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Fiche de mathématiques




Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle non trivial de \mathbb{R} et I^o désigne son intérieur.

I. Définitions et propriétés

Définition :
Soit D \subset \mathbb{R}^2.
On dit que D est convexe si \forall(A,B) \in D^2 \: : \: [A,B] \subset D.

Définition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R}.
On appelle épigraphe de f noté E_p(f) l'ensemble : E_p(f) = \lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 / y \geq f(x)\rbrace .

Définitions :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R}. On dit que :
    1. f est convexe si E_p(f) est convexe.
    2. f est concave si (-f) est convexe.

Fonctions Convexes - supérieur : image 1
Proposition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R}.
f est convexe ssi :  \lbrace \forall(x_1,x_2)\in I^2 \\ \forall t \in [0,1] \.   on a f(tx_1+(1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2).

Interprétation géométrique :
On dit que f est convexe ssi pour tout (x_1,x_2), la corde joignant les points A(x_1,f(x_1)) et B(x_2,f(x_2)) est située au-dessus de la courbe de f restreint sur [x_1,x_2].
Fonctions Convexes - supérieur : image 2
Exemple :
La fonction : f : \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} \, , \, x \rightarrow x^2 est convexe :
en effet :
Soit (x_1 \, , \, x_2) \in \mathbb{R}^2 et t \in [0,1].
f(tx_1+(1-t)x_2) - tf(x_1) - (1-t)f(x_2) = t^2x_1^2 + (1-t)^2x_2^2 + 2t(1-t)x_1x_2-tx_1^2-(1-t)x_2^2\\ \hspace{125pt} = t(t-1)(x_1-x_2)^2 \leq 0
donc f est bien convexe.


II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe

Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R}. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
    1. f est convexe.
    2. \forall(x,y,z) \in I^3 \: : \: x < y < z \Longrightarrow \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}.
    3. \forall x \in I la fonction \psi_a définie par :
 \begin{array}{rcl}\psi_a : & I-\lbrace a\rbrace  & \longrightarrow \mathbb{R}&\\  & t & \longrightarrow & \frac{f(t)-f(a)}{t-a} \end{array} est croissante sur I \cap ]a,+\infty[ et sur ]-\infty,a[ \cap I.

Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction convexe, alors on a :
    1. Pour tout a \in I^o, f admet une dérivée à droite et à gauche.
    2. f est continue sur I^o.
    3. \forall a,b \in I^o tel que a < b on a : f'_g(a) \leq f'_d(a) \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'_g(b) \leq f'_d(b).
Ainsi, f'_g et f'_d sont croissantes sur I^o.

Remarques :
    1. Si f est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
    2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
    3. Si f est dérivable et convexe, alors f' est croissante.
    4. Si f est deux fois dérivable et convexe, alors 0 \leq f''.
Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable sur I^o.
alors f est convexe ssi f' est croissante sur I^o.

Théorèmes :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} dérivable, alors f est convexe ssi sa courbe représentative \mathfrak{C}_f est située au-dessus de toutes ses tangentes.




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