Fiche de mathématiques

Concours commun SUP 2007
des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes.
Epreuve de mathématiques (toutes filières)

Instructions générales :
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :
les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Durée de l'épreuve : 4 heures.

Premier problème

Pour tout $t \in \mathbb{R}^*_+$ on définit : $f(t) = \exp\left(-\frac{1}{t}\right)$ et $g(t) = \frac{f(t)}{t}$

Partie A - Généralités

1. Prouver que $f$ et $g$ sont $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que pour tout $t \in \mathbb{R}^*_+ \, , \, t f'(t) = g(t)$ .
2. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0 et que le prolongement (encore noté $g$ ) est dérivable en 0.
3. Faire un tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}_+$ , en faire un graphe sachant que $e^{-1} \approx 0,36$ à 10^-2 près.
4. Soit $H$ la primitive sur $\mathbb{R}_+^*$ de $t \mapsto g(1/t)$ , s'annulant en 1 :
a) Calculer H.
b) En former un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soit $n \ge 3$ un entier naturel. On introduit l'équation $(E_n) \: : \: f(t)=t/n$ , d'inconnue $t \in \mathbb{R}^*_+$ .
a) En utilisant la question 3., montrer que $(E_n)$ a une unique solution dans ]0,1[, que l'on notera $\alpha_n$ . On montrerait identiquement (mais ce n'est pas à faire) que $(E_n)$ admet une unique solution dans $]1,+\infty[$ , que l'on notera $\beta_n$ .
b) Montrer que les suites $(\alpha_n)_{n\ge 3}$ et $(\beta_n)_{n\ge 3}$ sont monotones.
c) Est-il possible que l'une des deux suites converge vers une limite $l > 0$ ? En déduire leurs limites.

Partie B - Etude d'une courbe paramétrée

On étudie ici, dans un repère orthonormal d'origine O, la courbe paramétrée définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par le point $M(t)$ de coordonnées :
$\lbrace {x(t) = f'(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t^2}\\ y(t) = g(t) = \frac{\exp(-1/t)}{t}}$
6. Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $M(t)$ se situe sur la première bissectrice du plan d'équation cartésienne $y = x$ .
7. Etudier la limite de la pente de la droite $(OM(t))$ lorsque $t$ tend vers $0^+$ et $+\infty$ .
8. En utilisant la question 3., faire un tableau de variation de $x$ et $y$ sur $\mathbb{R}_+^*$ avec limites aux bornes $0^+$ et $+\infty$ .
9. En utilisant les deux questions précédentes, tracer la courbe en repérant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que $4e^{-2} \approx 0,54$ à 10^-2 près.

Partie C - Fonctions définies par des intégrales

On prolonge maintenant $f$ à $\mathbb{R}_+$ en posant $f(0)=0$ .
10. Montrer que l'application $f$ ainsi prolongée est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$ ; préciser $f'(0)$ et montrer que l'égalité de la question 1. reste valable pour $t = 0$ .
11. Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$ , on note : $F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt$ , et $G(x) = \displaystyle \int_0^x g(t) dt$
a) Justifier l'existence de ces intégrales que l'on ne cherchera surtout pas à calculer puis montrer que $F(x) = x exp(-\frac{1}{x})-G(x)$ .
b) En séparant l'intégrale $G(x)$ en deux, montrer qu'il existe une constante C réelle telle que pour tout $x \ge 1$ , $0 \le G(x) \le C + \ln(x)$
c) En déduire que $G(x)$ est négligeable devant $x$ au voisinage de $+\infty$ ainsi qu'un équivalent de $F(x)$ au voisinage de $+\infty$ .
12. Résoudre sur $\mathbb{R}_+^*$ l'équation différentielle (E) : $x^2y'+y = x^2$ , l'expression générale de la solution fera apparaitre la fonction $F$ .

Partie D - Etude qualitative d'une équation différentielle

On considère maintenant une application $y$ solution de (E) : $x^2 y' + y = x^2$ cette fois sur $\mathbb{R}_+$ , de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+$ . Nous allons, sans aucun calcul explicite de y, déterminer entièrement la suite des $u_n = y^{(n)}(0)$ à partir de l'équation (E).
13. Que vaut $u_0 = y(0)$ ?
14. En dérivant (E), calculer $u_1 = y'(0)$ et $u_2 = y''(0)$ .
15. Peut-on avoir y de la forme $x \mapsto \alpha x^2+\beta x + \gamma$ avec $(\alpha,\beta,\gamma) \in \mathbb{R}^3$ ?
16. Soit n un entier naturel.
a) On suppose ici $n \ge 3$ . Prouver à l'aide de la formule de Leibniz que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :
$x^2y^{(n+1)}(x)+(1+2nx)y^{(n)}(x)+n(n-1)y^{(n-1)}(x)=0$
En déduire une relation de récurrence entre $u_n$ et $u_{n-1}$ .
b) Donner une expression de $u_n$ utilisant une factorielle, valable pour tout $n\ge 2$ ; en déduire les développements limités (dont on justifiera l'existence) de $y$ à tout ordre au voisinage de 0.

Deuxième problème

Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel dont on notera $\scr{E}$ l'ensemble des points, E l'ensemble des vecteurs et $\overrightarrow{0}$ le vecteur nul. $\scr{E}$ est muni d'un repère orthonormal direct $\scr{R} = (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , toutes les équations de l'énoncé seront relatives aux éléments de ce repère. Si $M \in \scr{E}$ et $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ on pourra noter $M = (x,y,z)$ et $\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$ .
On considère les ensembles P et Q d'équations cartésiennes : $P \: : \: x + z = 0$ et $Q \: : \: x+y+z-3=0$

Partie A - Etude d'un mouvement dans l'espace

Pour tout $t\in\mathbb{R}$ , on introduit le point $N(t)$ de $\scr{E}$ caractérisé dans $\scr{R}$ par les coordonnées :
$\lbrace {a(t) = \frac{\cos(t)}{\sqrt{2}}\\ b(t) = \sin(t)\\ c(t)=\frac{-\cos(t)}{\sqrt{2}}}$
1. Prouver que $N(t)$ appartient au plan P.
2. Donner une équation paramétrique de la droite D intersection de P et Q. Est-il possible que $N(t)\in D$ ?

3. Calculer $a^2(t)+b^2(t)+c^2(t)$ . En déduire que $N(t)$ appartient à un cercle de P dont on précisera le centre et le rayon.
4. Calculer la distance $N(t)$ à la droite D puis au plan Q, on pourra vérifier que leur rapport est constant.
5. Prouver que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $\exp(it) \: + \: \exp(i(t+2\pi/3)) \: + \: \exp(i(t-2\pi/3)) = 0$ .
6. En déduire l'isobarycentre des points $N(t), N(t+2\pi/3), N(t-2\pi/3)$ .

Partie B - Construction d'un polynôme

On fixe maintenant $t\in\mathbb{R}$ et on note : $\lbrace {s(t) = a(t)+b(t)+c(t)\\ d(t) = a(t)b(t)+a(t)c(t)+b(t)c(t)\\ p(t)=a(t)b(t)c(t)}$
7. Simplifier $s(t)$ .
8. Linéariser le produit de fonctions trigonométriques $p(t)$ .
9. Calculer $d(t)$ de deux manières différentes (on pourra utiliser un résultat de la question 3).
10. On considère maintenant le polynôme $R(X) = (X-a(t))(X-b(t))(X-c(t))$ , dont les racines sont donc $a(t), \, b(t) \text{ et } c(t)$ :
a) Dans cette question seulement $t = \pi/2$ . Montrer sans calculer $R(X)$ ni $R'(X)$ que $R'(0)=0$ .
b) Exprimer maintenant $R(X)$ en fonction de $s(t), \, d(t), \, p(t)$ , puis en fonction des résultats des questions précédentes.

Partie C - Endomorphismes à noyau imposé

11. Montrer que P définit un plan vectoriel de E.
12. Est-ce le cas pour Q ? Préciser, sans preuve, la structure algébrique de Q.
13. On introduit les vecteurs :
$\overrightarrow{i'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k})$ ; $\overrightarrow{j'} = \overrightarrow{j}$ ; $\overrightarrow{k'} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})$
Montrer que $(\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'})$ est une base orthonormale de P et que $\overrightarrow{k'}$ en est un vecteur normal. En déduire que $B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'})$ est une base orthonormale de l'espace.
14. On désigne par $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ . Soit $\overrightarrow{e}\in E$ . Prouver, autrement que par "c'est du cours", que ses coordonnées dans la base B' sont données par :
$\overrightarrow{e} = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{i'})\overrightarrow{i'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{j'})\overrightarrow{j'} + (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{k'}$
15. On considère ici une application linéaire $u \: : \: E\rightarrow E$ telle que $P \subset ker(u)$ .
a) Prouver qu'il existe $\overrightarrow{z}\in E$ tel que $u(\overrightarrow{e}) = (\overrightarrow{e} \cdot \overrightarrow{k'})\overrightarrow{z}$ pour tout $\overrightarrow{e}\in E$ .
b) Réciproquement, montrer qu'une application $u$ donnée par la formule précédente est un endomorphisme de E tel que $P\subset ker(u)$ .
c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\overrightarrow{z}$ pour que $P = ker(u)$ . Donner dans ce cas le rang et l'image de u.

Partie D - Matrices de projecteur

On note ici $p:E\rightarrow E$ le projecteur orthogonal sur le plan P, B la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ et $B' = (\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'})$ la base introduite à la question 13. On introduit les matrices :
$M'=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 0}\right)$ et $I=\left({1 0 0\\0 1 0\\0 0 1}\right)$
16. Justifier très rapidement que M' est la matrice de p dans la base B'.
17. Donner la matrice de passage P de la base B à la base B' ainsi que son inverse (on détaillera le raisonnement pour cette dernière).
18. Soit M la matrice de p dans la base B :
a) Justifier sans calcul que M² = M.
b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $(M+I)^n=I+(2^n-1)M$
c) Exprimer M en fonction de P, P^-1 et M'. Ensuite, calculer explicitement M.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouvé explicitement M. On introduit l'ensemble $\scr{M}$ des matrices du type $M_{a,b} = aM+bI$ , où a et b sont réels :
a) Montrer que l'ensemble $\scr{M}$ muni des lois usuelles sur les matrices a une structure de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
b) Les réels a et b étant donnés, exprimer $M_{a,b}$ en fonction de P, P^-1, I et M'. En déduire une formule factorisée du déterminant de $M_{a,b}$ ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit inversible.
c) Déterminer les réels e et f tels que $M_{a,b}\times M_{c,d}=M_{e,f}$ .
d) Lorsque $M_{a,b}$ est inversible, exprimer son inverse sous la forme d'un élément de $\scr{M}$

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