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Fiche de mathématiques






I. Événements

On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté U.
(dans l'exemple, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).

1. Événement

Définition
C'est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.C'est une partie A de U.

Exemple : le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair : A = {2, 4, 6}.

2. Événement élémentaire

Définition
C'est l'événement constitué d'un seul résultat. C'est un singleton.

Exemple : Les événements élémentaires du jet d'un dé sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

3. Intersection de deux événements A et B

Définition
C'est l'événement constitué des résultats communs aux événements A et B. C'est la partie A\capB.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre pair et B à l'obtention d'un multiple de 3, alors :
A\capB = {6}.

Remarque : repérer les « et » dans le texte. Ils caractérisent l'intersection.

4. Evénements incompatibles (ou disjoints)

Définition
Deux événements sont incompatibles si ils n'ont aucun résultat en commun, ce qui correspond à A\capB = Ø.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et B à l'obtention d'un multiple de 4, alors A et B sont incompatibles.

5. Réunion de deux événements

Définition

C'est l'événement constitué des résultats de l'événement A ou de l'événement B. C'est la partie A\cupB.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair et B à l'obtention d'un numéro supérieur ou égal à 3, alors : A\cupB = {2, 3, 4, 5, 6}.

Remarques :
* Ne pas confondre A\cupB, caractérisé par « ou », et A\capB, caractérisé par « et ».
* A\cupB contient A\capB.

6. Événement contraire de A

Définition
C'est l'événement constitué des résultats n'appartenant pas à A.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair, alors l'événement contraire de A est :
{1, 3, 5} (obtention d'un numéro impair).


II. Probabilités

Lors d'une expérience, on cherche à mesurer par un réel la chance d'obtenir telle ou telle propriété caractérisant un événement. Lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois, ce réel peut être la fréquence de l'événement.

1. Définition

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires composant A.
On note p(A) cette probabilité.

Exemple : Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et si tous les numéros ont la même chance d'apparaître, alors :
p(A) = p({1}) + p({3}) + p({5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

2. Propriétés

Propriété 1
p(\emptyset)= 0, p(U) = 1 et pour tout événement, 0\lep(A)\le1.

Remarque : Ne jamais écrire une probabilité plus grande que 1.
Propriété 2
Si A et B sont incompatibles, alors p(A\cupB) = p(A) + p(B).

Remarques :
* Cette propriété entraîne que si A\inC, alors p(A)\lep(C).
* Si A et B sont incompatibles lorsque l'appartenance à A\cupB se traduit par l'appartenance à A « ou bien » à B.
Propriété 3
Si A et B sont quelconques, alors : p(A\cupB)= p(A) + p(B) - p(A\capB).

Propriété 4
p(événement contraire de A) = 1 - p(A).



3. Équiprobabilité

Définition
On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Remarque :
Cela correspond à une expérience où n'intervient que le hasard (dé non pipé, boules indiscernables,...).

Propriété :
Dans le cas d'équiprobabilité p(A) =(nombre de résultats dans A) / (nombre total de résultats).

Remarque :
Avant d'appliquer cette formule, ne pas oublier de signaler l'équiprobabilité et l'expression du texte qui la justifie.




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