Dans tout ce chapitre, désigne un intervalle non trivial de et désigne son intérieur.
I. Définitions et propriétés
Définition :
Soit .
On dit que est convexe si .
Définition :
Soit .
On appelle épigraphe de noté l'ensemble : .
Définitions :
Soit . On dit que :
1. est convexe si est convexe.
2. est concave si est convexe.
Proposition :
Soit .
est convexe ssi : .
Interprétation géométrique : On dit que est convexe ssi pour tout , la corde joignant les points et est située au-dessus de la courbe de restreint sur .
Exemple : La fonction : est convexe :
en effet :
Soit et .
donc est bien convexe.
II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe
Théorème :
Soit . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. est convexe.
2. 3. la fonction définie par :
Théorème :
Soit une fonction convexe, alors on a :
1. Pour tout , admet une dérivée à droite et à gauche.
2. est continue sur .
3. tel que on a :
Ainsi, et sont croissantes sur .
Remarques : 1. Si est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
3. Si est dérivable et convexe, alors est croissante.
4. Si est deux fois dérivable et convexe, alors
Théorème :
Soit une fonction dérivable sur .
alors est convexe ssi est croissante sur .
Théorèmes :
Soit dérivable, alors est convexe ssi sa courbe représentative est située au-dessus de toutes ses tangentes.
Publié par Panter
le
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