Fiche de mathématiques

Concours Mines - Ponts
Filière MP
Concours d'admission 2008
Seconde épreuve

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Support de la transformation de Radon

Notations de géométrie

Dans tout le problème, on se place dans le plan affine $\mathscr{P}$ , muni d'un repère orthonormé direct $(O,e_1,e_2)$ et de la norme euclidienne, notée $||\rm{ }||$ . On notera $(x_1,x_2)$ les coordonnées dans ce repère d'un élément $x \in \mathscr{P}$ . L'application $x \in \mathcal{P} \mapsto (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$ permettra d'identifier le plan affine $\mathscr{P}$ et l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ . On introduit les notations suivantes :
$\overset{°}B(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P}, ||x - y|| < r \rbrace \\ B(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P} , || x - y || \leq r \rbrace \\ S(x,r) = \lbrace y \in \mathscr{P},||x - y|| = r \rbrace .$
Soit $\theta \in [0 , 2\pi [,$ on note
$u_\theta = \cos(\theta)e_1 + \sin(\theta)e_2$ et , $v_{\theta} = -\sin \theta e_1 + \cos \theta e_2$ .
Pour tout $\varphi \in [0 , 2\pi[$ , on note $\text{Rot}_{\varpho}$ la rotation de centre O et d'angle $\varphi$ . Ainsi,
$\text{Rot}_{\theta} e_1 = u_\theta\\ x + R u_{\theta} = (x_1 + R \cos \theta , x_2 + R \sin \theta).$
Concours Les Mines filière MP Deuxième épreuve 2008 - supérieur : image 1

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Figure 1 - Notations

A toute droite affine $D$ ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple $(p , \theta)$ où $p \in \mathbb{R}^+$ et $\theta \in [0 , 2\pi[$ sont tels que
$D = \lbrace pu_\theta + tv_\theta , t \in \mathbb{R} \rbrace$
Si $D$ passe par l'origine, on lui associera l'unique couple $(0,\theta)$ qui convienne avec $\theta \in [0 , \pi[$ . On appelle $p$ et $\theta$ les paramètres de la droite $D$ .

Notations d'analyse

Pour $X = \mathbb{R}$ ou $X = \mathbb{R}^2$ et $f$ fonction de $X$ dans $\mathbb{R}$ , on appelle support de $f$ , noté $\text{supp } f$ , l'adhérence de l'enemble des points où $f$ est non nulle. Pour $X = \mathbb{R}$ ou $X = \mathbb{R}^2$ , on note $\mathscr{C}_K^1(X;\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions $f$ de $X$ dans $\mathbb{R}$ , de classe $\mathcal{C}^1$ sur $X$ , à support compact : il existe $M > 0$ , dépendant de $f$ , avec $f(x) = 0$ si $||x|| > M$ , où $||x|| = |x|$ si $X = \mathbb{R}$ . En d'autres termes, $\text{supp }f \subset B(O,M)$ si $X = \mathbb{R}^2$ et $supp {f} \subset [-M , M]$ si $X = \mathbb{R}$ . On notera que de telles fonctions sont bornées et on posera
$||f||_\infty = \displaystyle \sup_{x\in X} |f(x)|$
Pour les fonctions de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ , si $x = (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$ , on utilisera, selon le contexte, la notation $f(x)$ ou la notation $f(x_1,x_2)$ pour représenter l'image de $x$ par $f$ .
Pour $f \in \mathcal{C}_K^1(\mathbb{R} ; \mathbb{R})$ , il existe $M$ tel que $\text{supp } f \subset [-M , M]$ et alors
$\displaystyle \int_{-M}^M f(x) dx = \displaystyle \int_{-J}^J f(x) dx$ , dès que $J \ge M$
On note $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(x)dx$ la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle contenant le support de $f$ .
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour $f \in \mathcal{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R})$ , on remarque que
$\displaystyle \iint_{B(O,M)} f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = \displaystyle \iint_J f(x_1,x_2) dx_1 dx_2$
pour tout compact $J$ qui contient $B(O,M)$ où $M$ est tel que $\text{supp } f \subset B(O,M)$ . On note
$\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x_1,x_2) dx_1 dx_2$ cette valeur commune.

Définition 1.

On dit qu'une fonction $f~:~\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est radiale lorsque pour tout $\varphi \in [0,2\pi[, f \circ \text{Rot}_{\varphi} = f$ .

Pour $h~:~\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ , continue, nulle en dehors d'un intervalle $[0,M]$ , on pose
$Lh(x) = \displaystyle \int_x^{+\infty} \dfrac{h(v)}{\sqrt{v-x}}dv$ .
On admet que $Lh$ est continue, nulle en dehors de $[0,M]$ et que $L(Lh)$ est dérivable avec $(L(Lh))'=-\pi h \, \, (1)$

I. Un peu de géométrie

1. Soit $f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R})$ . Montrer que si $f$ est radiale, il existe $F \in \mathcscr{C}_K^1(\mathbb{R}^+;\mathbb{R})$ telle que $f(x) = F(||x||),$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2$ .

2. Soit $f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R});$ pour $x \in \mathbb{R}^2$ , on considère la fonction
$\begin{array}{crcl} T_{f,x} : & \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & (y , \varphi) & \mapsto & f(x + \text{Rot}_{\varphi}(y)) \\ \end{array}$
Montrer que la fonction $T_{f,x}(y,\varphi)$ est continue sur $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$ et que tout pour $y \in \mathbb{R}^2$ , la fonction $\varphi \mapsto T_{f,x}(y,\varphi)$ est $2\pi-\text{périodique}.$

3. Montrer que la fonction $\tau_{f,x}~:~ y \mapsto \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int T_{f,x}(y, \varphi) d\varphi$ est radiale.

4. Soit $x \in \mathbb{R}^2$ , que l'on écrit $x = ||x|| u_{\varphi}$ où $\varphi$ appartient à $[0,2\pi[$ . Soit $\varphi \in [0,2\pi[$ et $\theta \in [0,2\pi[$ . Montrer que l'ensemble
$D_{x,\varphi} = \lbrace x + \text{Rot}_{\varphi}(pu_\theta + tv_\theta),t\in\mathbb{R}\rbrace$
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de $||x||,~ \psi, ~\varphi, ~p \text{ et } \theta$ .
On pourra commencer par étudier $D_{O,\varphi}$

II. Lemme préparatoire

Soit $A > 0$ , on note $Q_A$ l'ensemble
$Q_A = \lbrace (x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+ , R > ||x|| + A \rbrace$
L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.

Lemme 1.

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ~,~ f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R})$ telle que pour tout $(x , R) \in Q_A$ ,
$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x_1 + R \cos(\theta) , x_2 + R\sin(\theta)) d\theta = 0 \, \, (2)$ ,
alors $f$ est nulle sur le complémentaire de $B(O,A)$ .

Concours Les Mines filière MP Deuxième épreuve 2008 - supérieur : image 2

Figure 2 - $(x,R) \in Q_A$

5. Soit $f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R})$ . Soit $(x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+$ . Montrer que les applications
$V_i : x_i \mapsto \displaystyle \int_0^R f(x_1 + r \cos \theta , x_2 + r \sin \theta) r \, dr \, , \, i = 1,2 \\ W_i : x_i \mapsto \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^R f(x_1 + r\cos\theta , x_2 + r\sin\theta)r \, dr \, d\theta, \, i = 1 , 2$
sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et calculer leur dérivée.

6. Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $\mathcal{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R})$ et soit $(x,R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+$ . En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
$\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^R \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x_1}(x+ru_\theta)-\dfrac{\partial P}{\partial x_2}(x+ru\theta)\right)r~dr~d\theta \\ = \displaystyle \int_0^{2\pi} P(x+Ru\theta)(-R\sin\theta )d\theta + \int_0^{2\pi}Q(x+Ru_\theta)R\cos\theta d\theta$
Dans les questions 7. à 13., on suppose que $f$ vérifie les hypothèses du lemme.

7. Établir, pour tout $(x,R) \in Q_A$ , les deux identités suivantes :
$\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(y_1,y_2)dy_1~dy_2 = \iint_{\mathbb{R}^2}f(x_1+z_1,x_2+z_2)dz_1~dz_2\\ \hspace{45pt} = \displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^Rf(x_1+r\cos\theta,x_2+r\sin\theta)r~dr~d\theta$

8. Soit $R > A$ . Montrer que $W_1$ et $W_2$ sont constantes sur $\overset{°}B(O,R-A)$ et établir, pour tout $x \in \overset{°}B(O,R-A)$ , les relations :
$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)\cos\theta d\theta=0 \, (3)\\ \text{ et } \\ \displaystyle \int_0^{2\pi} f(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)\sin\theta d\theta=0 \, \, (4)$
Pour $i=1,2$ , on introduit les fonctions suivantes :
$\begin{array}{rcl} y_i f : \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ y = (y_1,y_2) & \mapsto & y_if(y)\\ \end{array}$
Plus généralement, pour une fonction $g$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , on note $g(y_i)f$ la fonction définie par :
$\begin{array}{rcl} g(y_i)f : \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}\\ y = (y_1,y_2) & \mapsto & g(y_i)f(y) \\ \end{array}$

9. Montrer que $y_1f$ et $y_2f$ satisfont les hypothèses du lemme.

10. Soit $(x,R)\in Q_A$ . Montrer, pour tous les entiers $k$ et $l$ , l'identité suivante :
$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x+Ru_\theta)\cos^k\theta\sin^l\theta ~d\theta=0 \, \, (5)$
On pourra raisonner par récurrence sur $n=k+l$ .

11. Soit $(x,R)\in Q_A$ . En déduire, pour tout entier $n$ , les identités :
$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x+Ru_\theta)\cos(n\theta)~d\theta=0$ et $\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x+Ru_\theta)\sin(n\theta)~d\theta=0$ .

12. Établir, pour tout $(x,R)\in Q_A$ , que
$\displaystyle \int_0^{2\pi}f^2(x_1+R\cos\theta,x_2+R\sin\theta)~d\theta=0$

13. Prouver le lemme.

III. Théorème de support

Définition 2.

Pour $f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2 ; \mathbb{R})$ , on pose
$\widehat{f}(\theta,p) = \displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(pu_\theta+tv_\theta)dt$ pour $\theta\in[0,2\pi[, \quad p\ge 0$ .

On veut montrer le théorème de support suivant :

Théorème 1.

Soit $f \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{R})$ . Si il existe $A > 0$ tel que $\widehat{f}(\theta,p)=0$ pour $p > A$ quel que soit $\theta$ alors $f(x) = 0$ pour $||x|| >A$ .

Soit $f$ une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les question 14. à 16. que $f$ est radiale. Soit $F \in \mathscr{C}_K^1(\mathbb{R}^+;\mathbb{R})$ telle que $f(x)=F(||x||)$ .

14. Montrer, pour tout $\theta \in [0,2\pi[$ et pour tout $p \ge 0$ , les identités suivantes :
$\widehat{f}(\theta,p)=\widehat{f}(0,p) = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty}F(\sqrt{p^2+t^2})dt$

15. Etablir, pour tout $v > 0$ , l'identité
$\widehat{f}(0,\sqrt{v}) = \displaystyle \int_v^{+\infty}F(\sqrt{u})(u-v)^{-1/2}du$

16. En déduire que $F$ est nulle sur $]A,+\infty[$ .
On ne suppose plus que $f$ est radiale. Soit $x$ un élément quelconque de $\mathbb{R}^2$ .

17. Etablir, pour tout $(\theta,p)$ , l'identité
$\widehat{\tau_{f,x}}(\theta,p) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} \displaystyle \int_{\mathbb{R}}T_{f,x}(pu_\theta+tv_\theta,\varphi)~dt~d\varphi$

18. Montrer pour tout $\theta \in [0,2\pi[$ , la propriété :
$\widehat{\tau_{f,x}}(\theta,p)=0$ pour $p > A+||x||$ .

19. Quel est géométriquement, l'ensemble $\lbrace x+ \text{Rot}_\varphi (y),\varphi\in[0,2\pi]\rbrace$ ? Que signifie géométriquement la condition $||y||>A+||x||$ ?

20. Prouver le théorème.

Merci à puisea

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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