Fiche de mathématiques
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Produit Scalaire : Rappels et Applications

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Fiche relue en 2016.

Remarque : cette fiche récapitule divers résultats et définitions concernant le produit scalaire dans le plan. Certains résultats peuvent très bien ne pas avoir été étudiés dans le programme actuel, mais sont à disposition de tous ceux qui désirent avoir quelques prolongements.


I. Définition du produit scalaire

Définition
1) Le produit scalaire de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} non nuls est le réel, noté \vec{u} \cdot \vec{v} (ou \langle \vec{u},\vec{v}\rangle) défini par :
        \vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})
Si \vec{u}=\overrightarrow{0} ou \vec{v}=\overrightarrow{0} alors \vec{u}\cdot\vec{v}=0
On appelle carré scalaire et on note \vec{u}^{2} le produit scalaire \vec{u}\cdot\vec{u}

2) En notant \vec{u}=\overrightarrow{IA} ,\hspace{10pt} \vec{v}=\overrightarrow{IB} et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :
\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IH} = \left \lbrace \begin{array}{l} IA \times IH  \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ ont le même sens } \\ -IA \times IH  \text{ si } \overrightarrow{IA} \text{ et } \overrightarrow{IH} \text{ sont de sens contraire }\\ \end{array} \right.



Suivant les choix pédagogiques, il peut être pris une autre définition du produit scalaire :
\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left[||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right]




II. Calcul

Quels que soient les vecteurs \vec{u},\vec{v},\vec{w} et les réels \alpha et \beta :
a) \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}
b) (\alpha\vec{u}) \cdot (\beta\vec{v}) = \alpha\beta(\vec{u}\cdot\vec{v})
c) \vec{u}\cdot\left(\vec{v}+ \vec{w}\right) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}
d) (\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}
e) (\vec{u}+\vec{v})\cdot\left(\vec{u}-\vec{v}\right)=\vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}


III. Orthogonalité

\vec{u}\perp\vec{v}\Longleftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=0


IV. Vecteur normal

Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.


V. Application à l'analyse

Soient un repére orthonormal , \vec{u}\left(x_{u}\\y_{u}\right) et \vec{v}\left(x_{v}\\y_{v}\right) . On a :
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}


VI. Coordonnée d'un vecteur normal

Soit D la droite d'équation ax+by+c=0 dans un repère orthonormal .
Alors \overrightarrow{n}(a,b) est normal à D


VII. Théoréme d'Al Kashi

Soit ABC un triangle quelconque .
On a :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\times AC\times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})
AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\times AC\times \cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\times BC\times \cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})


VIII. Théoréme de la médiane

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] .
On a :
AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}


IX. Aire d'un triangle

\text{Aire}(ABC) = \frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin(\widehat{A})


X. Applications

Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :

a)MA-MB=0
\Longleftrightarrow MA=MB
L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]

b)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=0
\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AM}
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A

c)\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \;.(1)
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow M=A \text{ ou } M=B \text{ ou } \widehat{AMB}=90°
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]

Une autre démonstartion peut être proposée, en introduisant I milieu de [AB] :
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\vec{IB})=0
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=0
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Longleftrightarrow MI^2-IA^2=0
(1)\Longleftrightarrow IM=IA
On obtient bien-entendu la même conclusion : l'ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon IA.


d)MA^{2}+MB^{2}=a pour tout a positif (2)
On introduit le milieu I du segment [AB] :
MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})^2
En développant les doubles-produits se neutralisent et on obtient : MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
MA^2+MB^2=a \Longleftrightarrow 2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}=a
(2)\Longleftrightarrow MI^2=\dfrac{2a-AB^2}{4}

Si \dfrac{2a-AB^2}{4}<0, l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
Si \dfrac{2a-AB^2}{4}>0, (2)\Longleftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{2a-AB^2}{4}}
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de rayon \sqrt{\dfrac{2a-AB^2}{4}}
Si a\dfrac{2a-AB^2}{4}=0, l'ensemble des points M est réduit au point I.


e)MA^{2}-MB^{2}=a pour tout a réel. (3)
Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
(3)\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2}=a
En utilisant l'identité remarquable \vec{u}^{2}-\vec{v}^{2}=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) :
\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=a
\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=a
\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}=\frac{a}{2}
Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
(3)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}
L'ensemble des points M tels que MA^2-MB^2= a est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H de (AB) tel que \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HI}= \displaystyle \frac{a}{2}
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