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L'île des Mathématiques

CAPES 2005
Deuxième épreuve de mathématiques.
Algèbre et Géométrie

ce sujet a été proposé par Bruno Aebischer

Notations.

est un plan euclidien.

étant donnés deux points distincts et du plan , on note le segment privé de ses extrémités.

Si est un cercle de centre , de rayon , on appellera "intérieur du cercle " et on notera le disque ouvert, de centre , de rayon qui est limité par .
On a donc
De même, l'extérieur du cercle , noté est l'ensemble :

Recommandations importantes.

Les sept parties de ce problème sont très largement dépendantes. Il est recommandé de les traiter dans l'ordre, mais on pourra toujours admettre un résultat pour continuer le problème.

Dans ce problème, on demande plusieurs fois de proposer une construction géométrique d'une figure ou d'un élément d'une figure. Ceci signifie que l'on demande une suite d'instructions permettant de réaliser de façon théorique cette figure ou cet élément à l'aide de la règle et du compas. On réalisera effectivement cette construction dans une figure.
Cependant, on supposera connues, on ne détaillera pas et on pourra utiliser sans explication les constructions géométriques élémentaires classiques suivantes :

• tracé de la médiatrice ou du milieu d'un bipoint ;
• tracé du cercle passant par trois points non alignés ;
• tracé de la parallèle à une droite passant par un point donné ;
• tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point donné.

Partie I : Puissance d'un point par rapport à un cercle.

Soit un cercle de , de centre , de rayon .

1° Soit un point de , et soit une droite passant par et coupant en deux points et . On pose

Montrer que donc que ne dépend pas de la droite sécante .
(On pourra, introduire le point , projeté orthogonal de sur ).

Dans cette situation, on pose (quelle que soit la droite passant par et coupant en deux points) et on appelle cette quantité la puissance du point par rapport au cercle .

2° Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d'un point par rapport à un cercle et sa position dans le plan ?

3° Quelle est la puissance du centre d'un cercle par rapport à ce cercle ?

4° Soit un cercle et soit une droite passant par et tangente au cercle en un point .
Que peut-on dire du point si une telle droite existe ? est-elle unique ?
Montrer que .

5° Soient et deux cercles sécants en deux points et . Montrer que la droite est exactement l'ensemble de tous les points du plan qui vérifient la relation

6° Déterminer la nature de l'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux cercles lorsque ceux-ci ne sont pas forcément sécants. Que peut-on en dire si les deux cercles sont tangents ?

7° est rapporté à un repère orthonormal . Soit un cercle dont l'équation cartésienne dans le repère est .
Déterminer la puissance du point (origine du repère) par rapport à ce cercle.

Partie II : Construction d'une -droite.

Dans cette partie, est un cercle de centre et de rayon , et le disque ouvert limité par et et sont deux points distincts de .
Le but de cette partie est de montrer qu'en général, pour toute paire de points du disque ouvert , il y a existence et unicité, d'un cercle passant par et , et coupant en deux points diamétralement opposés, tout en proposant une construction géométrique de ce cercle .

1° On suppose que et sont situés sur un même diamètre du cercle . Montrer qu'aucun cercle passant par et ne rencontre en deux points diamétralement opposés. (On pourra calculer de deux manières la puissance de par rapport à un cercle qui passerait par et et qui couperait en deux points diamétralement opposés).

2° On suppose que et ne sont pas situés sur un même diamètre et que . Montrer dans ce cas l'existence et l'unicité d'un cercle qui passe par et et qui rencontre en deux points diamétralement opposés. Proposer une construction géométrique de ce cercle.

3° On suppose que et que et ne sont pas sur un même diamètre. On suppose qu'il existe un cercle , de centre , qui rencontre en deux points diamétralement opposés et .

a) Montrer que rencontre en un point unique .

b) Comparer et .

c) Soit un cercle quelconque passant par et et rencontrant en deux points et distincts. Comparer la puissance de par rapport aux cercles , et et en déduire que .

d) Lorsqu'on ne connaît pas le cercle , déduire de ce qui précède une construction géométrique du point , puis du cercle .

e) Justifier l'existence et l'unicité de .

4° Autre démonstration de l'existence et l'unicité de :
Dans cette question, le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormal et est le cercle de centre , de rayon .

a) Montrer qu'un cercle (distinct de ) rencontre en deux points diamétralement opposés si et seulement si .

b) En déduire une méthode analytique pour montrer l'existence et l'unicité de en en déterminant une équation cartésienne puis son centre. Comment, dans cette méthode, reconnaît-on que les coordonnées de et sont telles qu'on est dans le cas particulier étudié à la question 1°?

Partie III : Un problème de lieu géométrique.

Dans cette partie, est un cercle de centre , de rayon , et est un point distinct de , situé dans le disque ouvert limité par . Le but de cette partie est de déterminer le lieu des centres des cercles qui passent par et qui coupent selon deux points diamétralement opposés, puis d'en déduire une autre construction du cercle de la partie II.

1° Soit le diamètre de perpendiculaire à . Soit le cercle circonscrit au triangle , et son centre. Soit un point de la perpendiculaire à qui passe par . Soit le diamètre de qui est perpendiculaire à .

a) Montrer que pour .

b) En déduire que .

2° Montrer l'inclusion réciproque.

3° Déduire de cette étude une nouvelle construction géométrique du cercle qui passe par deux points et (non situés sur un même diamètre) du disque , et qui coupe en deux points diamétralement opposés.

Partie IV : Un "plan" étonnant.

On se place toujours dans un plan euclidien . On considère l'ensemble , qui est le disque ouvert limité par le cercle d'équation dans le repère orthonormal . On appelle -droite un sous-ensemble de qui est d'un des deux types suivants :

• soit c'est l'intersection de avec un cercle (distinct de ) qui passe par deux points diamétralement opposés de .
• soit c'est l'intersection de avec un diamètre de .

Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d'une -droite est le support de la -droite.

1° Justifier que par deux points distincts de passe une unique -droite.

L'unique -droite passant par les deux points distincts et de sera notée .

2° Deux -droites seront dites -parallèles lorsqu'elles sont confondues ou que leur intersection est vide.

a) Montrer que si les supports de deux -droites se coupent en deux points diamétralement opposés de , alors ces -droites sont -parallèles.

b) Soit une -droite dont le support est un diamètre de et soit une -droite dont le support est un cercle qui rencontre en deux points diamétralement opposés et (non confondus avec ou ).
En considérant la puissance de par rapport à , montrer que est intérieur au cercle puis que la -droite rencontre la -droite dont le support est en un point unique.

c) Montrer que si et sont deux cercles coupant en des couples différents de points diamétralement opposés respectivement pour , pour , alors et se coupent en deux points d'un diamètre de , dont un seul est dans (on pourra considérer des équations cartésiennes de ces cercles).

d) Montrer que si deux -droites non confondues sont -parallèles, alors leurs supports se coupent en deux points diamétralement opposés de .

e) Montrer que la relation de -parallélisme est une relation d'équivalence dans l'ensemble des -droites.

3° Montrer que si deux -droites ne sont pas -parallèles, alors leur intersection est un singleton.

4° Montrer qu'étant donnés un point de et une -droite , il existe une unique -droite qui est -parallèle à et qui passe par .

L'ensemble vérifie donc deux axiomes classiques d'incidence dans un plan affine.

Pour compléter l'étude de ce "plan", les parties suivantes vont montrer qu'il peut être mis en bijection avec un plan usuel.

Partie V : Grands cercles d'une sphère et droites d'un plan.

Dans cette partie, désigne le plan d'équation dans un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormal , et désigne le plan d'équation ; un repère orthonormal du plan est donc .

désigne la sphère unité, d'équation cartésienne , et désigne le sous-ensemble de formé des points dont la troisième coordonnée dans le repère est strictement positive.

On rappelle qu'un grand cercle d'une sphère est l'intersection d'un plan passant par le centre de la sphère avec cette sphère. désigne le cercle du plan qui a pour centre et pour rayon . est donc aussi un grand cercle de .

1° Montrer que l'intersection de deux grands cercles non confondus de consiste toujours en deux points diamétralement opposés pour .

2° Soit un plan passant par , distinct de . Quelle est l'intersection de avec ? Et avec ? Et avec ?

3° Montrer qu'on définit correctement une application entre et en associant à chaque point de le point d'intersection de la droite avec . Montrer que est une bijection entre et .

4° Montrer que l'image d'une droite affine de par est un "demi-grand-cercle" de . Définir avec précision cette notion de "demi-grand-cercle".
Caractériser analytiquement l'image par d'une droite d'équations cartésiennes dans :

Partie VI : Une autre correspondance entre sphère et plan.

Les notations sont les mêmes que dans la partie V. désigne la sphère privée de son "pôle sud", c'est-à-dire du point de coordonnées .

1° Montrer qu'on définit correctement une application entre et en associant à chaque point de le point d'intersection de la droite avec . est-elle bijective ?

2° Soit un point de de coordonnées (dans ). Déterminer en fonction de les coordonnées de .

3° Soit un point de de coordonnées dans . Déterminer en fonction de les coordonnées de l'antécédent éventuel de par .

4° Montrer qu'un grand cercle de peut être caractérisé par un système d'équations du type

5° Montrer que l'image par d'un grand cercle de ne passant pas par est un cercle de . Quelle est l'image par de l'intersection avec d'un grand cercle de passant par ?

6° Soit un grand cercle de et soit . Que peut-on dire de l'intersection de avec ?

7° On appelle la restriction de à . Montrer que réalise une bijection de vers le disque ouvert limité par .

8° Montrer que l'image d'un "demi-grand-cercle" (voir V.3°) par est une -droite (voir partie IV).

Partie VII : Synthèse et Application.

Les notations sont celles des parties précédentes.

1° Démontrer l'existence d'une bijection du plan affine vers l'ensemble induisant une bijection entre l'ensemble des droites de et l'ensemble des -droites et conservant le parallélisme (en ce sens que deux droites parallèles de sont transformées en deux -droites -parallèles).

2° Donner des formules analytiques de , c'est-à-dire un système exprimant les coordonnées dans le repère de l'image d'un point en fonction de ses coordonnées dans .

3° Inverser le système précédent pour obtenir en fonction des coordonnées d'un point celles de .

4° Voici une Définition du -milieu de deux points de .

Soient et deux points de . Soit un point quelconque de , non situé sur . On considère le point , intersection de la -droite qui passe par et qui est -parallèle à et de la -droite qui passe par et qui est -parallèle à . On appelle -milieu de la paire le point intersection des -droites et .

En utilisant la bijection , démontrer que cette définition est correcte : on vérifiera que les -droites et ne sont pas -parallèles, et que cette définition ne dépend pas du point arbitrairement choisi.

5° Soit le point de de coordonnées et le point de coordonnées . Donner une construction géométrique détaillée du -milieu de (On fera une figure en prenant 8cm comme unité).

6° Donner les coordonnées des points , et . En déduire les coordonnées de dans le repère .

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