Fiche de mathématiques

analyse

Les Fonctions Convexes

Dans tout ce chapitre, $I$ désigne un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$ et $I^o$ désigne son intérieur.

I. Définitions et propriétés

Définition :

Soit $D \subset \mathbb{R}^2$ .
On dit que $D$ est convexe si $\forall(A,B) \in D^2 \: : \: [A,B] \subset D$ .

Définition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ .
On appelle épigraphe de $f$ noté $E_p(f)$ l'ensemble : $E_p(f) = \lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 / y \geq f(x)\rbrace$ .

Définitions :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ . On dit que :
1. $f$ est convexe si $E_p(f)$ est convexe.
2. $f$ est concave si $(-f)$ est convexe.

Fonctions Convexes - supérieur : image 1

Proposition :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ .
$f$ est convexe ssi : $\lbrace \forall(x_1,x_2)\in I^2 \\ \forall t \in [0,1] \.$ on a $f(tx_1+(1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ .

Interprétation géométrique :
On dit que $f$ est convexe ssi pour tout $(x_1,x_2)$ , la corde joignant les points $A(x_1,f(x_1))$ et $B(x_2,f(x_2))$ est située au-dessus de la courbe de $f$ restreint sur $[x_1,x_2]$ . Fonctions Convexes - supérieur : image 2

Fonctions Convexes - supérieur : image 2

Exemple :
La fonction : $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \, , \, x \rightarrow x^2$ est convexe :
en effet :
Soit $(x_1 \, , \, x_2) \in \mathbb{R}^2$ et $t \in [0,1]$ .
$f(tx_1+(1-t)x_2) - tf(x_1) - (1-t)f(x_2) = t^2x_1^2 + (1-t)^2x_2^2 + 2t(1-t)x_1x_2-tx_1^2-(1-t)x_2^2\\ \hspace{125pt} = t(t-1)(x_1-x_2)^2 \leq 0$
donc $f$ est bien convexe.

II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe

Théorème :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. $f$ est convexe.
2. $\forall(x,y,z) \in I^3 \: : \: x < y < z \Longrightarrow \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}.$
3. $\forall x \in I$ la fonction $\psi_a$ définie par :
$\begin{array}{rcl}\psi_a : & I-\lbrace a\rbrace & \longrightarrow \mathbb{R}&\\ & t & \longrightarrow & \frac{f(t)-f(a)}{t-a} \end{array}$ est croissante sur $I \cap ]a,+\infty[$ et sur $]-\infty,a[ \cap I.$

Théorème :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe, alors on a :
1. Pour tout $a \in I^o$ , $f$ admet une dérivée à droite et à gauche.
2. $f$ est continue sur $I^o$ .
3. $\forall a,b \in I^o$ tel que $a < b$ on a : $f'_g(a) \leq f'_d(a) \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'_g(b) \leq f'_d(b).$
Ainsi, $f'_g$ et $f'_d$ sont croissantes sur $I^o$ .

Remarques :
1. Si $f$ est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
3. Si $f$ est dérivable et convexe, alors $f'$ est croissante.
4. Si $f$ est deux fois derivable et convexe, alors $0 \leq f''.$

Théorème :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction derivable sur $I^o$ .
alors $f$ est convexe ssi $f'$ est croissante sur $I^o$ .

Théorèmes :

Soit $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ derivable, alors $f$ est convexe ssi sa courbe représentative $\mathfrak{C}_f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes.

Merci à Panter

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