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Produit Scalaire

I. Définition du produit scalaire

On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
A l'aide de la figure ci-contre, on a :

Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :

Définition

1) Le produit scalaire de deux vecteurs et non nuls est le réel , noté ( ou ) définie par :


si ou alors

On appelle carré scalaire et on note le produit scalaire

2) En notant et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :

Calcul

Quels que soient les vecteurs et les réels et :
a)
b)
c)
d)
e)

orthogonalité :

vecteur normal :

Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur vecteur directeur de D.

Application à l'analyse

Soient un repére orthonormal , et . On a :

coordonnée d'un vecteur normal :

Soit D la droite d'équation dans un repère orthonormal .
Alors est normal à D

théoréme d'Al Kashi

Soit ABC un triangle quelconque .
On a :

théoréme de la médiane

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .
On a :

Aire d'un triangle :

Applications

Dans chaque cas , déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :

a)


L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]

b)


L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A

c) ₍₁₎

En introduisant I milieu de [AB] :
₍₁₎


Comme I est le milieu de [AB] , donc

De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre ,
On en déduit :

soit :


Il advient :
₍₁₎



L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]

d) pour tout a positif ₍₂₎

On introduit le milieu I du segment [AB] :
₍₂₎

Si , l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
Si , ₍₂₎
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre
Si , l'ensemble des points M est réduit au point I.

e) pour tout a réel. ₍₃₎
même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
₍₃₎
En utilisant l'identité remarquable :




Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
₍₃₎

L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) telle que HI = .
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