Correction de l'épreuve du Bac S 2016 de Métropole
6 points exercice 1
PARTIE A
1. D'après la formule des probabilités totales, on a :
2.
PARTIE B
1. donc
et
Un intervalle de confiance est alors :
2. Comme un intervalle de confiance de confiance est de la forme :
Alors son amplitude est la différence
On veut que
, on résoud l'inéquation, et on trouve n>10 000.
PARTIE C
1.a. où a>0 correspond à l'aire comprise entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites
d'équations x=0 et x=a.
b.
c. donc par composition,
Donc
2. On veut résoudre
.
3.a. On cherche à calculer
b. Comme il s'agit d'une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement,
c.
Cela signifie que la durée de vie moyenne d'un composant électronique est de 10 ans
environ.
4 points exercice 2
Affirmation 1 : FAUSSE
Ces coordonnées ne peuvent pas être proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Donc A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 2 : VRAIE
engendrent donc le plan P
est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, c'est donc un vecteur
normal à P
Affirmation 3 : VRAIE
Or le plan (ABC) dont un vecteur normal est
admet
pour équation :
.
Ecrivons que ce plan contient le point A(1;2;3) alors on trouve d=1
(EF) coupe le plan (ABC) en M(x;y;z) si et seulement si
soit k=-2. En remplaçant dans le système paramétré de la droite (EF), on trouve M(1;0;1)
De plus, le milieu de [BC] a pour coordonnées
soit
, et donc
les deux points sont bien confondus.
Affirmation 4 : FAUSSE
sont deux vecteurs
non colinéaires.
Or les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation du plan (ABC) (car
) donc D n'appartient pas au plan (ABC).
Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.
5 points exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. La solution est x=0
2. La fonction f est dérivable sur
en tant que somme et composée de fonctions
dérivables.
Ainsi
pour tout
en tant que quotient de nombres positifs.
Et
si et seulement si x=1
La dérivée ne s'annule donc qu'en 1 et, pour tout réel on a
.
La fonction est par conséquent strictement croissante sur
.
Donc
Finalement,
La limite en
est admise.
3.
Et
De plus, la fonction est strictement croissante. Le théorème des valeurs
intermédiaires permet de conclure.
4.a. Cet algorithme fournit le premier entier naturel à partir duquel, pour un A donné
on a
.
b. On a
et
Donc l'algorithme affichera 110.
PARTIE B
1. Initialisation :
donc
La propriété est vraie au rang 0 .
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p :
Donc
or, d'après la question A.3 si
alors
Donc
La propriété est par conséquent vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel on a
.
2. Pour tout entier naturel n, on a :
Or
donc
donc
Par conséquent
La suite
est donc décroissante.
3. La suite
est décroissante et minorée par 0 ; elle converge donc.
4. vérifie
D'après la question 4.1, on a
5 points exercice 3 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1.a Les nombres x et y sont des entiers relatifs.
, or
est un entier relatif, donc
est divisible par 3
b. soit
soit
8 n'est pas divisible par 3, et
est divisible par 3.
Cette droite n'admet pas de point à coordonnées entières.
Généralisation
2. sont des entiers relatifs
2.a donc
est entier relatif
qui est élément de
Z.
Donc
divise le produit
b. divise le produit
et pgcd(p,q)=1, donc
d'après le théorème de Gauss,
divise
3.a q divise n donc
avec r dans
Z
m et n sont premiers entre eux, donc d'après l'égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifs
u et -v tels que
soit
3.b
Posons
et
(tous deux entiers) on obtient :
.
4.
On a m=3 ; n=8 ; p=7 ; q=4 Or 4 divise 8, donc d'après ce qui précède, il existe un point de coordonnées entières
sur la droite
. par exemple le point de coordonnées (10;2)
5.a. Si
ne divise pas
alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l'algorithme s'arrête.
Si
divise
alors d'après la question 3.b. il existe pour tous les entiers relatifs
tels que
pgcd
et
divise
un couple d'entiers relatifs
tels que
.
On va donc trouver un entier relatif
tel que
est entier.
Cet entier est soit positif, soit négatif.
La boucle Tant que s'arrête si l'une des deux conditions n'est pas vérifiée ce qui, d'après ce qui vient d'être dit, arrivera au moins une fois.
5.b. Cet algorithme permet de trouver un point de
dont les coordonnées sont entières.
5 points exercice 4 Commun à tous les candidats
1.
2. . On calcule la dérivée du quotient.
qui est toujours strictement positive,
donc la fonction tangente est strictement croissante sur
3.
On remplace par les valeurs trouvées précédemment.
4. est maximal lorsque
est maximal,
donc lorsque
est maximal (puisque la fonction tangente est croissante sur l'intervalle étudié)
On remarque que
donc
est maximal lorsque
sera minimale (puisque la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle étudié) .
Etudions les variations de
.
Pour
dans [0 ; 50], cette dérivée s'annule en
, elle est négative
pour
dans
et positive dans
est donc minimale pour
On a alors
A la calculatrice, on trouve
rd.