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Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien

agrégation : leçon 126 en Maths Générales

E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.

I.Endomorphismes normaux

Rappel Soit
est appelé l'adjoint de f.
Soit une base de si alors

Proposition 1 ([M]p357-358)

• et
• sev de , stable par alors stable par

Définition 2 est dit normal si
est dit normal si

Proposition 3 ([G]p254) normal ssi

Théorème 4 ([C]p159) normal ssi il existe une base de orthonormée telle que soit presque diagonale dans cette base.

Avec Et

Lemme 5 ([C]p157) Si endomorphisme normal, et si sous espace de stable par alors stable par .

II.Endomorphismes symétriques

Définition 6

• est dit symétrique ou autoadjoint si .
• est dit antisymétrique si

Exemple Si , est symétrique

Remarque Si symétrique, alors f est normal.
avec
et

Proposition 7 ([G]p240) autoadjoint ssi la matrice de dans une quelconque base orthonormée est symétrique.

Définition 8
est dite positive si
On note l'ensemble des telles matrices.
est dite définie positive si
On note l'ensemble des telles matrices.

Exemple


Proposition 9 ([M]p359) Soit tel que
est un isomorphisme d'espaces vectoriels de vers l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.

Théorème 10 ([G]p240) Si alors il existe une base orthonormée de , formée de vecteurs propres pour .
Si orthogonale telle que:
Corollaire 11 ([G]p241) Si , alors il existe telle que
Application Si est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de est diagonale.

Remarque On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4

III.Endomorphismes orthogonaux

Définition 12 est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatres propositions équivalentes.

• 
• 
• 
• l'image par d'une base orthonormée est une base orthonormée.

On note l'ensemble des endomorphismes de qui sont aussi appelés isométries de .

Remarque

• est un sous groupe de
• Si , est normal.
• est dite orthogonale si

Exemples

• Les symétries orthogonales sont des isométries
• Les matrices de permutations sont des isométries
• Les projections orthogonales ne sont pas des isométries

Proposition 13 ([G]p252-253) est une isométrie ssi la matrice de f dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.

Remarque Si on a
On note qui est un sous groupe distingué de
On définit de même

Proposition 14 et sont des sous groupes compacts de

Proposition 15 ([G]p252-253)
Si il existe une base orthonormée telle que

Avec

Remarque pair

Application est connexe par arcs.

IV.Le groupe orthogonal

Théorème 16 ([MT]p18-19) Décomposition polaire
Soit est un homéomorphisme.

Application ([A]p138-140)

• sous groupe compact de
• sous groupe compact maximal de
• 

Corollaire 17 et diagonale à valeurs propres réelles positives telles que

Proposition 18 ([C]p?) Décomposition d'Iwasawa
Si alors il existe un unique couple avec orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que:

Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit un sous groupe compact de , il existe une structure euclidienne -invariante sur

Définition 18 une symétrie orthogonale.
Si est appelé réflexion.
Si est appelé renversement.

Proposition 20 ([P]p142)

• 
• Si pair
• Si impair

Proposition 21 ([P]p143) est le produit d'au plus réflexions.

Corollaire 22 est le produit d'un nombre pair de réflexions.

Proposition 23 ([P]p143) Pour est engendré par les renversements.

Application ([P]p148) est simple.

Proposition 24 (([P]p150)) Soit .
Alors pour et est simple.

Proposition 25 ([P]p152) Tout automorphisme de est intérieur.

Remarque [P]

• est le groupe dérivé de et si c'est aussi celui de .
  
• alors ou avec .
• est commutatif est isomorphe à
• On peut noter que le groupe est composé de:
  , , les rotations et les produits de 3 réflexions.

Proposition 26 ([MT]p125-127)

• 
• 

Bibliographie

[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP^*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"


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