On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
A l'aide de la figure ci-contre, on a :
Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.
Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :
Définition
1) Le produit scalaire de deux vecteurs et non nuls est le réel , noté ( ou ) définie par :
si ou alors
On appelle carré scalaire et on note le produit scalaire
2) En notant et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :
Calcul
Quels que soient les vecteurs et les réels et :
a) b) c) d) e)
orthogonalité :
vecteur normal :
Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur vecteur directeur de D.
Application à l'analyse
Soient un repére orthonormal , et . On a :
coordonnée d'un vecteur normal :
Soit D la droite d'équation dans un repère orthonormal .
Alors est normal à D
théoréme d'Al Kashi
Soit ABC un triangle quelconque .
On a :
théoréme de la médiane
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .
On a :
Dans chaque cas , déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :
a)
L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]
b)
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A
c) (1)
En introduisant I milieu de [AB] :
(1)
Comme I est le milieu de [AB] , donc
De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , On en déduit :
soit :
Il advient :
(1)
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]
d) pour tout a positif (2)
On introduit le milieu I du segment [AB] :
(2)
Si , l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
Si , (2) L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre Si , l'ensemble des points M est réduit au point I.
e) pour tout a réel. (3) même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
(3) En utilisant l'identité remarquable :
Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
(3)
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) telle que HI = .