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Concours commun SUP 2007
des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes.
Epreuve de mathématiques (toutes filières)

Instructions générales :
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Durée de l'épreuve : 4 heures.



 Premier problème


Pour tout on définit : et

Partie A - Généralités

1. Prouver que et sont sur et que pour tout .
2. Montrer que est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté ) est dérivable en 0.
3. Faire un tableau de variations de sur , en faire un graphe sachant que à 10-2 près.
4. Soit la primitive sur de , s'annulant en 1 :
      a) Calculer H.
      b) En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit un entier naturel. On introduit l'équation , d'inconnue .
      a) En utilisant la question 3., montrer que a une unique solution dans ]0,1[, que l'on notera . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que admet une unique solution dans , que l'on notera .
      b) Montrer que les suites et sont monotones.
      c) Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite ? En déduire leurs limites.

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur par le point de coordonnées :

6. Déterminer les valeurs de pour lesquelles se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne .
7. Etudier la limite de la pente de la droite lorsque tend vers et .
8. En utilisant la question 3., faire un tableau de variation de et sur avec limites aux bornes et .
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que à 10-2 près.

Partie C - Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant à en posant .
10. Montrer que l'application ainsi prolongée est de classe sur ; préciser et montrer que l'égalité de la question 1. reste valable pour .
11. Soit , on note : , et
      a) Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que .
      b) En séparant l'intégrale en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout ,
      c) En déduire que est négligeable devant au voisinage de ainsi qu'un équivalent de au voisinage de .
12. Résoudre sur l'équation différentielle (E) : , l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction .

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application solution de (E) : cette fois sur , de classe sur . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des à partir de l'équation (E).
13. Que vaut ?
14. En dérivant (E), calculer et .
15. Peut-on avoir y de la forme avec ?
16. Soit n un entier naturel.
      a) On suppose ici . Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout :

En déduire une relation de récurrence entre et .
      b) Donner une expression de utilisant une factorielle, valable pour tout ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de à tout ordre au voisinage de 0.

 Deuxième problème


Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et le vecteur nul. est muni d'un repère orthonormal direct , toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si et on pourra noter et .
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : et

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout , on introduit le point de caractérisé dans par les coordonnées :

1. Prouver que appartient au plan P.
2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que ?

3. Calculer . En déduire que appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
4. Calculer la distance à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
5. Prouver que pour tout : .
6. En déduire l'isobarycentre des points .

Partie B - Construction d'un polynôme

On fixe maintenant et on note :
7. Simplifier .
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques .
9. Calculer de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).
10. On considère maintenant le polynôme , dont les racines sont donc :
      a) Dans cette question seulement . Montrer sans calculer ni que .
      b) Exprimer maintenant en fonction de , puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
13. On introduit les vecteurs :
; ;
Montrer que est une base orthonormale de P et que en est un vecteur normal. En déduire que est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par le produit scalaire de deux vecteurs et . Soit . Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :

15. On considère ici une application linéaire telle que .
      a) Prouver qu'il existe tel que pour tout .
      b) Réciproquement, montrer qu'une application donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que .
      c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que . Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D - Matrices de projecteur

On note ici le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base et la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :
et
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.
17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
      a) Justifier sans calcul que M² = M.
      b) En déduire que pour tout ,
      c) Exprimer M en fonction de P, P-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble des matrices du type , où a et b sont réels :
      a) Montrer que l'ensemble muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de -espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
      b) Les réels a et b étant donnés, exprimer en fonction de P, P-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
      c) Déterminer les réels e et f tels que .
      d) Lorsque est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de

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