Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Centres étrangers - Session 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {|z| & r \\ \arg z & \theta \hspace{2pt} \text{ à } 2\pi \text{ près}} \\ \end{array} \right. \hspace{10pt} \Longleftrightarrow \hspace{5pt} \left \lbrace \begin{array}{l} z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\\ r > 0\end{array} \right.$

ii. Pour tous nombres réels a et b :
$\left \lbrace \begin{array}{l} \cos(a + b) = \cos a \hspace{1pt} \cos b - \sin a \hspace{1pt} \sin b\\ \sin(a + b) = \sin a \hspace{1pt} \cos b + \sin b \hspace{1pt} \cos a \end{array} \right.$

Soient z₁ et z₂ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations : |z₁ z₂| = |z₁| |z₂| et $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ à 2 $\pi$ près.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, $\bar{z}$ désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z.

1. Si z = $-\frac12 + \frac12 i$ , alors z⁴ est un nombre réel.

2. Si z + $\bar{z}$ = 0, alors z = 0.

3. Si z + $\dfrac{1}{z}$ = 0, alors z = i ou z = -i.

4. Si |z| = 1 et si |z + z'| = 1, alors z' = 0.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.
On lit le nombre sur la face cachée.
Pour k $\in$ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note p_i la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.
Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p₁, p₂, p₃ et p₄ dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p₄ = 0,4 démontrer que p₁ = 0,1, p₂ = 0,2 et p₃ = 0,3.

2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
   a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
   b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
   a) Pour 1 $\leq$ i $\leq$ 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'événement (X = i).
   b) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
   c) Calculer la probabilité de l'événement (X $\geq$ 1). On donnera une valeur arrondie au millième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.
On note U_n la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
   a) Montrer que (U_n) est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
   b) Calculer S_n = $\displaystyle \sum_{i = 1}^n U_i$ puis étudier la convergence de la suite (S_n).
   c) Déterminer le plus petit entier n tel que S_n > 0,999.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier 4ⁿ - 1, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors a^p-1 - 1 $\equiv$ 0 mod p ».

Partie A : Quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4ⁿ est congru à 1 modulo 3.
2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 4²⁸ - 1 est divisible par 29.
3. Pour 1 $\leq$ n $\leq$ 4, déterminer le reste de la division de 4ⁿ par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^4k - 1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4ⁿ - 1 est-il divisible par 5 ?
5. À l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de 4²⁸ - 1.

Partie B : Divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu'il existe un entier n $\geq$ 1 tel que 4ⁿ $\equiv$ 1 mod p.

2. Soit n $\geq$ 1 un entier naturel tel que 4ⁿ $\equiv$ 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4^b $\equiv$ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
   a) Démontrer que 4^r $\equiv$ 1 mod p. En déduire que r = 0.
   b) Prouver l'équivalence : 4ⁿ - 1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
   c) En déduire que b divise p -1.

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ .
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ , (unité graphique : 5 cm).

Partie A : Etude de la fonction $f$

1. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ : $f(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$ .

2. Déterminer les limites de $f$ en - $\infty$ et en + $\infty$ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ . En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

4. Dresser le tableau des variations de $f$ .

5. Tracer la courbe $\mathscr{C}$ et ses asymptotes éventuelles dans le repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Partie B : Quelques propriétés graphiques

1. On considère les points M et M' de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives $x$ et - $x$ . Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe $\mathscr{C}$ ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par D_n le domaine du plan limité par la droite d'équation y = 1, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d'équations $x$ = 0 et $x$ = n, $\mathscr{A}_n$ désigne l'aire du domaine D_n exprimée en unité d'aire.
a) Calculer $\mathscr{A}_n$ .
b) Étudier la limite éventuelle de $\mathscr{A}_n$ , lorsque n tend vers + $\infty$ .

Partie C : Calcul d'un volume

Soit $\lambda$ un réel positif, on note $\mathscr{V}(\lambda)$ l'intégrale $\displaystyle \int_{-\lambda}^0 \pi \left[f(x)\right]^2 \text{d}x$ .
On admet que $\mathscr{V}(\lambda)$ est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe $\mathscr{C}$ obtenue pour $-\lambda \leq x \leq 0$ .

1. Déterminer les nombre réels a et b tels que : pour tout nombre réel $x$ : $\dfrac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \dfrac{ae^x}{e^x + 1} + \dfrac{be^x}{(e^x + 1)^2}$

2. Exprimer $\mathscr{V}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ .

3. Déterminer la limite de $\mathscr{V}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers + $\infty$ .

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté en annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal $(A ; \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AB}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AD}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AE}})$ .

Partie A : Un triangle et son centre de gravité

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
a) Calculer les coordonnées de I.
b) Démontrer que $\overrightarrow{\text{AI}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AG}}$ . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B : Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points M_k et N_k, ainsi qu'un plan $\mathscr{P}_k$ de la façon suivante :
    M_k est le point de la droite (AG) tel que $\overrightarrow{\text{AM}_k} = k\overrightarrow{\text{AG}}$ ;
    $\mathscr{P}_k$ est le plan passant par M_k et parallèle au plan (BDE);
    N_k est le point d'intersection du plan $\mathscr{P}_k$ et de la droite (BC).

1. Identifier $\mathscr{P}_{\frac13}$ , $\text{M}_{\frac13}$ et $\text{N}_{\frac13}$ en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance $\text{M}_{\frac13}\text{N}_{\frac13}$ .

2. Calcul des coordonnées de N_k.
   a) Calculer les coordonnées de M_k dans le repère $(A ; \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AB}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AD}} , \hspace{1pt} \overrightarrow{\text{AE}})$ .
   b) Déterminer une équation du plan $\mathscr{P}_k$ dans ce repère.
   c) En déduire que le point N_k a pour coordonnées (1 ; 3k - 1 ; 0).

3. Pour quelles valeurs de k la droite (M_kN_k) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance M_kN_k est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}_{\frac12}$ .
Tracer la droite $(\text{M}_{\frac12}\text{N}_{\frac12})$ sur la même figure.

Bac scientifique centres étrangers 2006 : image 1

Annexe de l'exercice 4

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

Avec les notations des prérequis, on a :
$z_1=r_1(\cos\,\theta_1+i\,\sin\theta_1)$ avec $r_1>0$ et $z_2=r_2(\cos\,\theta_2+i\,\sin\theta_2)$ avec $r_2>0$ d' où :
$z_1z_2=r_1r_2(\cos\,\theta_1+i\,\sin\theta_1)(\cos\,\theta_2+i\,\sin\theta_2)$
$z_1z_2=r_1r_2[\cos\,\theta_1\,\cos\,\theta_2-\sin\,\theta_1\sin\,\theta_2+i(\sin\,\theta_1\,\cos\theta_2+\sin\,\theta_2\,\cos\theta_1)]$
$z_1z_2=r_1r_2[\cos\,(\theta_1+\theta_2)+i\,\sin\,(\theta_1+\theta_2)]$ avec $r_1r_2>0$
On en déduit que :
$|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1|.|z_2|$
$arg(z_1z_2)=\theta_1+\theta_2=arg(z_1)+arg(z_2)\,\,[2\pi]$

Partie B

1. vraie
$z= -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i$
$z^2 = \dfrac{1}{4}(-1+i)^2=\dfrac{1}{4} (1-2i+i^2) = \dfrac{1}{4}(-2i) = -\dfrac{i}{2}$
$z^4 = \dfrac{i^2}{4} = - \dfrac{1}{4} \in \mathbb{R}$

2. fausse
$z=2i$
$\bar{z}=-2i$
$z+ \bar{z}=0$ avec $z \neq 0$

3. vraie
$z \neq 0$
$z+\dfrac{1}{z} = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{z^2+1}{z} = 0$
$\Longleftrightarrow z^2+1=0$
$\Longleftrightarrow z^2=i^2$
$\Longleftrightarrow z=i$ ou $z=-i$

4. fausse
Avec $z= -1$ et $z'= 2$
On a bien $|z|=1$ et $|z+z'|=1$ bien que $z'\not=0$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. $p_1;\, p_2; \, p_3;\, p_4$ forment une progression arithmétique. Soit $r$ sa raison.
On peut écrire alors $p_4=p_1+3r=p_2+2r=p_3+r$ d' où :
$p_1=p_4-3r$
$p_2=p_4-2r$
$p_3=p_4-r$

On sait d'après le cours que $p_1+p_2+p_3+p_4 = 1$
Donc $4p_4-6r=1$ et $r=\dfrac{4p_4-1}{6}=0.1$
On en déduit:
$p_1=0,1 \qquad p_2=0,2\qquad p_3=0,3$

2. a) Les lancers sont indépendants. La probabilité d'obtenir dans l'ordre $1,2,4$ est $0,1 \times 0,2 \times 0,4 = 0,008$

2. b) Les lancers donnant 3 nombres distincts croissants sont : $1,2,3$ ou $1,2,4$ ou $1,3,4$ ou $2,3,4$
La probabilité cherchée est donc :
$P(F)=p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+p_1 p_3 p_4+p_2 p_3 p_4 \\ P(F)=0,1 \times 0,2 \times 0,3+0,1 \times 0,2 \times 0,4+0,1 \times 0,3 \times 0,4+0,2 \times 0,3\times 0,4\\ P(F)=0,05$

3. a) $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,4$ .
Pour $0\leq i\leq 10$ , on a $P(X=i)= \binom{10}{i} (0,4)^i (0,6)^{10-i}$

3. b) D'après le cours :
$E(X) = np= 10 \times 0,4= 4$
Sur 10 lancers, on tombe en moyenne 4 fois sur le nombre 4.

3. c) $P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)$
$P(X\geq 1) = 1- \binom{10}{0}\, (0,6)^{10} = 1-(0,6)^{10} \approx 0,994$

4. a) Les $n-1$ premiers lancers font apparaitre un nombre autre que 4 et le $n$ ^ième est un 4.
$U_n=(0,6)^{n-1} \times 0,4$
$\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{(0,6)^n \times 0,4}{(0,6)^{n-1}\times 0,4}=0,6$
$(U_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0.6$ et de premier terme $U_1=0.4$
$-1<q<1$ donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}U_n = 0$
La suite $(U_n)$ converge vers 0.

4. b)
$S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^nU_i$
$S_n = U_1 \dfrac{1-(0,6)^n}{1-0,6} = 0.4 \dfrac{1-(0,6)^n}{0.4}$
$S_n = 1-(0,6)^n$
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(0,6)^n = 0$
donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n= 1$

4. c) $S_n>0,999 \Longleftrightarrow 1-06^n>0,999$
$S_n>0,999\Longleftrightarrow 0,6^n<0,001$
$S_n>0,999\Longleftrightarrow n\,\ln 0,6<\ln 0,001$ par croissance de la fonction logarithme.
$S_n>0,999 \Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,6}$ car $\ln 0,6<0$
$S_n>0,999\Longleftrightarrow n\geq 14$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $4\equiv 1\;\;[3]$ donc $4^n\equiv 1\;\;[3]$

2. $4^{28}-1=4^{29-1}-1$
29 est un nombre premier.
4 est premier avec 29.
Donc $4^{28}-1=4^{29-1}-1 \equiv 0\,\, [29]$ d'après le petit théorème de Fermat.
Donc $4^{28}-1$ est divisible par 29.

3. $1 \leq n \leq 4$
On fait un tableau indiquant les restes de la division par 17 de $4^n$ .

$n$ =	0	1	2	3
$4^n$ =	1	4	16	13

Les restes possibles sont 1, 4, 13, 16.
$4^{4k} \equiv 1\,\,[17]$ car $4^4 \equiv 1\,\,[17]$ (d'après la question précédente) donc $4^{4k} -1 \equiv 0 [17]$
donc le nombre $4^{4k}-1$ est divisible par 17 pour tout entier $k$ .

4. On dresse à nouveau un tableau contenant les valeurs possibles selon $n$ .
La congruence utilisée a pour modulo 5.

$n$ =	0	1	2	3	4
$4^n$ =	1	4	1	4	1
$4^n-1$ =	0	3	0	3	0

On en déduit que pour
$n \equiv 0\,\, [5]$
$n \equiv 2\,\, [5]$
$n \equiv 4\,\, [5]$
$4^n-1$ est divisible par $5$
On en conclut que pour tout entier naturel pair (de la forme $n=2k$ ) ce nombre est divisible par 5.

5. D' après les questions précédentes :
3, 5, 17, 29 sont des diviseurs premiers de $4^{28}-1$ .

Partie B

1. Si $p$ est un nombre premier supérieur à 2, alors 4 premier avec $p$ .
Le petit théorème de Fermat permet d'affirmer que $4^{p-1}-1 \equiv 0[p]$
Donc $n = p-1$ convient.

2. a) $n=bq+r$ avec $0\leq r< b$
Par hypothèse $4^b \equiv 1 [p]$
Donc $4^n\equiv 4^{bq+r}\equiv (4^b)^q\times 4^r \equiv 4^r\equiv 1\,\, [p]$
Or $0\leq r<b$ donc nécessairement $r=0$ sinon $b$ n' est pas le plus petit entier strictement positif tel que $4^b\equiv 1\,\,[p]$

2. b) D'après la question précédente, si $4^n-1$ est divisible par $p$ , alors $n$ est multiple de $b$ .
Réciproquement, si $n$ est multiple de $b$ , il existe $q$ entier tel que $n=bq$ et :
$4^n\equiv 4^{bq}\equiv (4^b)^q\equiv 1\,\,[p]$ donc $4^n-1$ est multiple de $p$ .

En conclusion : $4^n-1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$ .

2. c) On a vu que $n=p-1$ vérifie $4^{p-1}-1 \equiv 0\,\, [p]$ .
$p-1$ est donc un multiple de $b$ ou $b$ divise $p-1$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Il suffit de multiplier le numérateur et dénominateur par $e^x$
$\forall x\in\mathbb{R}$ : $\dfrac{1}{1+e^{-x}} = \dfrac{e^x}{(1+e^{-x})e^x} = \dfrac{e^x}{e^x+e^0} = \dfrac{e^x}{1+e^x}$ car $e^0=1$

2.
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0$
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(1+e^x)=1$
donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0}$
En prenant la première expression :
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(1+e^{-x}})=1$
On en tire le résultat suivant : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1}$

Interprétation des résultats :
La courbe admet deux asymptotes horizontales $y=0$ et $y=1$ respectivement en $-\infty$ et $+\infty$

3. La fonction $x \mapsto 1+e^{-x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et elle ne s'annulle jamais.
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$ (dérivée $-\dfrac{u'}{u^2}$ )
Donc : $f'(x)=-\dfrac{-e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = \dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$
Puisque, pour tout réel $x$ : $e^{-x}>0$ $(1+e^{-x})^2>0$ donc $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

4. Tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|c|CCC|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} 1 \\ \hline \end{tabvar}$

5. Tracé

Bac scientifique centres étrangers 2006 : image 7

Partie B

1. Le milieu $A$ de $[MM']$ a pour coordonnées $0; \dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$
$f(x)+ f(-x) = \dfrac{1}{e^{-x}+1} + \dfrac{1}{1+e^x} = \dfrac{e^x}{1+e^x} + \dfrac{1}{1+e^x} = \dfrac{e^x+1}{e^x+1} = 1$

$A$0 ; \dfrac{1}{2} $$
On a $f(x_A+h)+f(x_A-h)= 2 y_A$
$A$ est centre de symétrie pour la courbe (C)

2. a) La courbe est située au dessous de la droite $y= 1$
En effet : $f(x)-1 = \dfrac{1}{1+e^{-x}}-1 = \dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} < 0$
L'aire $A_n$ est donnée par:
$\displaystyle A_n = \int_0^{n}$1-f(x)$ dx$
$= \displaystyle \int_0^{n}\left(1-\dfrac{e^x}{1+e^x}\right) dx$
$= \displaystyle \left[x-\ln(1+e^x)\right]_0^{n}$
$= \displaystyle n-\ln(1+e^x)-(-\ln2)$
$\displaystyle A_n = n-\ln(1+e^n)+\ln2$ unités d'aire.

2. b) $A_n= \ln\,2+\ln\, e^n-\ln\,(1+e^n)$
$A_n=\ln\,2+\ln\, \left(\dfrac{e^n}{1+e^n}\right) \\ A_n=\ln\,2+\ln\, \left(\dfrac{1}{1+e^{-n}}\right)$
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\ln\,\left( \dfrac{1}{1+e^{-n}}\right) = 0\\ \displaystyle \lim_{n\to+\infty} A_n = \ln 2$

Partie C

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\dfrac{ae^x}{e^x+1}+\dfrac{be^x}{(e^x+1)^2} = \dfrac{ae^x(e^+1)+be^x}{(e^x+1)^2}$
$\dfrac{ae^{2x}+(a+b)e^x}{(e^x+1)^2} = \dfrac{e^{2x}}{(e^x+1)^2}$ par identification on a :
$a=1$ et $a+b=0$ on trouve $b=-1$
donc $a=1$ et $b=-1$

2. $\displaystyle V(\lambda) = \int_{-\lambda}^{0} \pi [f(x)]^2 dx$
$\displaystyle V(\lambda) = \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx$
De la question précédente on peut écrire :
$\displaystyle V(\lambda) = \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{e^x+1} dx - \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$

La première intégrale a été calculée à la question 2.a).
$\displaystyle \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{e^x+1} dx = \pi \left[\ln(1+e^x\right]_{-\lambda}^{0} \\ \displaystyle \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{e^x+1} dx = \pi \left[(\ln2)-\ln(1+e^{-\lambda})}\right] \\ \displaystyle \pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{e^x+1} dx = \pi \ln2 - \pi \ln(1+e^{-\lambda})$
La deuxième intégrale $\displaystyle -\pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ dont une primitive est $-\dfrac{1}{u}$ , $u \neq 0$ , avec $u=e^x+1$

$\displaystyle -\pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = - \pi \left[\frac{-1}{e^x+1}\right]_{-\lambda}^{0}$
$\displaystyle -\pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = \pi \left[\frac{1}{e^x+1}\right]_{-\lambda}^{0}$
$\displaystyle -\pi \int_{-\lambda}^{0} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = \pi \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{1+e^{-\lambda}}\right]$

$\displaystyle V(\lambda)= \pi \ln2 - \pi \ln(1+e^{-\lambda}) + \pi \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{1+e^{-\lambda}}\right]$
$\displaystyle V(\lambda)= \pi \left[\ln2+\frac{1}{2}-\ln(1+e^{-\lambda})-\frac{1}{1+e^{-\lambda}}\right]$

3. $\displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty} e^{-\lambda}+1} = 1$
donc $\displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty} \ln $e^{-\lambda}+1}$ = 0$
$\displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty} V(\lambda)= \pi $\ln2+\frac{1}{2}-1$ = \pi $\ln2-\frac{1}{2}$$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Les côtés $[BD]$ , $[BE]$ et $[ED]$ sont 3 diagonales de carrés de même côté.
donc $BD= BE= ED$
ce qui entraîne que le triangle $BDE$ est équilatéral.

2. a) Les coordonnées de $A(0,0,0)$ , $B(1,0,0)$ , $D(0,1,0)$ et $E(0,0,1)$ permettent de calculer les coordonnées de $I$ , centre de gravité du triangle $BDE$ grâce aux relations suivantes obtenues dans le cours :
$x_{\text{I}} = \dfrac{1}{3} (x_{\text{B}}+x_{\text{D}}+x_{\text{E}}) = \dfrac{1}{3}$
$y_{\text{I}} = \dfrac{1}{3} (y_{\text{B}}+y_{\text{D}}+y_{\text{E}}) = \dfrac{1}{3}$
$z_{\text{I}} = \dfrac{1}{3} (z_{\text{B}}+z_{\text{D}}+z_{\text{E}}) = \dfrac{1}{3}$

$I$\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}$$

2. b) $G$ a pour coordonnées $(1,1,1)$
$\overrightarrow{\text{AG}} (1,1,1)$ et $\overrightarrow{\text{AI}} $\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}$$
donc $\overrightarrow{\text{AI}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AG}}$
$\overrightarrow{\text{AI}}$ et $\overrightarrow{\text{AG}}$ sont colinéaires donc $A,I \text{ et } G$ sont alignés.

3. $I\in(AG)$ car $A,I \text{ et } G$ alignés. Montrons que $(AG)$ est orthogonale à $(BDE)$
$\overrightarrow{\text{BE}}$ $(-1,0,1)$ et $\overrightarrow{\text{BD}}$ $(-1,1,0)$
$\overrightarrow{\text{AG}} . \overrightarrow{\text{BE}} = (1)(-1) + (1)(0) + (1)(1) = 0$
$\overrightarrow{\text{AG}} . \overrightarrow{\text{BD}} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(0) = 0$
$(AG)$ est orthogonale à deux droites sécantes $(BE)$ et $(BD)$ du plan $(BDE)$ donc $(AG)$ est perpendiculaire au plan $(BDE)$
$I$ est le point d'intersection du plan $(BDE)$ avec la perpendiculaire à $(BDE)$ passant par $A$ .
Le résultat en découle.

Partie B

1. D'après le 2.b) $P_{\frac{1}{3}}$ est le plan $(BDE)$
$M_{\frac{1}{3}}= I$ et $N_{\frac{1}{3}}=B$
$(M_{\frac{1}{3}},N_{\frac{1}{3}}) = IB$
$(M_{\frac{1}{3}},N_{\frac{1}{3}}) = \sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

2. a) $\overrightarrow{\text{AM}_k}= k\overrightarrow{\text{AG}}$
$M_k(k,k,k)$

2. b) $(BDE)$ est parallèle à $P_k$ donc ils ont le même vecteur normal $\overrightarrow{\text{AG}}$ $(1,1,1)$ .
Une équation de $P_k$ est $x+y+z+d=0$

$M_k \in P_k$ ses coordonnées vérifient l'équation du plan
$3k+d=0\Longleftrightarrow d=-3k$
$P_k:\,x+y+z-3k = 0$

2. c) $N_k \in$ $(BC)$
donc il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\text{BN}_k}=t.\overrightarrow{\text{BC}}$ ₍₁₎

$\overrightarrow{\text{BC}}$ $(0,1,0)$
La relation ₍₁₎ donne alors:
$x=1$ , $y=t$ , $z=0$ , $t\in \mathbb{R}$
$N_k$ vérifient l'équation du plan $P_k$
$1+t-3k=0$ soit $t=3k-1$
$N_k$ $(1,3k-1,0)$

3. $(M_kN_k)$ perpendiculaire à $(BC)$ $\Longleftrightarrow \overrightarrow{M_kN_k} . \overrightarrow{BC} = 0$ (produit scalaire nul) ₍₂₎
$\overrightarrow{M_kN_k}$ $(1-k,2k-1,-k)$
₍₂₎ donne alors: $2k-1=0 \Longleftrightarrow$ k= $\dfrac{1}{2}$

4. $M_kN_k ^2= (1-k)^2+(2k-1)^2+k^2$
$=6k^2-6k+2$
$=2(3k^2-3k+1)$
Une distance est minimale si son carré est minimum.
On pose $f(k) = 3k^2-3k+1$

$f^{'}(k)=6k-3 =3(2k-1)$

Pour $k=\frac{1}{2}$ la fonction $f$ admet un minimum puisque $f$ est décroissante sur $]-\infty;\frac{1}{2}]$ et croissante sur $[ \frac{1}{2};+\infty[$
La distance est minimale pour $k=\dfrac{1}{2}$ .

5. Tracé :

Rappel de cours :

Tout plan coupe 2 plans parallèles suivant 2 droites parallèles.

Pour obtenir la section du cube par le plan $P_{\frac{1}{2}}$ on procéde de la façon suivante :
Par $N_{\frac{1}{2}}$ (milieu de $[BC]$ ), on mène la parallèle à $(BD)$ qui coupe $(CD)$ en $V$ et $(AD)$ en $L$
Par $L$ on trace la parallèle à $(DE)$ qui coupe $(EH)$ en $U$ et $(DH)$ en $R$
Le plan $(ABCD)$ est parallèle au plan $(FGHE)$ on obtient donc $(UQ) // (NV)$ qui détermine le point $Q$ .
Le plan $(CDHG)$ est parallèle au plan $(ABFE)$ on obtient donc $(VR) // (QJ)$ qui détermine le point $J$ .

En conclusion, la section obtenue est un hexagone régulier $NVRUQJ$
$M_{\frac{1}{2}}$ est le milieu de $[AG]$

Bac scientifique centres étrangers 2006 : image 8

Publié par Cel/cva le 04-12-2013

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