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Les Fonctions Convexes

Dans tout ce chapitre, désigne un intervalle non trivial de et désigne son intérieur.

I. Définitions et propriétés

Définition :
Soit .
On dit que est convexe si .
Définition :
Soit .
On appelle épigraphe de noté l'ensemble : .
Définitions :
Soit . On dit que :
    1. est convexe si est convexe.
    2. est concave si est convexe.
Proposition :
Soit .
est convexe ssi :   on a .
Interprétation géométrique :
On dit que est convexe ssi pour tout , la corde joignant les points et est située au-dessus de la courbe de restreint sur .
Exemple :
La fonction : est convexe :
en effet :
Soit et .

donc est bien convexe.

II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe

Théorème :
Soit . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
    1. est convexe.
    2.
    3. la fonction définie par :
est croissante sur et sur
Théorème :
Soit une fonction convexe, alors on a :
    1. Pour tout , admet une dérivée à droite et à gauche.
    2. est continue sur .
    3. tel que on a :
Ainsi, et sont croissantes sur .
Remarques :
    1. Si est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
    2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
    3. Si est dérivable et convexe, alors est croissante.
    4. Si est deux fois derivable et convexe, alors
Théorème :
Soit une fonction derivable sur .
alors est convexe ssi est croissante sur .
Théorèmes :
Soit derivable, alors est convexe ssi sa courbe représentative est située au-dessus de toutes ses tangentes.
Merci à profil de Pantercorrecteur Panter (Correcteur) pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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