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Fiche de mathématiques

   
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Concours de l'Ecole Nationale de l'Aviation Civile - Ingénieurs
Session 1992 (Option MP)

Epreuve optionnelle de Mathématiques (Algèbre) : Durée : 4h
L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur, il le signale sur sa copie
et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K avec K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}.
On appelle projecteur de E tout endomorphisme f de E qui vérifie f \circ f = f
On se propose d'étudier quelques propriétés des projecteurs de E.

Première partie :

On se donne un projecteur f de E et on se propose de démontrer quelques propriétés élémentaires de f.
1. Montrer que E = \text{ Ker } f \oplus \text{ Im } f.
2. Que peut-on dire de la restriction de f à \text{ Im }f ?
3. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E on a : f^{-1}(A) = (A \cap \text{ Im } f) \oplus \text{ Ker } f.
4. Montrer qu'un sous-espace vectoriel de E est stable par f si et seulement si il est somme d'un sous-espace vectoriel du noyau de f et d'un sous-espace vectoriel de l'image de f.

Deuxième partie :

On recherche ici d'autres caractéristiques des projecteurs de E.
1. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que f est un projecteur de E si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels A et B de E tels que : \lbrace {E = A \oplus B \atop \forall x \in A, f(x)=0 \\ \forall x \in B, f(x)=x}
On dira alors que f est la projection sur B parallèlement à A.
2. Soit f un endomorphisme de E. I désigne l'application identique de E. Montrer que I-f est un projecteur de E si et seulement si f en est un. Comparer le noyau et l'image de I-f à ceux de f.
3. Soit f et g deux endomorphismes de E. Montrer que f et g sont deux projecteurs de même image si et seulement si f \circ g = g et g \circ f = f. Donner de même une condition nécessaire et suffisante pour que f et g soient deux projecteurs de même noyaux.

Troisième partie :

On se donne deux projecteurs f et g de E. On se propose d'étudier les propriétés de f \circ g, \, g \circ f \text{ et } f + g.
1. Montrer que si f \circ g = g \circ f on a : E = (\text{ Im } f \cap \text{ Im } g)\oplus (\text{ Im } f \cap \text{ Ker }g) \oplus (\text{ Ker } f \cap \text{ Im } g) \oplus (\text{ Ker } f \cap \text{ Ker } g). Que peut-on dire alors du produit f \circ g ?
2. Montrer que f \circ g = g \circ f si et seulement si il existe une décomposition de E en somme directe de quatre sous-espaces vectoriels A, \, B, \, C, \, D tels que f soit la projection sur A + B parallèlement à C + D et g la projection sur A + C parallèlement à B + D.
3. Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
      i) f + g est aussi un projecteur de E.
      ii) f \circ g = -g \circ f.
      iii) f \circ g = g \circ f = 0.
Quels sont alors le noyau et l'image de f + g ?

Quatrième partie :

On suppose dans cette partie que E est de dimension finie n.
A. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que la trace de la matrice carrée d'ordre n associée à f est indépendante de la base utilisée. Cette trace dite alors trace de f est notée \tr(f). Quelle relation y-a-t-il entre la trace de f et le rang de f si f est un projecteur ?

B. On considère k projecteurs f_1, \, f_2, \, \cdots, \, f_k de E et on note f leur somme : f = \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_i.
  1. Montrer que si f est aussi un projecteur alors l'image de f est la somme directe des images des f_i pour i allant de 1 à k.
  2. Montrer que f est un projecteur si et seulement si on a f_i \circ f_j = 0 pour tout couple (i,j) tel que i \not = j, 1 \leq i \leq k et 1\leq j \leq k.

C. On suppose que f et g sont deux endomorphismes de E de rang 1. Montrer que si f et g sont deux projecteurs tels que f \circ g = g \circ f alors f = g ou f \circ g = g \circ f = 0.

Cinquième partie :

On revient au cas général où E n'est pas forcement de dimension finie.
1. Montrer que si f est un endomorphisme de E et g un projecteur de E, on a : \text{ Ker } f \circ g = \text{ Ker } g \oplus (\text{ Ker } f \cap \text{ Im } g)
2. Montrer que si f est un projecteur de E et g un endomorphisme quelconque de E, on a : \text{ Im } f \circ g = \text{ Im }f \cap (\text{ Im }g + \text{ Ker } f).
3. Etant donné deux projecteurs f et g de E, montrer que f \circ g est aussi un projecteur de E si et seulement si : \text{ Im } f \cap (\text{ Im } g + \text{ Ker } f) \subset \text{ Im } g \oplus (\text{ Ker } f \cap \text{ Ker } g).

Sixième partie :

On suppose dans cette partie que E est de dimension 3.
f,g étant deux projecteurs de rang 1 de E. Donner les conditions sur les positions relatives des noyaux et des images de f et g qui sont nécessaires et suffisantes pour que f \circ g soit aussi un projecteur. Determiner dans ces conditions le noyau et l'image de f \circ g et g \circ f.
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