Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2006

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

4 points

exercice 1

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.
Sur chacune d'elles est inscrit un nombre comme l'indique le tableau ci-dessous :

Nombre inscrit	1	2	5	10
Nombre de boules	4	3	2	1

Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

1. Le joueur effectue un tirage.
On appelle p₁ la probabilité pour qu'il perde (c'est-à-dire qu'il reçoive moins de 4 euros) et p₂ la probabilité pour qu'il gagne (c'est-à-dire qu'il reçoive plus de 4 euros).
Calculer p₁ et p₂.

2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le " gain " du joueur (positif s'il gagne, négatif s'il perd).
    a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
    b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
    c) Calculer son espérance mathématique E(X).

3. Un jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0.
On décide de changer le nombre inscrit sur une boule portant le nombre 1.
Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable ?

6 points

exercice 2

Le plan $\mathscr{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ . (unité graphique 1 cm).
On considère un polynôme P défini par P(z) = z³ - 2z² + 16 où z est une variable complexe.

1. a) Déterminer les nombres complexes a, b et c tels que P(z) = (z + 2)(az² + bz + c).
    b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation P(z) = 0.

2. On considère les points A et B d'affixes respectives : z_A = 2 - 2i et z_B = 2 + 2i
    a) Ecrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres z_A et z_B.
    b) Placer dans le plan $\mathscr{P}$ les points A et B.
    c) Quelle est la nature du triangle OAB ?

3. On considère la transformation T du plan $\mathscr{P$ dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe z ' tel que z ' = $e^{i\frac{\pi}{3}}$ z.
    a) Caractériser géométriquement la transformation T.
    b) Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l'affixe du point A' image de A par la transformation T.
    c) En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

10 points

probleme

On considère la courbe $\mathscr{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)^2e^{-x}$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ . (unité graphique 2 cm).

Partie A

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en - $\infty$ .
    b) Montrer que si $x$ est différent de zéro on a : $f(x) = x^2 e^{-x} \left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)$
En déduire la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ . Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a) Montrer que $f'(x) = (1 -x^2)e^{-x}$ .
    b) Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

3. Déterminer une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.

4. Etude de la position $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{T}$ .
    a) Montrer que pour tout réel $x$ on a : $f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x} . g(x) \hspace{10pt} \text{avec } g(x) = x + 1 - e^x$
    b) Calculer g '( $x$ ) et étudier son signe.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction g.
    d) En déduire le signe de g( $x$ ), puis de $f(x) - (x + 1)$ .
    e) En déduire la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{T}$ .

5. Après avoir complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ .
Donner les valeurs de $f(x)$ arrondies à 10^-2 près.

$x$	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	3	4	6
$f(x)$

Partie B

1. Montrer que la fonction F définie par $F(x) = (-x^2 - 4x - 5)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ .

2. Calculer l'aire en cm² de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d'équation $x$ = 3.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-2 près.

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