L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Technologies Tertiaires
Spécialités : Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion
Polynésie - Session 2006

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans k'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 4     Durée : 3 heures

 Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de cinq questions : chacune comporte trois réponses, une réponse et une seule étant exacte.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur l'annexe en cochant pour chaque question la case correspondant à la réponse proposée. Aucune justification n'est demandée.
La réponse exacte à une question rapporte 1 point ; une réponse fausse à une question (ou une réponse multiple) coûte 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte rien. Si le total de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

Une grande boulangerie propose 500 pains dont la répartition est donnée dans le tableau suivant.

	Nature	Sans sel	Complet	Total
Pain maison	100	40	70	210
Pain de campagne	80	30	50	160
Pain au levain	60	40	30	130
Total	240	110	150	500

1. Le pourcentage de pains maison parmi l'ensemble des pains à vendre est :
      a) 20 %       b) 42 %       c) 35 %

2. Le pourcentage des pains au levain parmi les pains nature est :
      a) 36 %       b) 12 %       c) 25 %

3. Le premier client achète au hasard l'un des pains de la boulangerie, la probabilité pour que ce soit un pain de campagne ou un pain complet est :
      a) 0,10       b) 0,52       c) 0,3

4. Un client achète au hasard un pain sans sel, la probabilité que ce soit un pain au levain est :
      a)       b)       c)

5. Le prix d'un pain de campagne en 2000 était p₀ euros. Le prix du même pain de campagne en 2006 est p₆ = 1,5 €. Sachant que le prix de ce pain de campagne a augmenté de 4 % par an de 2000 à 2006, p₀ était :
      a) 1,17 €       b) 1,09 €       c) 1,19 €

	a)	b)	c)
1.
2.
3.
4.
5.

Annexe de l'exercice 2

 Exercice 2 (6 points)

Un artisan ferronnier doit fabriquer des tables et fauteuils métalliques en volutes pour un grand magasin.

Chaque table nécessite 10 kg de fer, 2 litres de peinture anti-corrosion et demande 3 heures de travail.
Chaque fauteuil nécessite 5 kg de fer, 4 litres de peinture anti-corrosion et demande 4 heures de travail.

Pour cet ouvrage, l'artisan reçoit 100 kg de fer et 36 litres de peinture anti-corrosion.
Les délais imposés font qu'il ne dispose que de 40 heures de travail.

On note le nombre de tables et y le nombre de fauteuils que l'artisan va réaliser.

1. Montrer que les contraintes de cette situation peuvent être traduites par le système d'inéquations
où et y sont des entiers naturels.

2. Dans un repère orthonormal , avec 1 cm pour 1 unité sur les deux axes, mettre en évidence l'ensemble des points M( ; y) du plan, solution du système (S), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.

3. L'artisan recevra 60 € pour chaque table produite et 40 € pour chaque fauteuil produit.
Soit S le salaire que l'artisan recevra pour la confection de tables et y fauteuils.
    a) Exprimer S en fonction de et y.
    b) Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un salaire de 440 € et compléter le graphique précédent en traçant la droite (d).
    c) En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple d'entiers ( ; y) qui permettra à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire.
Préciser le montant de ce salaire maximum.
A combien s'élève alors son salaire horaire ?

 Problème (9 points)

PARTIE A

Le plan est rapporté à un repère orthonormal .
La courbe , donnée en annexe, est la représentation graphique de la fonction définie sur ]0 ; +[ par : .

1. Déterminer la limite de en 0. Que peut-on en déduire concernant la courbe ?

2. En écrivant sous la forme , déterminer la limite de en +.

3. Démontrer que, pour tout réel de ]0 ; +[, où désigne la fonction dérivée de la fonction .

4. Etudier le signe de suivant les valeurs de dans l'intervalle ]0 ; +[.

5. Dresser le tableau de variation de .

6. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à 10^-4).

	6,18	6,19	6,20	6,21

    b) L'équation = 0 admet deux solutions, 1 et dans ]0 ; +[. A l'aide de la question précédente, donner sans justification un encadrement à 10^-2 près de .
    c) Placer sur le graphique de l'annexe.

7. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +[ par : .
Démontrer que F est une primitive de sur ]0 ; +[.

8. Hachurer la partie (P) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation = 3 et = 6, puis donner la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de (P).

PARTIE B - Application économique

Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jour.
On admet que si est la production journalière en dizaine de pièces alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros est , où est la fonction étudiée dans les deux premières parties avec [1 ; 7].

1. Déterminer à l'aide de la courbe de l'annexe, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte.
Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près.

2. Par lecture graphique, indiquer la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

3. On admet que lorsque l'entreprise produit entre 30 et 60 pièces par jour sur une certaine période, le bénéfice journalier moyen en milliers d'euros est donné par .
A l'aide de la partie A, déterminer à 1 € près le bénéfice journalier moyen.

voir la correction

cours particuliers