Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique
Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Session 2006

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Partie A

Pour tout nombre complexe z, on note P(z) = z³ - 4z² + 8z - 8.

1. Calculer P(2).
Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s'écrire sous la forme P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4).

2. Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0.
En déduire les solutions, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : a = 2 b = 1 + i $\sqrt{3}$ c = 1 - i $\sqrt{3}$

1. a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O.
c) Construire le cercle $\Gamma$ .

2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}})$ .
Quelle est la nature du triangle OAB ? 5 points

exercice 2

Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1013 hectopascal.
Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m.

Pour tout entier naturel n, on note P_n la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude 100n, exprimée en mètres.
Soit (P_n) la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique.
On a alors P₀ = 1013.

1. Calculer les pressions P₁ et P₂, arrondies à l'unité, aux altitudes 100 et 200.

2. a) Exprimer P_n+1 en fonction de P_n.
b) En déduire la nature de la suite (P_n). Préciser sa raison et son premier terme.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, P_n = 1013 × 0,9875ⁿ.

3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude 3200.

4. Calculer à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal.

Problème (10 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \frac{1 - \ln x}{x}$ .
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2. En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x)$ est égal à $\frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x}$ , déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
Interpréter graphiquement le résultat.

3. a) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \frac{-2 + \ln x}{x^2}$ .
b) Etudier le signe de -2 + ln $x$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. On note I le point d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de l'axe $(O ; \overrightarrow{i})$ .
Déterminer les coordonnées du point I.

5. On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse 1.
Déterminer une équation de la droite $\mathscr{T}$ .

6. Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\mathscr{T}$ .
On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe $(O ; \overrightarrow{i})$ et 5 cm pour unité graphique sur l'axe $(O ; \overrightarrow{j})$ .

Partie B

1. a) On considère la fonction g définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = (\ln x)^2$ .
On note g ' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Calculer $g'(x)$ .
b) En déduire une primitive de la fonction $x$ fleche2

$\frac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

2. a) Calculer J = $\displaystyle \int_1^e f(x) \text{d}x$ , où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
b) Interpréter graphiquement l'intégrale J.

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