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Fiche de mathématiques







I. Définition du produit scalaire

Définition
1) Le produit scalaire de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} non nuls est le réel, noté \vec{u} \cdot \vec{v} (ou \langle \vec{u},\vec{v}\rangle) défini par :
        \vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})
Si \vec{u}=\overrightarrow{0} ou \vec{v}=\overrightarrow{0} alors \vec{u}\cdot\vec{v}=0
On appelle carré scalaire et on note \vec{u}^{2} le produit scalaire \vec{u}\cdot\vec{u}

2) En notant \vec{u}=\overrightarrow{IA} ,\hspace{10pt} \vec{v}=\overrightarrow{IB} et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :
\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IH} = \left \lbrace \begin{array}{l} IA \times IH  \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ ont le même sens } \\ -IA \times IH  \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ sont de sens contraire }\\ \end{array} \right.




II. Calcul

Quels que soient les vecteurs \vec{u},\vec{v},\vec{w} et les réels \alpha et \beta :
a) \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}
b) (\alpha\vec{u}) \cdot (\beta\vec{v}) = \alpha\beta(\vec{u}\cdot\vec{v})
c) \vec{u}\cdot\left(\vec{v}+ \vec{w}\right) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}
d) (\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}
e) (\vec{u}+\vec{v})\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}


III. Orthogonalité

\vec{u}\perp\vec{v}\Longleftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=0


IV. Vecteur normal

Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.


V. Application à l'analyse

Soient un repére orthonormal , \vec{u}\left(x_{u}\\y_{u}\right) et \vec{v}\left(x_{v}\\y_{v}\right) . On a :
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}


VI. Coordonnée d'un vecteur normal

Soit D la droite d'équation ax+by+c=0 dans un repère orthonormal .
Alors \overrightarrow{n}(a,b) est normal à D


VII. Théoréme d'Al Kashi

Soit ABC un triangle quelconque .
On a :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\times AC\times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})
AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\times AC\times \cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\times BC\times \cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})


VIII. Théoréme de la médiane

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .
On a :
AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}


IX. Aire d'un triangle

\text{Aire}(ABC) = \frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin(\widehat{A})


X. Applications

Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :

a)MA-MB=0
\Longleftrightarrow MA=MB
L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]

b)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=0
\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AM}
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A

c)\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \hspace{5pt}(1)
En introduisant I milieu de [AB] :
(1)\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=0
\Longleftrightarrow MI^{2}+\overrightarrow{MI}\cdot\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=0
Comme I est le milieu de [AB] , \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0} donc \overrightarrow{MI}\cdot\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)=0
De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , cos(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB})=-1
On en déduit :
\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=-||\overrightarrow{IA}||\times||\overrightarrow{IB}||
soit :
\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}=-\frac{AB^{2}}{4}
Il advient :
(1)\Longleftrightarrow  MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}=0
\Longleftrightarrow MI^{2}=\frac{AB^{2}}{4}
\Longleftrightarrow MI=\frac{1}{2}AB
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]

d)MA^{2}+MB^{2}=a pour tout a positif (2)
On introduit le milieu I du segment [AB] :
(2)\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a
\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}+2\overrightarrow{MI}\cdot(\underb{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}_{=\overrightarrow{0}})+IA^{2}+IB^{2}=a
\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}+IA^{2}+IB^{2}=a
\Longleftrightarrow \rm 2MI^{2}=a-IA^{2}-IB^{2}

* Si a-IA^{2}-IB^{2}<0, l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
* Si a-IA^{2}-IB^{2}>0, (2)\Longleftrightarrow MI=\sqrt{\frac{a-IA^{2}-IB^{2}}{2}}
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre \sqrt{\frac{a-IA^{2}-IB^{2}}{2}}
* Si a-IA^{2}-IB^{2}=0, l'ensemble des points M est réduit au point I.


e)MA^{2}-MB^{2}=a pour tout a réel. (3)
Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
(3)\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a
En utilisant l'identité remarquable \vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) :
\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=a
\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=a
\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=\frac{a}{2}
Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
(3)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) telle que HI = \displaystyle \frac{|a|}{2 BA}.




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