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Les Fonctions Convexes

Dans tout ce chapitre, $\text{[math]}$ désigne un intervalle non trivial de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ désigne son intérieur.

I. Définitions et propriétés

Définition :
Soit $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est convexe si $\text{[math]}$ .

Définition :
Soit $\text{[math]}$ .
On appelle épigraphe de $\text{[math]}$ noté $\text{[math]}$ l'ensemble : $\text{[math]}$ .

Définitions :
Soit $\text{[math]}$ . On dit que :
1. $\text{[math]}$ est convexe si $\text{[math]}$ est convexe.
2. $\text{[math]}$ est concave si $\text{[math]}$ est convexe.

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est convexe ssi : $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ .

Interprétation géométrique :
On dit que $\text{[math]}$ est convexe ssi pour tout $\text{[math]}$ , la corde joignant les points $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est située au-dessus de la courbe de $\text{[math]}$ restreint sur $\text{[math]}$ .

Exemple :
La fonction : $\text{[math]}$ est convexe :
en effet :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ est bien convexe.

II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. $\text{[math]}$ est convexe.
2. $\text{[math]}$
3. $\text{[math]}$ la fonction $\text{[math]}$ définie par :
$\text{[math]}$ est croissante sur $\text{[math]}$ et sur $\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ une fonction convexe, alors on a :
1. Pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ admet une dérivée à droite et à gauche.
2. $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .
3. $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$
Ainsi, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont croissantes sur $\text{[math]}$ .

Remarques :
1. Si $\text{[math]}$ est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
3. Si $\text{[math]}$ est dérivable et convexe, alors $\text{[math]}$ est croissante.
4. Si $\text{[math]}$ est deux fois derivable et convexe, alors $\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ une fonction derivable sur $\text{[math]}$ .
alors $\text{[math]}$ est convexe ssi $\text{[math]}$ est croissante sur $\text{[math]}$ .

Théorèmes :
Soit $\text{[math]}$ derivable, alors $\text{[math]}$ est convexe ssi sa courbe représentative $\text{[math]}$ est située au-dessus de toutes ses tangentes.