Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique
Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Session 2006

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits.
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation z² - 2z + 4 = 0.

2. On considère les points A et B d'affixes respectives z_A = 1 + i $\sqrt{3}$ et z_B = 1 - i $\sqrt{3}$ .
   a) Déterminer le module et un argument de z_A et z_B.
   b) Donner la forme exponentielle de z_A.
   c) Placer les points A et B dans le plan muni du repère $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .

3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M ' d'affixe z ' tel que : z ' = $e^{i \frac{2\pi}{3}} z$
   a) Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caractéristiques.
   b) On nomme C l'image du point A par la transformation R.
Déterminer la forme exponentielle de l'affixe z_C du point C. En déduire sa forme algébrique.
   c) Placer le point C.
   d) Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation R.

4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse. 4 points

exercice 2

Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
- Le joueur mise 10 euros.
- Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0.
Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
Le gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 1

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €.

1. Etude du gain d\'un joueur pour une mise de 10 euros.
On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
a) Compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

Roue n°2 \ Roue n°1	10	0	5	0
10
0
5
0

   b) Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 %.
   c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
   d) Calculer la probabilité, notée p(G > 10), qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
   e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation.

2. Etude du bénéfice de l\'association pour une mise de m euros.
On suppose dans cette question que la mise du joueur est de m euros.
On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.

   a) Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B.
   b) Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.

Problème (11 points)

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : y ' + y = — $x$ - 1 ; où y désigne une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ .

1. a) Résoudre l'équation différentielle y ' + y = 0.
b) Déterminer la solution h de cette équation différentielle y ' + y = 0 prenant la valeur $\frac{1}{e}$ en $x$ = 1.

2. Déterminer le nombre réel a tel que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = e^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E).

Partie B : Etude d'une fonction auxiliaire $f$

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} - x$ .

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en + $\infty$ et — $\infty$ .

2. $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer, pour tout réel $x$ , $f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0 ; 1].
b) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01.

4. Préciser le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].

Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan

La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ , dans le plan muni d'un repère $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ est tracée ci-dessous.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 2

1. Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie $\mathscr{D}$ limitée par la courbe $\mathscr{C}_f$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

2. Calculer en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathscr{D}$ du plan.

Partie D : Etude d'une fonction g et représentation graphique

La fonction g est définie sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ par : $g(x) = \frac{x}{e^{-x} - x}$ (où $\alpha$ désigne le nombre réel trouvé à la partie B) et on note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. a) Vérifier que, pour tout $x \in ]-\infty ; \alpha[$ ; $g(x) = \frac{xe^x}{1 - xe^x}$ .
b) En déduire la limite de la fonction g en - $\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.

2. En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction g en $\alpha$ .
Interpréter graphiquement cette limite.

3. a) La fonction g ' désignant la dérivée de la fonction g, montrer que pour tout $x$ de ]— $\infty$ ; $\alpha$ [, $g'(x) = \frac{e^{-x}(1 + x)}{\left(e^{-x} - x\right)^2}$ .
b) En déduire les variations de la fonction g sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ et dresser le tableau des variations de la fonction g.

4. Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de la fonction g dans le repère ci-dessus.

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