138-140)

$O_n(\mathbb{R})$ sous groupe compact de $GL_n(\mathbb{R})$
$SO_n(\mathbb{R})$ sous groupe compact maximal de $SL_n(\mathbb{R})$
$\forall\; M\in M_n(\mathbb{R})$ $d(M,O_n(\mathbb{R}))=||\sqrt{^tMM}-I_n||$

Corollaire 17 $\forall M \in GL_n(\mathbb{R}),\; \exists (\Omega_1,\Omega_2)\in(O_n(\mathbb{R}))^2$ et $D$ diagonale à valeurs propres réelles positives telles que $M=\Omega_1 D\Omega_2$

Proposition 18 ([C]p?) Décomposition d'Iwasawa
Si $M\in GL_n(\mathbb{R})$ alors il existe un unique couple $(O,T)$ avec $O$ orthogonale et $T$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que: $M=OT$

Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit $G$ un sous groupe compact de $GL_n(\mathbb{R})$ , il existe une structure euclidienne $G$ -invariante sur $\mathbb{R}^n$

Définition 18 $f\in \mathcal{L}(E)$ une symétrie orthogonale.
Si $dim(ker(f-Id_E))=n-1$ $f$ est appelé réflexion.
Si $dim(ker(f-Id_E))=n-2$ $f$ est appelé renversement.

Proposition 20 ([P]p142)

$Z(O_n(\mathbb{R}))=\lbrace \pm I_n\rbrace$
Si $n$ pair $Z(SO_n(\mathbb{R}))=\lbrace \pm I_n\rbrace$
Si $n$ impair $Z(SO_n(\mathbb{R}))=\lbrace I_n\rbrace$

Proposition 21 ([P]p143) $f\in O(E)$ est le produit d'au plus $n$ réflexions.

Corollaire 22 $f\in SO(E)$ est le produit d'un nombre pair de réflexions.

Proposition 23 ([P]p143) Pour $n\ge3\quad SO(E)$ est engendré par les renversements.

Application ([P]p148) $SO_3(\mathbb{R})$ est simple.

Proposition 24 (([P]p150)) Soit $\mathbb{P} SO_n(\mathbb{R})=SO_n(\mathbb{R})/Z(SO_n(\mathbb{R}))$ .
Alors pour $n=3$ et $n\ge 5$ $\mathbb{P} SO_n(\mathbb{R})$ est simple.

Proposition 25 ([P]p152) Tout automorphisme de $SO_3(\mathbb{R})$ est intérieur.

Remarque [P]

$SO_n(\mathbb{R})$ est le groupe dérivé de $O_n(\mathbb{R})$ et si $n>2$ c'est aussi celui de $SO_n(\mathbb{R})$ .
$D(SO_2(\mathbb{R}))=\lbrace I_2\rbrace$
$M\in O_2(\mathbb{R})$ alors $M=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ ou $M=\begin{pmatrix}-a&b\\b&a\end{pmatrix}$ avec $a^2+b^2=1$ .
$SO_2(\mathbb{R})$ est commutatif est isomorphe à $\mathbb{R}/2\pi\mathbb Z$
On peut noter que le groupe $O_3(\mathbb{R})$ est composé de:
$I_3$ , $-I_3$ , les rotations et les produits de 3 réflexions.

Proposition 26 ([MT]p125-127)

$SO_3(\mathbb{R})\approx \mathbb P^3 \mathbb{R}$
$\Pi_1(SO_3(\mathbb{R}))\approx\mathbb Z/2\mathbb Z$

Bibliographie

[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP^*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"