L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique 2006 - Sciences et Techniques de Laboratoire
Biochimie, Génie Biologique
Polynésie Française

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures

 Exercice 1 (9 points)

Le thème de l'exercice est l'évolution de l'épidémie de SRAS de 2003.
Le tableau suivant donne les nombres de cas déclarés (N_i), relevés aux dates suivantes : 4, 8, 11, 15, 18, 23 et 28 avril 2003 :

On pose y_i = ln N_i (ln désigne le logarithme népérien).

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,01 près.

2. Représenter le nuage de points de coordonnées ( ; y_i) dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 0,5 cm pour 1 jour sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.
On graduera l'axe des ordonnées à partir de 7.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage obtenu (résultats arrondis à 0,01 près).

4. Soit d la droite passant par le premier et le dernier point du nuage.
Une équation de d est y = 0,0325 + 7,62.
Le point G appartient-il à d ?
Placer G et d sur le dessin précédent.

5. On admet que d constitue un ajustement convenable du nuage de points.
    a) En utilisant l'équation d, déterminer la valeur de y correspondant à = 38.
En déduire une estimaton du nombre de cas prévisibles le 8 mai.
    b) A l'aide de l'ajustement affine y = 0,0325 + 7,62 et de la relation y = ln N, exprimer N en fonction de .
Déterminer, en utilisant ce modèle, à partir de quelle valeur entière de , N est supérieur ou égal à 10 000.

6. Le nombre de cas répertoriés a été, en réalité, de 7053 le 8 mai.
Le modèle étudié dans cet exercice est-il adapté pour décrire la situation le 8 mai (on considère que le modèle est adapté si l'écart entre la valeur réelle et la valeur donnée par le modèle est inférieur à 50 unités) ?

 Exercice 2 (11 points)

Partie A

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscises et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) Montrer que, pour tout de l'intervalle [0 ; 3], .
    b) Etudier le signe de sur l'intervalle [0 ; 3].
    c) Déterminer les valeurs exactes de et dresser le tableau de variation de .

2. a) Donner les valeurs arrondies au dixième de pour les valeurs suivantes de :
0,25 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3.
    b) Calculer le coefficient directeur de la tangente à aux points d'abscisses : . (On donnera des valeurs approchées à 10^-2 près).
Pour laquelle de ces abscisses, le coefficient directeur est-il le plus grand ?

3. a) Tracer les tangentes à la courbe aux points d'abscisses .
    b) Tracer la courbe .

Partie B

On considère que la courbe donne un modèle de la variation de la température de l'eau en fonction de la profondeur près de l'estuaire d'un grand fleuve un jour d'hiver.
La température est exprimée en degrés Celsius et la profondeur en centaines de mètres.

1. A quelle profondeur la température de l'eau est-elle minimale ?

2. Déterminer graphiquement pour quelles profondeurs la température est comprise entre 0°C et 4°C. Faire figurer les constructions utiles.

3. En utilisant la question A. 2., indiquer au voisinage de quelle profondeur, entre 50 m et 300 m, la température de l'eau augmente le plus rapidement.

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