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Séries de fonctions

Prérequis : Les séries numériques.

I. Définitions

Soit une partie non vide de ou
Si est une suite de fonctions de dans ou on lui associe une nouvelle suite définie en posant pour chaque ; on appelle série de fonctions de terme général et on note le couple
On dit qu'une série de fonctions est simplement convergente sur si et seulement si la série est convergente c'est-à-dire si et seulement si la suite admet une limite pour tout . Si c'est le cas, on définit une nouvelle fonction sur en posant La fonction notée est la somme de la série
Pour toute fonction qui est bornée sur on pose Le nombre est la norme de la convergence uniforme de sur S'il n'y a pas de risque de confusion, on note simplement
On dit qu'une série est uniformément convergente sur s'il existe une fonction telle que

Soit une série de fonctions.
On dit qu'une série à termes positifs est une série majorante de sur si et seulement si ou encore si et seulement si
On dit qu'une série de fonctions est normalement convergente sur si et seulement si elle admet une série majorante convergente, ou encore si et seulement si la série est convergente.

Une série entière est une série de fonctions de la forme où est une suite de nombres réels ou complexes et où
Si est une fonction réelle indéfiniment dérivable définie sur un intervalle ouvert contenant un point on appelle série de Taylor de au point la série de fonctions
Si on parle de la série de Mac-Laurin de

II. Propriétés générales

Soit une série de fonctions définie sur une partie de ou
Si converge normalement sur alors pour tout la série est absolument convergente, d'où l'on voit que la série converge simplement sur et, pour tout on a
Si converge normalement sur alors converge uniformément sur et si converge uniformément sur , alors converge simplement sur
Voici un schéma décrivant les rapports entre les différents modes de convergence d'une série de fonctions sur un ensemble

On déduit de ce théorème que si les fonctions sont toutes continues sur et si converge normalement sur alors la fonction est continue sur

Supposons que soit une partie non majorée de par exemple un intervalle de la forme . Soit une série de fonctions qui converge normalement sur et telle que pour chaque la fonction admette une limite lorsque tend vers Alors
Bien entendu, on a un résultat analogue pour tendant vers .

Dans la suite, est un intervalle de et est une suite de fonctions de dans Soit En appliquant le théorème ci-dessus, on voit que si les sont toutes continues, la série des primitives des qui s'annulent en est simplement convergente et a pour somme la primitive de qui s'annule en

III. Séries entières

Pour on note et ; on pose et ainsi que
On appelle disque de convergence de la série de rayon de convergence l'ensemble La somme de la série est donc définie sur par . De cette proposition on déduit immédiatement que la somme est continue sur le disque de convergence.
Dans le reste de ce paragraphe on considère une série entière où est une suite de nombres réels. On suppose que le rayon de convergence de cette série est strictement positif. On peut alors définir une fonction en posant . On remarque que ce qui montre que dans ce cas pour on a et coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin.
On peut aussi s'intéresser au problème suivant. Si est une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert et si existe-t-il une série entière de rayon de convergence telle que pour on ait ? Compte tenu des résultats précedents, si la réponse est oui, la fonction est forcément indéfiniment dérivable et donc la seule série qui peut convenir est la série de Taylor de au point Malheureusement cette série peut avoir un rayon de convergence nul, ou avoir une somme différente de Pour montrer qu'une fonction est égale à la somme de sa série de Taylor, on peut utiliser le résultat suivant.

IV. Exemples et contrexemples

Une suite de fonctions simplement, mais pas uniformément convergente.

Pour soit la fonction définie sur par

La suite converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1], notée Comme la convergence n'est pas uniforme. Remarquons que et que donc

Continuité et dérivabilité.

Considérons la série définie sur par On a pour tout et pour donc cette série converge simplement sur elle est même absolument convergente en chaque point de Mais on voit que .
Comme la série est de même nature que la série c'est-à-dire divergente. Par conséquent, n'est pas normalement convergente. La fonction est définie par et pour Comme la fonction n'est pas continue en 0, bien que toutes les fonctions le soient.
La série de fonctions définie sur par admet la série pour série majorante, donc elle converge normalement sur Mais et la série ne converge même pas simplement (par exemple diverge puisque pour tout

Une série uniformément, mais pas normalement convergente.

Soit la fonction définie pour sur par

Comme pour fixé il y a un seul entier pour lequel la série converge simplement sur Comme , elle converge même absolument en chaque point.
Les sommes partielles sont définies par

et la somme est définie par pour tout .
Comme on a et la série converge uniformément sur . Mais donc la série diverge et n'est pas normalement convergente.

La fonction de Riemann.

On considère la série de fonctions (définies pour et ). Cette série diverge pour converge simplement sur et normalement sur tout intervalle de la forme où La fonction somme, est continue et indéfiniment dérivable sur . Pour tout on a .

Comportement d'une série entière sur le bord du disque de convergence.

Les séries entières , et ont toutes trois le rayon de convergence La première est divergente pour tout tel que la seconde est divergente pour et semi-convergente pour tel que et et la troisième est absolument convergente pour tout tel que

Fonction qui ne coïncide pas avec la somme de sa série de Mac-Laurin.

Soit définie par et si . On démontre que est indéfiniment dérivable au point et que pour tout La série de Mac-Laurin de est donc de rayon de convergence infini et sa somme est la fonction nulle. Or dès que

Fonctions de Legendre.

Il s'agit de fonctions définies sur un intervalle contenant 0, qui sont somme d'une série entière et qui vérifient l'équation différentielle
où est un nombre réel fixé.
Si vérifie cette équation, on voit que pour tout on a
ce qui montre que et déterminent tous les coefficients.
On remarque que si il existe des solutions qui sont des polynômes de degré c'est-à-dire des séries entières de rayon de convergence infini. Les solutions qui ne sont pas des polynômes, ont un rayon de convergence égal à 1.

Développements en série entière des fonctions élémentaires.

Pour finir, voici un récapitulatif des développements en série entière des fonctions usuelles avec leurs domaines de validité.



Remarquons que si le développement ci-dessus de se réduit à la formule du binôme, donc il reste vrai, mais pour tout puisque dans ce cas le rayon de convergence est infini.
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