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L'île des Mathématiques

Concours de l'Ecole Nationale de l'Aviation Civile - Ingénieurs
Session 1992 (Option MP)

Epreuve optionnelle de Mathématiques (Algèbre) : Durée : 4h
L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur, il le signale sur sa copie
et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit un espace vectoriel sur un corps avec .
On appelle projecteur de tout endomorphisme de qui vérifie
On se propose d'étudier quelques propriétés des projecteurs de .

Première partie :

On se donne un projecteur de et on se propose de démontrer quelques propriétés élémentaires de .
1. Montrer que .
2. Que peut-on dire de la restriction de à ?
3. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel de on a : .
4. Montrer qu'un sous-espace vectoriel de est stable par si et seulement si il est somme d'un sous-espace vectoriel du noyau de et d'un sous-espace vectoriel de l'image de .

Deuxième partie :

On recherche ici d'autres caractéristiques des projecteurs de .
1. Soit un endomorphisme de . Montrer que est un projecteur de si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels et de tels que :
On dira alors que est la projection sur parallèlement à .
2. Soit un endomorphisme de . désigne l'application identique de . Montrer que est un projecteur de si et seulement si en est un. Comparer le noyau et l'image de à ceux de .
3. Soit et deux endomorphismes de . Montrer que et sont deux projecteurs de même image si et seulement si et . Donner de même une condition nécessaire et suffisante pour que et soient deux projecteurs de même noyaux.

Troisième partie :

On se donne deux projecteurs et de . On se propose d'étudier les propriétés de .
1. Montrer que si on a : . Que peut-on dire alors du produit ?
2. Montrer que si et seulement si il existe une décomposition de en somme directe de quatre sous-espaces vectoriels tels que soit la projection sur parallèlement à et la projection sur parallèlement à .
3. Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
      i) est aussi un projecteur de .
      ii) .
      iii) .
Quels sont alors le noyau et l'image de ?

Quatrième partie :

On suppose dans cette partie que est de dimension finie .
A. Soit un endomorphisme de . Montrer que la trace de la matrice carrée d'ordre associée à est indépendante de la base utilisée. Cette trace dite alors trace de est notée . Quelle relation y-a-t-il entre la trace de et le rang de si est un projecteur ?

B. On considère projecteurs de et on note leur somme : .
  1. Montrer que si est aussi un projecteur alors l'image de est la somme directe des images des pour allant de 1 à .
  2. Montrer que est un projecteur si et seulement si on a pour tout couple tel que , et .

C. On suppose que et sont deux endomorphismes de de rang 1. Montrer que si et sont deux projecteurs tels que alors ou .

Cinquième partie :

On revient au cas général où n'est pas forcement de dimension finie.
1. Montrer que si est un endomorphisme de et un projecteur de , on a :
2. Montrer que si est un projecteur de et un endomorphisme quelconque de , on a : .
3. Etant donné deux projecteurs et de , montrer que est aussi un projecteur de si et seulement si : .

Sixième partie :

On suppose dans cette partie que est de dimension 3.
étant deux projecteurs de rang 1 de . Donner les conditions sur les positions relatives des noyaux et des images de et qui sont nécessaires et suffisantes pour que soit aussi un projecteur. Determiner dans ces conditions le noyau et l'image de et .

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