L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Concours commun SUP 2007
des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes.
Epreuve de mathématiques (toutes filières)

Instructions générales :
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Durée de l'épreuve : 4 heures.

 Premier problème

Pour tout on définit : et

Partie A - Généralités

1. Prouver que et sont sur et que pour tout .
2. Montrer que est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté ) est dérivable en 0.
3. Faire un tableau de variations de sur , en faire un graphe sachant que à 10^-2 près.
4. Soit la primitive sur de , s'annulant en 1 :
      a) Calculer H.
      b) En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit un entier naturel. On introduit l'équation , d'inconnue .
      a) En utilisant la question 3., montrer que a une unique solution dans ]0,1[, que l'on notera . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que admet une unique solution dans , que l'on notera .
      b) Montrer que les suites et sont monotones.
      c) Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite ? En déduire leurs limites.

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur par le point de coordonnées :

6. Déterminer les valeurs de pour lesquelles se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne .
7. Etudier la limite de la pente de la droite lorsque tend vers et .
8. En utilisant la question 3., faire un tableau de variation de et sur avec limites aux bornes et .
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que à 10^-2 près.

Partie C - Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant à en posant .
10. Montrer que l'application ainsi prolongée est de classe sur ; préciser et montrer que l'égalité de la question 1. reste valable pour .
11. Soit , on note : , et
      a) Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que .
      b) En séparant l'intégrale en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout ,
      c) En déduire que est négligeable devant au voisinage de ainsi qu'un équivalent de au voisinage de .
12. Résoudre sur l'équation différentielle (E) : , l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction .

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application solution de (E) : cette fois sur , de classe sur . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des à partir de l'équation (E).
13. Que vaut ?
14. En dérivant (E), calculer et .
15. Peut-on avoir y de la forme avec ?
16. Soit n un entier naturel.
      a) On suppose ici . Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout :

En déduire une relation de récurrence entre et .
      b) Donner une expression de utilisant une factorielle, valable pour tout ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de à tout ordre au voisinage de 0.

 Deuxième problème

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et le vecteur nul. est muni d'un repère orthonormal direct , toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si et on pourra noter et .
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : et

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout , on introduit le point de caractérisé dans par les coordonnées :

1. Prouver que appartient au plan P.
2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que ?

3. Calculer . En déduire que appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
4. Calculer la distance à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
5. Prouver que pour tout : .
6. En déduire l'isobarycentre des points .

Partie B - Construction d'un polynôme

On fixe maintenant et on note :
7. Simplifier .
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques .
9. Calculer de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).
10. On considère maintenant le polynôme , dont les racines sont donc :
      a) Dans cette question seulement . Montrer sans calculer ni que .
      b) Exprimer maintenant en fonction de , puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
13. On introduit les vecteurs :
; ;
Montrer que est une base orthonormale de P et que en est un vecteur normal. En déduire que est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par le produit scalaire de deux vecteurs et . Soit . Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :

15. On considère ici une application linéaire telle que .
      a) Prouver qu'il existe tel que pour tout .
      b) Réciproquement, montrer qu'une application donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que .
      c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que . Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D - Matrices de projecteur

On note ici le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base et la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :
et
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.
17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
      a) Justifier sans calcul que M² = M.
      b) En déduire que pour tout ,
      c) Exprimer M en fonction de P, P^-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble des matrices du type , où a et b sont réels :
      a) Montrer que l'ensemble muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de -espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
      b) Les réels a et b étant donnés, exprimer en fonction de P, P^-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
      c) Déterminer les réels e et f tels que .
      d) Lorsque est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de

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