Fiche de mathématiques

analyse

Intégration (Partie V) : Les intégrales doubles

$K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$

I. Aire d'un domaine de $\mathbb{R}^2$

I. 1. Pavé et pavage

Définitions

On appelle pavé (ou rectangle) de $\mathbb{R}^2$ tout partie $P$ de $\mathbb{R}^2$ de la forme $P = [a,b] \times [c,d]$ avec $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ tels que $a \leq b$ et $c\leq d$ . Autrement dit, un pavé de $\mathbb{R}^2$ est le produit cartésien de deux segments de $\mathbb{R}$ .
Intégrales doubles - supérieur : image 1

Intégrales doubles - supérieur : image 1

On appelle aire ( surface ou encore mesure) d'un pavé $P = [a,b]\times [c,d]$ le réel : $A(P)=(b-a)(d-c)$ .

Un pavé est dit singulier ssi son aire est nulle. C'est-à-dire si $a=b$ ou $c=d$ .

Proposition

L'intersection de deux pavés est soit vide soit un pavé.

Un pavé est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ .

Définitons

Deux pavés sont dits quasi-disjoints ssi leur intersection est un pavé singulier.

Deux pavés sont disjoints ssi leur intersection est vide.

Définitions

On appelle pavage de $\mathbb{R}^2$ toute famille d'un nombre fini de pavés de $\mathbb{R}^2$ deux à deux quasi-disjoints.

Soient $P_1,\cdots, P_n$ n pavés deux à deux quasi-disjoints de $\mathbb{R}^2$ , on appelle support du pavage $(P_1,\cdots,P_n)$ et on note $Supp(P_1,\cdots,P_n)$ l'ensemble : $Supp(P_1,\cdots,P_n) = \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} P_i$ .

On dit qu'une partie de $\mathbb{R}^2$ est pavable ssi elle se présente comme support d'un pavage bien déterminé, c'est-à-dire ssi elle est réunion d'une famille finie de pavés deux à deux quasi-disjoints.

On appelle aire du pavage $(P_1,\cdots,P_n)$ le réel : $\mathfrak{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^n A_i(P_i)$ avec $A_i(P_i)$ l'aire du pavé $P_i$ pour tout $i\in \lbrace 1,\cdots, n\rbrace$ .

I. 2. Partie quarrable

Soit $B$ une partie bornée non vide de $\mathbb{R}^2$ .

Définitions

On appelle pavage intérieur à $B$ tout pavage dont le support est inclus dans $B$ .

On appelle pavage extérieur à $B$ tout pavage dont le support contient $B$ .

Proposition

Si $P_{int}$ et $P_{ext}$ désignent respectivement des pavages intérieur et extérieur à $B$ d'aires respectivement $A(P_{int})$ et $A(P_{ext})$ , alors : $A(P_{int}) \leq A(P_{ext})$ .

Définitions

On appelle aire intérieure à $B$ et on note $A_{int} (B)$ la borne supérieure des aires des pavages intérieurs à $B$ .

On appelle aire extérieure à $B$ et on note $A_{ext}(B)$ la borne inférieure des aires des pavages extérieurs à $B$ .

Proposition

Avec les notations précédentes : $A_{int} (B) \leq A_{ext}(B)$ .

Définition

La partie $B$ est dite quarrable ssi : $A_{int}(B) = A_{ext}(B)$ , cette valeur commune est appelée l'aire de $B$ et on note $A(B)$ .

Remarque :
Par convention, $\emptyset$ est une partie quarrable et $A(\emptyset)=0$ .

Exemple :
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a,b]$ .
Soit $A$ la partie de $\mathbb{R}^2$ définie par : $A = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 / a \leq x \leq b , 0 \leq y \leq f(x) \rbrace$ .
$A$ est une partie quarrable.

II. Intégrale double d'une fonction bornée de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$

II. 1. Sommes de Darboux

Soit $D$ une partie quarrable de $\mathbb{R}^2$ .

Soit $f$ une fonction bornée définie sur $D$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$

Définition

Etant donné une subdivision $\sigma = \lbrace D_i \rbrace _{i\in I}$ de $D$ formée de parties quarrables d'intérieurs disjoints.
On définit :

Somme de Darboux inférieure associée à $f$ et $\sigma$ le nombre : $S_D(f,\sigma)_{inf} = \displaystyle \sum_j A(D_j) \inf_{(x,y)\in D_j} f(x,y)$

Somme de Darboux supérieure associée à $f$ et $\sigma$ le nombre : $S_D(f,\sigma)_{sup} = \displaystyle \sum_j A(D_j) \sup_{(x,y)\in D_j} f(x,y)$
Avec : $A(D_j)$ l'aire de la partie quarrable $D_j$ .

Proposition - Définition

La fonction $f$ est intégrable sur $D$ ssi en notant $\Delta$ l'ensemble de toutes les subdivisions en parties quarrables d'intérieurs disjoints de $D$ , on a : $\inf_{\sigma\in \Delta} S_D(f,\sigma) = \sup_{\sigma\in \Delta} S_D(f,\sigma)$ . Et cette valeur commune de ces bornes est alors appelée intégrale double de $f$ sur $D$ et est notée : $\displaystyle \int \int_D f(x) dA$ ou encore $\displaystyle \int\int_D f(x,y) dxdy$ .

Théorème

Une fonction continue sur une partie quarrable compacte y est intégrable.

II. 2. Sommes de Riemann

Définition

Etant donné une subdivision $\sigma = \lbrace D_i \rbrace _{i\in I}$ de $D$ formée de parties quarrables d'interieurs disjoints, on appelle une somme de Riemann de $f$ relativement à $\sigma$ toute somme qui s'écrit comme suit : $\mathfrak{S}(f,\sigma) = \displaystyle \sum_ k f(\zeta_k) A(D_k)$
avec :

$A(D_k)$ l'aire de la partie quarrable $D_k$ .

$\zeta_k$ des points choisis de la partie $D_k$ .

Théorème

Si la fonction bornée $f$ est intégrable sur $D$ , alors les sommes de Riemann $\mathfrak{S}(f,\sigma)$ convergent vers $\displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy$ quand $\max_{j} A(D_j)$ tend vers $0$ .

II. 3. Propriétés

Théorème

Soient deux parties quarrables $D$ et $D'$ d'intérieurs disjoints.
Si la fonction bornée $f$ est intégrable sur chacune des parties quarrables $D$ et $D'$ alors elle est intégrable sur $D \cup D'$ et :
$\displaystyle \int \int_{D \cup D'} f(x,y) dx dy = \displaystyle \int \int_{D} f(x,y) dx dy + \displaystyle \int \int_{D'} f(x,y) dx dy$

Théorème

L'ensemble des fonctions à valeurs réelles bornées et intégrables sur une partie quarrable $D$ est un espace vectoriel réel et l'intégrale est une forme linéaire sur cet espace, c'est-à-dire qu'on a :
Pour tout couple de fonctions $(f,g)$ à valeurs réelles, bornées et intégrables sur $D$ , $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ :
$\displaystyle \int \int_D (\lambda f + g)(x,y) dx dy = \lambda \displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy + \displaystyle \int \int_D g(x,y) dx dy$

Théorème

Si deux fonctions bornées et intégrables sur la partie quarrable $D$ vérifient : $\forall \nu \in D$ , $f(\nu)\leq g(\nu)$ .
Alors :
$\displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy \leq \displaystyle \int \int_D g(x,y) dx dy$

Théorème

Merci à Panter

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