Fiche de mathématiques

Bac 2006

Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Session 2006 - Pondichéry

Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales
La calculatrice est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Le chiffre d'affaires d'une entreprise E, exprimé en millions d'euros, au cours des six dernières années est donné par le tableau suivant :

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang : x_i	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaires : y_i	3,12	3,23	3,65	4,28	4,54	4,76

1. Représenter le nuage des points M_i( $x_i$ ; y_i) associé au tableau statistique précédent.
On choisira comme unités :

sur l'axe des abscisses 2 cm pour une unité ;

sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 100 000 euros en commençant la graduation à 3 millions d'euros.

2. Le point moyen du nuage est noté G.
Calculer les coordonnées de G et placer ce point sur le graphique.

3. On prend la droite $\mathscr{D}$ d'équation :
$\hspace{200pt} y = 0,4x + 2,53$
comme ajustement du nuage.
    a) Montrer que le point G appartient à la droite $\mathscr{D}$ .
    b) Construire la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique.

4. Quelle estimation du chiffre d'affaires de cette entreprise peut-on donner pour les années 2006 et 2007 ?

5. Une entreprise F a le même chiffre d'affaires en 2000 que l'entreprise précédente E, mais ce chiffre d'affaires augmente de 9,1 % chaque année.
    a) Justifier que le chiffre d'affaires de l'année 2000 + n est u_n = 3,12 × 1,091ⁿ.
    b) Calculer le chiffre d'affaires de l'entreprise F pour les années 2006 et 2007.

Problème (12 points)

Un artisan qui fabrique des petits meubles fait une étude sur une production comprise entre 0 et 60 objets. Le coût de production, en euros, de $x$ meubles fabriqués est donné par :
$C(x) = x^2 + 50x + 900$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0; 60].

Partie A

1. Calculer C(0). En déduire les frais fixes de l'artisan.
2. Quel est le coût de production de 30 meubles ?
3. Quel est le coût de production par meuble, lorsque l'artisan fabrique 30 meubles ?
4. Soit $f(x)$ le coût unitaire moyen pour $x$ meubles fabriqués. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ , pour $x \neq 0$ .

Partie B

On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [7; 60] par :
$\hspace{200pt} f(x) = x + 50 + \frac{900}{x}$
1. a) Déterminer la dérivée de $f$ .
b) Justifier que $f'(x) = \frac{(x - 30)(x + 30)}{x^2}$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [7; 60].

3. Compléter le tableau suivant :

$x$	7	10	15	20	25	30	40	45	50	60
$f(x)$

4. Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

1 cm pour 5 meubles en abscisses,

1 cm pour 5 euros en ordonnées en commençant la graduation à 100.

Partie C

Dans cette partie, la production est comprise entre 7 et 60 objets.

1. Quel nombre de meubles doit fabriquer l'artisan pour que le coût unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coût.

2. Chaque meuble est vendu 115 euros.
    a) Construire la droite $\mathscr{D}$ d'équation y = 115 sur le graphique précédent.
    b) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}$ .
    c) En déduire l'intervalle de production pour lequel l'artisan réalise un bénéfice.

3. Exprimer, en fonction de $x$ , la recette $R(x)$ produite par la vente de $x$ meubles.

4. En déduire l'expression en fonction de $x$ du bénéfice $B(x)$ réalisé par la vente des $x$ meubles (utiliser l'expression de $C(x)$ donnée dans la partie A).

5. Calculer B(20), B(45) et B(30). Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les conclusions de la question 2. c) ?

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