L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Centres étrangers - Session 2006

L'utilisation d'une calcultrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité)     Durée de l'épreuve : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (4 points)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :

ii. Pour tous nombres réels a et b :

Soient z₁ et z₂ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :

|z₁ z₂| = |z₁| |z₂|     et     à 2 près.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z.

1. Si z = , alors z⁴ est un nombre réel.

2. Si z + = 0, alors z = 0.

3. Si z + = 0, alors z = i ou z = -i.

4. Si |z| = 1 et si |z + z'| = 1, alors z' = 0.

 Exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.
On lit le nombre sur la face cachée.
Pour k {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note p_i la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.
Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p₁, p₂, p₃ et p₄ dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p₄ = 0,4 démontrer que p₁ = 0,1, p₂ = 0,2 et p₃ = 0,3.

2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
   a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
   b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
   a) Pour 1 i 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'événement (X = i).
   b) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
   c) Calculer la probabilité de l'événement (X 1). On donnera une valeur arrondie au millième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.
On note U_n la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
   a) Montrer que (U_n) est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
   b) Calculer S_n = puis étudier la convergence de la suite (S_n).
   c) Déterminer le plus petit entier n tel que S_n > 0,999.

 Exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier 4ⁿ - 1, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors a^p-1 - 1 0 mod p ».

Partie A : Quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4ⁿ est congru à 1 modulo 3.

2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 4²⁸ - 1 est divisible par 29.

3. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4ⁿ par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^4k - 1 est divisible par 17.

4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4ⁿ - 1 est-il divisible par 5 ?

5. À l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de 4²⁸ - 1.

Partie B : Divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu'il existe un entier n 1 tel que 4ⁿ 1 mod p.

2. Soit n 1 un entier naturel tel que 4ⁿ 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4^b 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
   a) Démontrer que 4^r 1 mod p. En déduire que r = 0.
   b) Prouver l'équivalence : 4ⁿ - 1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
   c) En déduire que b divise p -1.

 Exercice 3 - Commun à tous les candidats (6 points)

On désigne par la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal , (unité graphique : 5 cm).

Partie A : Etude de la fonction

1. Vérifier que pour tout nombre réel : .

2. Déterminer les limites de en - et en +. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3. Calculer pour tout nombre réel . En déduire les variations de sur .

4. Dresser le tableau des variations de .

5. Tracer la courbe et ses asymptotes éventuelles dans le repère .

Partie B : Quelques propriétés graphiques

1. On considère les points M et M' de la courbe d'abscisses respectives et -. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par D_n le domaine du plan limité par la droite d'équation y = 1, la courbe et les droites d'équations = 0 et = n, désigne l'aire du domaine D_n exprimée en unité d'aire.
   a) Calculer .
   b) Etudier la limite éventuelle de , lorsque n tend vers +.

Partie C : Calcul d'un volume

Soit un réel positif, on note l'intégrale .
On admet que est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe obtenue pour .

1. Déterminer les nombre réels a et b tels que :

pour tout nombre réel :

2. Exprimer en fonction de .

3. Déterminer la limite de lorsque tend vers +.

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (5 points)

ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté en annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal .

Partie A : Un triangle et son centre de gravité

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
   a) Calculer les coordonnées de I.
   b) Démontrer que . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B : Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points M_k et N_k, ainsi qu'un plan de la façon suivante :

• M_k est le point de la droite (AG) tel que ;
• est le plan passant par M_k et parallèle au plan (BDE);
• N_k est le point d'intersection du plan et de la droite (BC).

1. Identifier , et en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance .

2. Calcul des coordonnées de N_k.
   a) Calculer les coordonnées de M_k dans le repère .
   b) Déterminer une équation du plan dans ce repère.
   c) En déduire que le point N_k a pour coordonnées (1 ; 3k - 1 ; 0).

3. Pour quelles valeurs de k la droite (M_kN_k) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance M_kN_k est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan .
Tracer la droite sur la même figure.

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