Fiche de mathématiques

Produit Scalaire : Rappels et Applications

I. Définition du produit scalaire

Définition

1) Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls est le réel, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (ou $\langle \vec{u},\vec{v}\rangle$ ) défini par :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})$
Si $\vec{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\vec{v}=\overrightarrow{0}$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
On appelle carré scalaire et on note $\vec{u}^{2}$ le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{u}$

2) En notant $\vec{u}=\overrightarrow{IA} ,\hspace{10pt} \vec{v}=\overrightarrow{IB}$ et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IH} = \left \lbrace \begin{array}{l} IA \times IH \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ ont le même sens } \\ -IA \times IH \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ sont de sens contraire }\\ \end{array} \right.$

II. Calcul

Quels que soient les vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ et les réels $\alpha$ et $\beta$ :
a) $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
b) $(\alpha\vec{u}) \cdot (\beta\vec{v}) = \alpha\beta(\vec{u}\cdot\vec{v})$
c) $\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+ \vec{w}\right) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$
d) $(\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}$
e) $(\vec{u}+\vec{v})\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}$

III. Orthogonalité

$\vec{u}\perp\vec{v}\Longleftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=0$

IV. Vecteur normal

Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.

V. Application à l'analyse

Soient un repére orthonormal , $\vec{u}\left(x_{u}\\y_{u}\right)$ et $\vec{v}\left(x_{v}\\y_{v}\right)$ . On a :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}$

VI. Coordonnée d'un vecteur normal

Soit D la droite d'équation $ax+by+c=0$ dans un repère orthonormal .
Alors $\overrightarrow{n}(a,b)$ est normal à D

VII. Théoréme d'Al Kashi

Soit ABC un triangle quelconque .
On a :
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\times AC\times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\times AC\times \cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\times BC\times \cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$

VIII. Théoréme de la médiane

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .
On a :
$AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}$

IX. Aire d'un triangle

$\text{Aire}(ABC) = \frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin(\widehat{A})$

X. Applications

Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :

a) $MA-MB=0$
$\Longleftrightarrow MA=MB$
L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]

b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=0$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AM}$
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A

c) $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \hspace{5pt}$ ₍₁₎
En introduisant I milieu de [AB] :
₍₁₎ $\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=0$
$\Longleftrightarrow MI^{2}+\overrightarrow{MI}\cdot\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=0$
Comme I est le milieu de [AB] , $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{MI}\cdot\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)=0$
De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , $cos(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB})=-1$
On en déduit :
$\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=-||\overrightarrow{IA}||\times||\overrightarrow{IB}||$
soit :
$\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=-\frac{AB^{2}}{4}$
Il advient :
₍₁₎ $\Longleftrightarrow MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}=0$
$\Longleftrightarrow MI^{2}=\frac{AB^{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow MI=\frac{1}{2}AB$
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]

d) $MA^{2}+MB^{2}=a$ pour tout a positif ₍₂₎
On introduit le milieu I du segment [AB] :
₍₂₎ $\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a$
$\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}+2\overrightarrow{MI}\cdot(\underb{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}_{=\overrightarrow{0}})+IA^{2}+IB^{2}=a$
$\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}+IA^{2}+IB^{2}=a$
$\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}=a-IA^{2}-IB^{2}$

Si $a-IA^{2}-IB^{2}<0$ , l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
Si $a-IA^{2}-IB^{2}>0$ , ₍₂₎ $\Longleftrightarrow MI=\sqrt{\frac{a-IA^{2}-IB^{2}}{2}}$
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre $\sqrt{\frac{a-IA^{2}-IB^{2}}{2}}$
Si $a-IA^{2}-IB^{2}=0$ , l'ensemble des points M est réduit au point I.

e) $MA^{2}-MB^{2}=a$ pour tout a réel. ₍₃₎
Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
₍₃₎ $\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a$
En utilisant l'identité remarquable $\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$ :
$\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=a$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=a$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=\frac{a}{2}$
Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
₍₃₎ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}$
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) telle que HI = $\displaystyle \frac{|a|}{2 BA}$ .

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