Fiche de mathématiques

Agronomiques - Vétérinaires
Session 2006

MATHEMATIQUES B
Durée 3h30
L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les trois parties du problème sont indépendantes si, pour traiter la partie III, on admet le lemme II. 4.

Objectifs :
L'objectif du problème est l'étude de l'efficacité d'un traitement T destiné à éradiquer une population de cellules indésirables. Pour tester T on agit comme suit :
1) On prélève une cellule unique C₀ à laquelle on applique T, ce qui a pour effet de partager C₀ en un nombre naturel aléatoire D₁ de cellule(s) identique(s) à C₀ que l'on appelera enfant(s) de C₀ ou descendant(s) de première génération de C₀ lorsque D₁ > 0 ; si D₁ = 0 (ce que l'on souhaite), le traitement est terminé.
2) Lorsque C₀ a k enfants, avec k $\geq$ 1, on leur applique à chacun le traitement T et leur comportement sera le même que celui de C₀ et ceci indépendamment les uns des autres lorsque k > 1.
3) A l'issue de cette deuxième étape, on obtiendra un nombre naturel aléatoire D₂ de descendant(s) de deuxième génération. Si D₂ = 0 on s'arrête, sinon, on poursuit dans les mêmes conditions et, pour n $\geq$ 1, on notera D_n le nombre de descendants de n-ième génération tant que D_n > 0.
Remarque (*) : les cellules de (n+1)-ième génération de C₀ sont celles de n-ième génération des enfants de C₀.

Notations :

On notera conventionnellement D₀ = 1.

On notera p_k = P[D₁ = k], pour $k\in\mathbb{N}$ . (p_k représente donc pour une cellule quelconque C la probabilité d'avoir k enfants, étant entendu qu'on utilisera la même variable aléatoire pour toutes les cellules sauf en cas d'ambigüité). On supposera bien entendu : 0 < p₀ < 1 et on aura $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} p_k = 1$

On notera $\forall{n}\in\mathbb{N}$ , u_n = P[D_n = 0]. Lorsque lim u_n = 1, c'est-à-dire lorsqu'avec la probabilité 1 la descendance de C₀ s'éteint au bout d'un nombre fini de générations on dira que T est efficace. On désignera par G le nombre aléatoire de générations de descendants de C₀. Ainsi :
si C₀ n'a pas d'enfant (D₁ = 0), alors G = 0 ;
si D₁ > 0 et D₂ = 0, alors G = 1 ;
si, d'une façon générale, pour un entier p $\geq$ 1, D_{p - 1} > 0 et D_p = 0, alors G = p - 1.
On notera E(X) l'espérance d'une variable aléatoire réelle X. Pour deux événements A et B avec P(B) non nul, P[A|B] désignera la probabilité conditionnelle de A sachant B.

I. Un premier exemple

I. 1. La loi de D₁ est définie par p₀ > 0 et p₁ > 0 tels que p₀ + p₁ = 1.
I. 1. a) Calculer u₀ et u₁. Montrer que pour tout n $\geq$ 0, D_n ne peut prendre que les valeurs 0 et 1.
I. 1. b) Montrer que s'il existe n > 0 tel que D_n = 0, alors pour tout entier k supegal

0 D_n+k = 0.

I. 2. a) Montrer que $\forall{n} \in \mathbb{N} \, , \, \text{P}[\text{D}_{n+1} = 0] = \text{P}[\text{D}_{n+1}=0|\text{D}_{1}=0]p_0 + \text{P}[\text{D}_{n+1}=0|\text{D}_{1}=1]p_1$ , puis, en utilisant la remarque (*) montrer que : $\forall{n} \in \mathbb{N} \, , \, \text{P}[\text{D}_{n+1}=0|\text{D}_{1}=1] = u_n \text{ et que } u_{n+1} = p_0 + p_{1}u_n$ .
I. 2. b) En posant v_n = 1 - u_n, montrer que u_n = 1 - (p₁)ⁿ et en déduire lim u_n.
I. 2. c) Montrer que P[G > n] = 1 - u_n+1 = (p₁)ⁿ⁺¹puis que P[G = n] = p₀(p₁)ⁿ et enfin que E(G) = p₁/p₀.

II. Un deuxième exemple

II. 1. La loi de D₁ est définie par p₀, p₁, p₂ avec p₀ > 0, p₂ > 0 et p₀ + p₁ + p₂ = 1.
II. 1. a) Montrer que pour $0 \leq k \leq 2 \, , \, \forall{n} \in \mathbb{N} \: : \: \text{P}[\text{D}_{n+1} = 0|D_1 = k] = (u_n)^k$ . On utilisera notamment la remarque (*). En déduire que :
$\forall{n} \in \mathbb{N} \, , \, \text{P}[\text{D}_{n+1} = 0] = \displaystyle \sum_{k=0}^{2} \text{P}[\text{D}_{n+1} = 0|_{1}=k] p_k = p_0 + p_{1}u_n +p_{2}u_{n}^{2}$ .

II. 2. Soit $f$ la fonction de [0 , 1] dans $\mathbb{R}$ définie par $x$ fleche2

$f(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2$
II. 2. a) Vérifier que $f > 0 \, , \, f' \geq 0 \, , \, f^{\prim \prim} > 0 \, , \, f(1) = 1 \, , \, f'(1) = 1 - p_0 + p_2$ .
II. 2. b) Représenter le graphe de $f$ dans les trois cas suivants : $f'(1) < 1 \, , \, f'(1) = 1 \, , \, f'(1) > 1$ . (On choisira des valeurs simples de p₀, p₁, p₂ pour chaque cas).
II. 2. c) Vérifier par le calcul que
i) pour $f'(1) < 1$ , le graphe de $f$ est au dessus de la première bissectrice $\Delta \: : \: (y = x)$ ;
ii) pour $f'(1) = 1$ , le graphe de $f$ est tangent à $\Delta$ au point I(1 , 1) ;
iii) pour $f'(1) > 1$ , le graphe de $f$ recoupe $\Delta$ au point L(p₀/p₂ , p₀/p₂).
II. 2. d) Montrer que la suite de terme général u_n est strictement croissante et majorée par : min(p₀/p₂ ; 1).
II. 2. e) En déduire la limite de la suite de terme général u_n dans les différents cas envisagés.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le traitement soit efficace (c'est-à-dire $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 1$ ).

II. 3. Examen des différents cas.
II. 3. a) Cas où $f'(1) < 1$
Démontrer que pour tout entier naturel n, $1 - u_{n+1} \leq (1 - u_n)f'(1)$ , puis que $\forall n \in \mathbb{N} \, , \, 1 - u_n \leq (1 - u_0)[f'(1)]^n$ .
II. 3. b) On s'intéresse au cas où $f'(1) = 1$ .
Montrer que : $\forall{n} \in \mathbb{N} \, , \, \frac{1}{1 - u_{n+1}} - \frac{1}{1 - u_n} = \frac{p_0}{p_{1} + p_{0}(1+u_n)} \le 1$
En déduire que : $\forall{n} \in \mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{1-u_{k+1}} - \frac{1}{1-u_k}\right) = \frac{1}{1-u_n} - 1 \le n$
puis que $\forall n \in \mathbb{N} \, , \, 1 - u_n \ge \frac{1}{n+1}$
II. 3. c) Montrer que $\text{E}(\text{D}_1) = f'(1)$ et que P[G > n] = 1 - u_n+1 = P[D_n+1 different

0].

II. 4. Lemme : soit X une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ ayant une espérance E(X).
II. 4. 1. Montrer que : $\forall{N} \geq 1 \, , \, \displaystyle \sum_{k=1}^{N}k \text{P}[X = k] = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \text{P} [X > k] - NP[X > N]$ .
On pourra utiliser : $\text{P}[X = k] = \text{P}[X > k - 1] - \text{P}[X > k]$ .

II. 4. 2. Montrer que pour tout $\forall N \geq 1 \, , \, NP[X > N] \leq R_N$ où $R_N = \displaystyle \sum_{k=N+1}^{+\infty} k \text{P}[X = k]$ est le reste de la série convergente $\sum k\text{P}[X = k]$ dont la somme est $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} k\text{P}[X = k] = E(X)$ .
II. 4. 3. En déduire que $N\text{P}[X > N]$ tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini, puis que $E(X) = \displaystyle \sum_{N=0}^{+\infty} P[X > N]$ .

II. 5. Déduire de ce qui précède que :
- si $f'(1) < 1$ , alors $E(G) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(1 - u_n) \leq \frac{f'(1)}{1 - f'(1)}$ ;
- si $f'(1) = 1$ , alors G n'a pas d'espérance (on utilisera le fait que la série de terme général $\frac{1}{n+1}$ est divergente).

III. Etude du cas où D₁ prend une infinité de valeurs

III. 1. Soit D₁ une variable aléatoire définie par : pour tout entier naturel k, $\text{P}[\text{D}_1 = k] = pq^k$ , où $p > 0 \, , \, q > 0 \text{ et } p + q = 1$ .
III. 1. a) Montrer que, pour tout entier naturel k, $\text{P}[\text{D}_{n+1} = 0|\text{D}_1 = k] = (u_n)^k$ , puis que :
$u_{n+1} = \text{P}[\text{D}_{n+1} = 0] = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} pq^{k}u_{n}^{k} = \frac{p}{1 - qu_{n}}$
III. 1. b) Etudier la fonction g définie par : $\text{g} \: : \: x$ fleche2

$\text{g}(x) = \frac{p}{1 - qx} \, , \, x \in [0 \, , \,1]$ et vérifier les propriétés suivantes de g : g > 0, g' > 0, g" > 0, g(1) = 1, et g'(1) = q/p.
III. 1. c) Montrer que dans $\mathbb{R}$ , l'équation $\text{g}(x) = x$ admet les deux solutions 1 et p/q. En déduire que la limite éventuelle de u_n ne peut être que 1 ou p/q.
III. 1. d) Montrer que (u_n) est une suite croissante qui converge vers min(1 ; p/q).

III. 2. Expression de u_n en fonction de n.
III. 2. a) On suppose ici que p different

q. On pose : $v_n = \frac{1-u_{n}}{\frac{p}{q}-u_n}$ . Montrer que : $v_n = \left(\frac{q}{p}\right)^{n+1}$ ,
puis que : $u_n = \frac{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^n}{1 - \left(\frac{q}{p}\right)^{n+1}}$ et retrouver ainsi le résultat de 1. d).
III. 2. b) On suppose que p = q = 1/2. Montrer que : $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ . On pose $w_n = \frac{1}{1 - u_n}$ .
Exprimer w_n+1 en fonction de w_n. En déduire que w_n = n + 1, puis que : $u_n = \frac{n}{n+1}$ , et retrouver ainsi le résultat de 1. d).
III. 2. c) Calculer E(D₁), vérifier qu'elle est égale à g'(1) et montrer que T est efficace ssi E(D₁) infegal

1.
III. 2. d) On suppose g'(1) < 1. Calculer 1 - u_n et montrer que : $1 - u_n \leq \left(\frac{q}{p}\right)^n = \left[g'(1)\right]^n$ .
En déduire que : $E(G) \leq \frac{g'(1)}{1 - g(1)}$
III. 2. e) On suppose g'(1) = 1 (p = q). Montrer que $1 - u_n = \frac{1}{n+1}$ et en déduire que G n'a pas d'espérance.

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