Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options B, C, D et E) - Génie des Matériaux

//cf. http://www.ac-aix-marseille.fr/public/download/104/sbt14_1.pdf

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le condidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation (z - 4)(z² + 4z + 16) = 0.

2. Soient les nombres complexes suivants :

$z_1 = 4$

$z_2 = -2 - 2i\sqrt{3}$

$z_3 = -2 + 2i\sqrt{3}$

$z_4 = 8 e^{i\frac{\pi}{3}}$

$z_5 = 2 e^{i\frac{\pi}{3}}$

    a) Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes z₁, z₂, z₃.
    b) Donner les formes algébriques de z₄ et de z₅.

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1cm.
Soient les points A, B, C, D et E d'affixes respectives z₁, z₂, z₃, z₄ et z₅.
    a) Placer les points A, B, C, D et E dans le repère indiqué.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 5 points

exercice 2

On considère l'équation différentielle (E) suivante :
$\pi^2y + 9y'' = 0$ ,
où y est une fonction de la variable réelle $x$ et y '' sa dérivée seconde.

1. Soit g la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par :
$g(x) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) + 4 \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)$ .
Vérifier que la fonction g est une solution de l'équation différentielle (E).

2. a) Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
    b) Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie :
$f(0) = 1$ et $f'e(0) = \frac{\pi}{3}$ .
    c) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
$f(x) = \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} x - \frac{\pi}{4}\right)$ .
    d) Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation $f(x) = 1$ .

Problème (10 points)

Partie A

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels l'équation 2X² - 5X + 2 = 0.
2. En déduire les solutions, sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, de l'équation $2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 = 0$
On pourra poser X = ln $x$ .

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2$ .
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d'unité graphique 1 cm.

1. Limites aux bornes
    a) Etudier la limite de $f$ en 0. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
    b) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ (on pourra factoriser par ln $x$ ).

2. Variations
    a) On note $f'e$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f'e(x) = \frac{4 \ln x-5}{x}$ .
    b) Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
    c) En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [. On pourra remarquer que la fonction $f$ s'annule en $\sqrt{e}$ et en $e^2$ .

3. Donner une équation de la tangente T et la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $\sqrt{e}$ .

4. Tracer la courbe $\mathscr{C}$ et la tangente T dans le repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

5. Calcul d'une aire
    a) Hachurer le domaine $\mathscr{A}$ du plan situé en dessous de l'axe (O $x$ ) et compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l'axe (O $x$ ).
    b) Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle ]0; + $\infty$ [ par $F(x) = x(2(\ln x)^2 - 9\ln x + 11)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
    c) Calculer en cm² l'aire du domaine $\mathscr{A}$ . En donner l'arrondi à 10^-2.

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