École Polytechnique
Concours d'admission 2008
Filière MP
Première composition
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Durée : 4 heures
Équations différentielles de Sturm-Liouville
Ce problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle avec paramètre. On désigne par
l'espace des fonctions réelles de classe
sur [0,1].
Première partie
Dans cette première partie, étant donné deux fonctions
et
de
, on désigne par
l'endomorphisme de
défini par :
et par
l'équation différentielle sur [0,1] :
.
1. Soit
une solution non identiquement nulle de
.
1. a) Montrer que les fonctions
et
ne s'annulent pas simultanément.
1. b) Montrer que les zéros de
sont en nombre fini.
2. Soit
et
deux solutions linéairement indépendantes de
; on suppose que
admet au moins deux zéros et on note
et
deux zéros consécutifs.
2. a) Montrer que
admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert
. [On pourra procéder par l'absurde et considérer le wronskien
de
et
].
2. b) La fonction
peut-elle avoir plusieurs zéros dans
?
Étant donné deux fonctions
et
de
,
ne s'annulant en aucun point, on désigne par
l'endomorphisme de
défini par
et par
l'équation différentielle sur
:
.
3. a) Soit
et
deux solutions linéairement indépendantes de
et soit
leur wronskien. Vérifier la relation :
.
3. b) Montrer que, pour tout couple
, il existe des couples
tels que
et déterminer tous ces couples
.
4. On se donne trois fonctions
,
,
de
et on suppose
pour tout .
Pour
, on note
une solution non identiquement nulle de
; on suppose que
admet au moins deux zéros et on note
et
deux zéros consécutifs.
4. a) Vérifier la relation
[On pourra considérer
].
4. b) Montrer que
admet au moins un zéro dans l'intervalle
. [On pourra procéder par l'absurde].
Dans toute la suite du problème on note
une fonction de
; pour tout nombre réel
on considère l'équation différentielle sur [0,1] :
.
On note l'unique solution de
satisfaisant
,
, et
l'espace vectoriel (éventuellement réduit à zéro) des solutions de
satisfaisant
; si cet espace n'est pas réduit à zéro, on dit que
est valeur propre.
Deuxième partie
5. a) Quelles sont les valeurs possibles de
?
5. b) Démontrer l'équivalence des conditions
et
.
6. Démontrer les assertions suivantes :
6. a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à
.
6. b) Si
,
avec
, alors
.
Troisième partie
Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par
le nombre des zéros de la fonction
dans [0,1] et on se propose d'étudier
en lien avec les valeurs de
, ainsi que la répartition des valeurs propres.
7. Dans cette question on exarime le cas où
et
. On désigne par
la partie entière d'un nombre réel
.
7. a) Calculer
pour
.
7. b) Calculer
.
7. c) Préciser le comportement de
au voisinage d'un point
.
On ne suppose plus
ni
. On admettra que la fonction de deux variables
est de classe
.
8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si
est non nul,
est constant dans un voisinage de
.
On désigne par
, les zéros de
dans [0,1] avec
.
8. a) Montrer qu'il existe une suite strictement croissante
de nombres réels, possédant les propriétés suivantes :
(i)
pour
;
(ii)
sur
,
;
(iii)
sur
,
.
8. b) Dans cette question, on considère une fonction
de classe
définie sur un ouvert contenant un rectangle compact
de
.
Démontrer l'assertion suivante : pour tout
il existe
tel que les conditions
impliquent
pour tout .
8. c) Montrer que, pour tout
suffisamment voisin de
,
a exactement un zéro dans chacun des intervalles
, mais n'en a aucun dans les intervalles
. Conclure.
9. Montrer que, pour tout
, on a
.
[On pourra utiliser la question
4 et la question
7 en y remplaçant
par un réel quelconque
.]
10. a) Montrer que, si
est non nul pour tout
appartenant à un intervalle
,
est constant dans
.
10. b) L'ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ?
Quatrième partie
Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de
au voisinage d'un point
tel que
. On écrira
au lieu de
et on rappelle que cette fonction de deux variables est de classe
; l'équation
s'écrit donc :
11. Démontrer que la relation
entraîne les relations suivantes :
12. Montrer qu'il existe un réel
ayant les propriétés suivantes :
si
, on a
;
si
, on a
.
13. Montrer qu'on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinie
, et exprimer
en fonction de
.