Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options A et F) - Génie Energétique - Génie Civil

//cf. http://www.ac-aix-marseille.fr/public/download/104/sbt13_1.pdf

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ .
On considère les nombres complexes suivants :

$z_A=\sqrt{2}+i\sqrt{6}$
$z_B=2-2i$

On pose $z = \frac{z_A}{z_B}$ .

1. Ecrire $z$ sous forme algébrique.

2. a) Calculer le module et un argument de $z_A$ et de $z_B$ .
    b) En déduire le module et un argument de $z$ .
    c) Ecrire $z$ sous forme trigonométrique.

3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \frac{7\pi}{12}$ et de $\sin \frac{7\pi}{12}$ .

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(0; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 2 cm.
    a) Sur papier millimétré, construire les points A et B, images respectives de $z_A$ et $z_B$ .
    b) Déterminer la nature du triangle OAB. 4 points

exercice 2

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}$ , dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, de la fonction $f$ définie sur [0 ; 2 $\pi$ ] par : $f(x) = 2 - \sin \frac{x}{2}$ .
bac STI Génies Mécanique Energétique Civil Métropole 2006 - terminale : image 1

bac STI Génies Mécanique Energétique Civil Métropole 2006 - terminale : image 1

1. Vérifier, par le calcul, que :
    a) La courbe $\mathscr{C}$ passe par le point S ( $\pi$ ; 1).
    b) La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point S est parallèle à l'axe des abscisses.
    c) La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 4y'' + y - 2 = 0.

2. On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbe $\mathscr{C}$ lors de sa rotation autour de l'axe des abscisses.
On rappelle que la valeur V de ce volume, en unités de volume, est donnée par la formule : $V = \pi \bigint_0^{2\pi} [f(x)]^2 dx$
    a) On pose, pour tout nombre réel $x$ , appartenant à [0 ; 2 $\pi$ ], $g(x) = [f(x)]^2$ .
Démontrer que l'on a : $g(x)=\frac{9}{2}-4\sin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cos x$ .

    b) Donner la valeur exacte de ce volume en cm³, puis sa valeur arrondie au mm³ près.

Problème (11 points)

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [ par : $f(x)=\frac{2x}{1+x}-\ln(1+x)$ .
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $(0; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A

1. Calculer la limite de $f$ en + $\infty$ .

2. a) En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [ $f(x)=\frac{1}{1+x}[2x-(1+x)\ln(1+x)]$ ,
calculer la limite de $f$ en -1 (on pourra utiliser sans démonstration $\displaystyle \lim_{X\to0} X \ln X = 0$ ).
   b) En déduire une équation d'une droite $\mathscr{D}$ asymptote à $\mathscr{C}$ .

3. Déterminer la dérivée $f'e$ de $f$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [, $f'e(x) = \frac{1-x}{(1+x)^2}$ .

4. a) Etudier le signe de $f'e(x)$ sur l'intervalle]-1 ; + $\infty$ [.
   b) Calculer la valeur exacte de $f$ (1).
   c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle ]-1 ; $\infty$ [

Partie B

1. Déterminer une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.

2. a) Justifier que l'équation $f(x)$ = 0 a une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle [1 ; 5].
Démontrer que $\ln(1+\alpha) = \frac{2\alpha}{1+\alpha}$ .
b) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près.

3. Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle [0 ; $\alpha$ ].

4. Tracer, dans le repère $(0; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , la tangente $\mathscr{T}$ , la droite $\mathscr{D}$ puis la courbe $\mathscr{C}$ .

Partie C

1. Démontrer que, sur l'intervalle]-1 ; + $\infty$ [, la fonction $F$ définie par $F(x) = (-3-x)\ln(1+x)+3x$ est une primitive de la fonction $f$ .

2. Soit $\mathscr{H}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x$ = 0 et $x = \alpha$ .
a) Hachurer la partie $\mathscr{H}$ sur le dessin.
b) Calculer, en unités d'aire et en fonction de $\alpha$ , l'aire $A(\alpha)$ de la partie $\mathscr{H}$ et démontrer que $A(\alpha) = 2 \left(\frac{\alpha^2-3\alpha}{1+\alpha}\right)$ cm².

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