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Espérance conditionnelle et application en modélisation

agrégation : leçon 403 en option probabilité

0.Introduction

1) Filtrage de Kalman-Bucy

On dispose d'un mobile dont la trajectoire est régie par l'équation différentielle:

Cependant le mobile est soumis à desperturbations , et l'on ne dispose que de mesures discrètes portant sur la position du mobile:
où correpond au bruit perturbant l'appareil de mesure.
Finalement en discrétisant on obtient:


Le but va être de trouver deux estimateurs, l'un permettant de prédire à partir des premières observations, et l'autre d'estimer à l'aide des premières observations.

2) Standard téléphonique

On suppose que le temps d'attente à un standard téléphonique suit une loi , inconnue
On veut estimer à partir de la connaissance du temps d'attente de personnes.
On connait l'estimateur empirique , cependant on va chercher un estimateur qui soit optimal en ce sens qu'il sera de variance inférieure.

3) Sondage stratifié

On réalise un sondage, sur un échantillon représentatif de la population, à propos d'un referendum, et l'on classe les personnes interrogées selon classes distinctes.
Soit et la classe de la personne.
On peut observer que si l'on se restreint a l'une des 3 classes l'espérance de n'est plus la même.

On peut noter .
Et plus généralement si et sont deux variables aléatoires discrètes à valeurs respectives dans et .



Soit un espace de probabilité. une sous tribu.

I.Espérance conditionnelle

Définition: Soit , on appelle espérance conditionnelle de sachant , la projection de sur et on la note

Remarque:

• L'espérance conditionnelle minimise parmi les fonctions -mesurable.
• L'espérance conditionnelle même si elle est considérée comme une variable aléatoire n'est en fait définie que presque surement.

Théorème: Soit , alors il existe une variable aléatoire -mesurable vérifiant: et .
On note

Remarque: En particulier si est un représentant de l'espérance conditionnelle de sachant , vérifie,

Propriété: Si est une partition de , avec et .Soit alors .
De plus si et peut être choisi arbitrairement dans le cas contraire.

II.Propriétés

Premiers résultats:

• L'espérance conditionnelle possède les mêmes propriétes que l'espérance classique (linéarité, croissance monotone, lemme de Fatou, Cv dominé...)
• Si indépendante de alors
• Si est -mesurable et en particulier .

Exemple: Si sont des va iid et , on peut montrer que et .

Proposition Si , alors p.s.

Proposition: martingale associée à une filtration, alors à fixé,
.
De plus est constant.

Exemple: Urne de Polya, si correspond a la proportion de boule blanche à la k-ème étape.
Sachant que , on a qui est une martingale et

III.Filtre de Kalman-Bucy.

1) Vecteurs gaussiens

Définition: Si et sont deux vecteurs aléatoires on définit .

Proposition: Si et sont deux vecteurs gaussiens dans leur ensemble, de moyenne et et de matrices de covariances et .
Notons , et suppososns positive.
Alors .
Et la covariance de est .

Corollaire: Si sont trois vecteurs gaussiens dans leur ensemble et si et sont non corrélés, et ainsi que sont positives alors:

2)Application au filtre de Kalman-Bucy:

Pour cela on va supposer que tous nos vecteurs aléatoires sont des vecteurs gaussiens, que et sont indépendants de matrices de covariances et connues, et que est centré.
On pose .
Pour prédire à l'aide des premières observations on va poser et pour estimer par les premières observations on va poser .
On obtient par le théorème précédent une formule assez compliqué car il faut inverser une matrice de taile de plus en plus grande ce qui peut donc devenir très fastidieux. Il est donc très utile de donner des formules de récurrence qui permette d'alléger les calculs des prédictions et des matrices d'erreurs.
On va noter par la suite et
On a où et avec les conditions initiales
Et de la même manière on peut montrer que : où

Preuve: Posons , par indépendance de on obtient
(par indépendance de )
On a cela est évident par le fait que est indépendant de
Ainsi par le corollaire, on obtient que Or
Ainsi
Ainsi montrer la première partie de la récurrence revient à montrer que
Or étant indépendant de , on a .
et le résultat final en découle par indépendance des 3 termes.

Ce qui permet de simplifier les calculs car les matrices à inverser sont de tailles constantes et qu'il suffit de connaitres les résultats à une étape précédente pour pouvoir calculer la suivante.

IV.Exhaustivité

Loi conditionnelle: Soit et deux variables aléatoires telles que admette une densité de probabilité .
On peut considérer la fonction

Où
Ceci nous permet de calculer des espérances conditionneles, ainsi

Application à la file d'attente: Soit où
Alors on a
Et
Ainsi

Définition: Une sous-tribu est dites exhaustive pour le modèle statistique si pour toute variable aléatoire réelle positive sur , il existe une version de l'espérance conditionnlle qui ne dépendent pas de .
Une statistique est dite exhaustive si l'est.

Proposition: Si est un estimateur sans biais de de carré intégrable et si est une statistique exhaustive alors l'estimateur est un estimateur sans biais de de risque quadratique plus faible que celui de de .

Définition: est une statistique complète si pour tout fonction telle que


Propriétés: Si est un estimateur sans biais de , de carré in tégrable et une statistique exhaustive et complète, l'estimateur est alors l'unique estimateur sans biais fonction de et sa variance est inférieur ou égal à la variance de et est même plus faible que celle de tout estimater sans biais.
Il est uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais.

Application Dans le cas de la file d'attente, est une statistique exhaustive et complète.
Donc est un estimateur UVMB indépendant de

Bibliographie

[R]: D.Revuz "Probabilités"
[BMP]: Baldi-Mazliak-Priouret "Martingales et chaînes de Markov"
[DCD]: Dacunha Castelle Duflo "Probabilités et statistiques 1"
[W]: Williams "Probability with Martingales"
[B]: Brémaud "Introducton aux probabilités"
[S]: Saporta "Probabilité-Analyse des données et statistiques"
[Sh]: Sheldon Ross

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